1 Résolution de l`équation différentielle (1) y` – 2 y = x e 1° Résoudre

1 Résolution de l'équation différentielle (1) y' – 2 y = x ex
1° Résoudre l'équation différentielle (2) : y' – 2 y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur IR.
2° Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur IR par u (x) = (a x + b) ex
a) Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1).
b) Montrer que v est une solution de l'équation (2) si et seulement si u + v est solution de (1).
c) En déduire l'ensemble des solutions de (1).
3° Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0.
2 Partie A Etude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur IR par : g (x) = (x2 + 2 x – 1) e– x + 1:
1° Calculer g '(x) et montrer que g '(x) et (3 – x2) ont le même signe.
2° En déduire le tableau de variation de g.
3° a) Montrer que l'équation g (x) = 0 admet deux solutions dans IR.
Vérifier que g (0) = 0. On note  la solution non nulle.
b) Prouver que : – 2,4 <  < – 2,3:
4° Déduire des questions précédentes le signe de g (x) suivant les valeurs de x.
Partie B Etude de la fonction f.
On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x – (x2 + 4 x + 3) e– x:
On désigne par C f sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;  i;  j )
1° a) Montrer que, pour tout x réel, on a f '(x) = g (x)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f (l'étude des limites n’est pas demandée).
2° Déterminer une équation de T, la tangente C f au point d’abscisse 0.
3° On note D la droite d'équation y = x.
a) Montrer que la droite D et la courbe C f se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées.
b) Etudier les positions relatives de la droite D et de la courbe C f ,
4° Construire T et D ainsi que la courbe C f .
3 Pour k  0 , on pose, pour tout x réel fk (x) = (k x – 1) e– x .
Les courbes représentatives C k de fk sont dessinées ci-dessous,
pour certaines valeurs du réel k.
1° Etudier, suivant les valeurs de k, les limites de fk aux bornes
de son ensemble de définition
2° Démontrer que les courbes C k passent toutes par un même
point.
3° a) Etudier le sens de variation de fk et dresser le tableau de
variations en distinguant les cas k > 0 et k < 0.
b) Préciser les coordonnées du point Ak de C k correspondant à
l'extrémum de fk. b) Préciser les coordonnées du point Ak de C k
correspondant à l'extrémum de fk. Montrer que, les points Ak
appartiennent à la courbe d'équation y = e– x
x – 1

1 Résolution de l'équation différentielle (1) y' – 2 y = x ex
1° Résoudre l'équation différentielle (2) : y' – 2 y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur IR.
Y' – 2 y = 0  y' = 2 y
L'équation différentielle est du type y' = a y avec a = 2 donc les solutions sont de la forme x  k e2 x
2° Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur IR par u (x) = (a x + b) ex
a) Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1).
Pour tout réel x on a
U (x) = (a x + b) ex et u '(x) = a ex + (a x + b) ex = (a + a x + b) ex
Par identification pour que la fonction u soit solution de l'équation différentielle il suffit que a et b soit solutions du
système 
 a = 1
a + b = 0  
 a = 1
b = – 1.
La fonction u définie sur IR par u (x) = (x – 1) ex est donc solution de l'équation différentielle (1)
b) Montrer que v est une solution de l'équation (2) si et seulement si u + v est solution de (1).
Si v est solution de (2) alors pour tout réel x, v '(x) – 2 v (x) = 0
On sait que u est solution de (1) donc, pour tout réel x, u '(x) – 2 u (x) = x ex
On a alors, pour tout réel x :
 v '(x) – 2 v (x) =0
u '(x) – 2 u (x) = x ex donc v '(x) – u '(x) – 2 (v (x) – u (x)) = x ex donc (v – u)'(x) – 2 (v – u)(x) = x ex .
v – u est donc solution de (1)
Réciproquement :
Si u + v est solution de (2) alors, pour tout réel x, on a :
(v + u)'(x) – 2 (v + u)(x) = 0 donc v '(x) + u '(x) – 2 v (x) – 2 u (x) = 0 donc v '(x) – 2 v (x) = u '(x) – 2 u (x).
On sait que u '(x) – 2 u (x) = x ex on a donc v '(x) – 2 v (x) = x ex.
v est donc bien solution de (1)
c) En déduire l'ensemble des solutions de (1).
v + u est solution de (1) si, et seulement si, v est solution de (2)
les solutions de (2) sont de la forme x  k e2 x donc les solutions de (1) sont de la forme x  k e2 x + u (x)
3° Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0.
v solution de (1) est de la forme x  k e2 x + (x – 1) ex
v (0) = 0  k e0 – e0 = 0  k = 1
v est la fonction définie sur IR par v (x) =e2 x + (x – 1) ex.
3 Etude d’une fonction exponentielle Partie A Etude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur IR par : g (x) =
(x2 + 2 x – 1) e– x + 1: 1° Calculer g '(x) et montrer que g '(x) et (3 – x2) ont le même signe.
g est dérivable sur IR et, pour tout réel x, g '(x) = (2 x + 2) e– x + (x2 + 2 x – 1) (– e– x) = e– x (2 x + 2 – x2 – 2 x + 1)
= e– x (– x2 + 3)
Pour tout réel x, e– x > 0 donc g '(x) et 3 – x2 ont le même signe.
2° En déduire le tableau de variation de g.
x
– 
– 3
0
3
+ 
signe de g '(x)
–
0
+
0
–
Variation de g
+ 
0
0
1
g (– 3)  – 8,27 et g ( 3)  0,97
lim
x  –  e– x = +  et lim x  –  (x2 + 2 x – 1) = +  donc, par produit, lim x  –  g (x) = + 
g (x) = x2 e– x + 2 x e– x – e– x + 1
lim
x  +  x2 e– x = lim x  +  x e– x = 0 donc, par somme, lim x  +  g (x) = 1
3° a) Montrer que l'équation g (x) = 0 admet deux solutions dans IR. Vérifier que g (0) = 0. On note  la solution non nulle.
D'après les variations de g l'équation g (x) = 0 n'a pas de solution dans ] 3 ; +  [
Dans l'intervalle ] –  ; – 3 ]
• g est dérivable donc continue
• g est strictement croissante
• g (– 3) < 0 < lim
x  +  g (x)

D'après le théorème des valeurs intermédiaires et son corolaire l'équation g (x) = 0 admet une solution  unique dans
l'intervalle ] –  ; – 3 ]
Dans l'intervalle [ – 3 ; 3 ]
• g est dérivable donc continue
• g est strictement croissante
• g (– 3) < 0 < g ( 3)
D'après le théorème des valeurs intermédiaires et son corolaire l'équation g (x) = 0 admet une solution unique dans
l'intervalle [ – 3 ; 3 ] de plus g (0) = 0 donc 0 est la solution de l'intervalle [ – 3 ; 3 ]
b) Prouver que : – 2,4 <  < – 2,3:
g (– 2,4)  0,56 et g (– 2,3)  – 2,09 donc g (– 2,3)  0  g (– 2,4) donc – 2,4    – 2,3.
4° Déduire des questions précédentes le signe de g (x) suivant les valeurs de x.
D'après les variations de la fonction g on a : g (x)  0 si, et seulement si,   x  0
Partie B Etude de la fonction f. On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x – (x2 + 4 x + 3) e– x: On désigne par C f sa
courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;  i;  j ) 1° a) Montrer que, pour tout x réel, on a f '(x) = g (x)
f '(x) = 1 – ( (2 x + 4) e– x + (x2 + 4 x + 3) (– e– x) )= 1 + e– x (– 2 x – 4 + x2 + 4 x + 3) = 1 + e– x (x2 + 2 x – 1) = g (x)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f (l'étude des limites n’est pas demandée).
x
– 
0
+ 
signe de f '(x)
+
0
+
0
–
Variation de f
2° Déterminer une équation de T, la tangente C f au point d’abscisse 0.
f (0) = – 3 et f '(0) = 0 donc l'équation de T est : y = 3
3° On note D la droite d'équation y = x. a) Montrer que la droite D et la courbe C f se coupent en deux points A et B dont on
donnera les coordonnées.
Les abscisses des points d'intersection de D et de C f sont les solutions de l'équation f (x) = x
f (x) = x  – (x2 + 4 x + 3 )e– x = 0  x2 + 4 x + 3 = 0  (x + 1) (x + 3) = 0  x = – 1 ou x = – 3.
Donc A (– 1 ; – 1) et B (3 ; 3)
b) Etudier les positions relatives de la droite D et de la courbe C f ,
On doit étudier le signe de f (x) – x = – (x2 + 4 x + 3) e– x = – (x + 1) (x + 3)
x
– 
– 3
– 1
+ 
f (x) – x
–
0
+
0
–
C f est au dessous
de 
C f est au dessus
de 
C f est au dessous
de 
4° Construire T et D ainsi que la courbe C f .
4 Pour k  0 , on pose, pour tout x réel fk (x) = (k x – 1) e– x . Les
courbes représentatives C k de fk sont dessinées ci-dessous, pour certaines
valeurs du réel k. 1° Etudier, suivant les valeurs de k, les limites de fk aux
bornes de son ensemble de définition
lim
x  –  e– x = + 
Si k < 0 alors lim
x  –  (k x – 1) = +  et donc lim x  –  fk (x) = + 
Si k > 0 alors lim
x  –  (k x – 1) = –  et donc lim x  –  fk (x) = – 
fk (x) = k x e– x – e– x
lim
x  +  e– x = 0 et lim x  +  – x e– x = lim X  – X ex = 0 donc lim x  +  fk (x) = 0.
2° Démontrer que les courbes C k passent toutes par un même point.
On peut voir graphiquement qu'il semble que le point de
coordonnée I(0 ; – 1) est commun à toutes les courbes. Il reste à
vérifier que c'est le cas. fk (0) = (k × 0) e– 0 = 1 donc I  C k.
3° a) Etudier le sens de variation de fk et dresser le tableau de variations
en distinguant les cas k > 0 et k < 0.
fk est dérivable sur IR et pour tout réel x,
fk '(x) = k e– x + (k x – 1) (– e– x) = (– k x + k + 1)

Pour tout réel x, e– x > 0 donc fk'(x)  0  – k x + k + 1  0
k < 0
x
– 
k + 1
k
+ 
signe de f '(x)
–
0
+
Variation de f
k > 0
x
– 
k + 1
k
+ 
signe de f '(x)
+
0
–
Variation de f
b) Préciser les coordonnées du point Ak de C k correspondant à l'extrémum de fk. Montrer que, les points Ak appartiennent à la
courbe d'équation y = e– x
x – 1
xk = 1 + 1
k  1 k = xk – 1  k = 1 xk – 1
yk = fk (xk) = (k xk – 1) e– xk = 
xk
xk – 1 – 1 e– xk = e– xk xk – 1
Donc pour tout réel k  0 Ak est sur la courbe d'équation y = e– x
x – 1