Groupes de réflexions finis et algèbres de Iwahori

Groupes de réflexions finis et algèbres de
Iwahori-Hecke
Nicolas Jacon
18 janvier 2011

Table des matières
1 Groupes de Réflexions 2
1.1 Définitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Systèmederacines ............................... 4
1.3 Eléments d’un groupe de réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Groupes de réflexions comme groupes de Coxeter . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Classification et sous-groupes paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Algèbres de Iwahori-Hecke comme algèbre symétrique. 18
2.1 Définition .................................... 19
2.2 Théorie des représentations des algèbres symétriques . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Conséquences sur les algèbres de Iwahori-Hecke . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Représentations d’algèbres de Iwahori-Hecke 30
3.1 Le procédé de spécialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Matrices de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Le théorème de déformation de Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Exemples .................................... 38
3.4.1 Représentations irréductibles de C[W]................ 39
3.4.2 Représentations irréductibles de HK................. 39
3.4.3 Quelques spécialisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 LaconjecturedeJames ............................ 40
1

Chapitre 1
Groupes de Réflexions
Le prototype du groupe de réflexions est le groupe symétrique. Ce groupe peut être
réalisé comme sous-groupe du groupe linéaire sur un espace euclidien Voù chaque transpo-
sition correspond à une matrice de permutation. Nous allons ici généraliser cette définition
pour aboutir à celle des groupes de réflexions. Le but du chapitre sera ensuite d’étudier
la structure de ces groupes et de développer une combinatoire permettant de les étudier
de façon aisée. Nous donnerons ensuite une présentation de ceux ci par générateurs et
relations, c’est à dire un moyen particulièrement simple de les définir entièrement. Cette
présentation sera ensuite très utile lorsqu’il s’agira de les "déformer" afin de définir leurs
algèbres de Iwahori-Hecke dans le chapitre suivant. Enfin, nous donnons une classification
de ce type de groupes en exhibant les différentes familles à laquelle un groupe de réflexions
(irréductible) peut appartenir.
Ce chapitre est hautement inspiré de la partie §64 du livre de Curtis et Reiner [4]
ainsi que du livre de Geck et Pfeiffer [9]. On citera aussi Bourbaki [2] et le livre d’Hum-
phreys comme autre référence [10]. Enfin, le polycopié de Jean Michel [13] étudie une
généralisation de ces groupes de réflexions : les groupes de réflexions complexes.
1.1 Définitions et premiers exemples
Soit Vun espace euclidien réel c’est à dire un espace vectoriel muni d’un produit
scalaire, une forme bilinéaire
(,) : V×V→R
symétrique et définie positive. On note
O(V) = {s∈EndR(V)| ∀ξ, η ∈V, (s(ξ), s(η)) = (ξ, η)}
le groupe des transformations orthogonales de V.
Définition 1.1.1. Une réflexion s∈EndR(V)est un élément de O(V)tel que s6= 1 et
tel que sfixe chaque élément d’un hyperplan de V.
La proposition suivante nous donne la forme explicite d’une réflexion en fonction du
produit scalaire :
Proposition 1.1.2. Pour toute hyperplan Hde V, il existe une unique réflexion fixant
les éléments de H. De plus, si α∈H⊥, on a :
–s2= 1
– Pour tout ξ∈V,s(ξ) = ξ−2(ξ, α)
(α, α)α.
2

Démonstration. Soit α∈H⊥, on a alors V=H⊕ hαi. De plus, sest l’identité sur Het
comme s∈O(V)⊂GL(V), on a s(α)∈H⊥. Or H⊥est de dimension 1donc s(α) = tα
pou t∈Ret la formule (s(α), s(α)) = (α, α)implique que t=±1. Comme s6= 1, il suit
t=−1c’est à dire s(α) = −α. On a donc s2= 1. La formule
s(ξ) = ξ−2(ξ, α)
(α, α)α
est vérifiée si ξ∈Het si ξ∈H⊥donc si ξ∈V. Ceci prouve également l’unicité.
Il suit de la définition et du théorème qu’une réflexion a pour polynôme minimal
(X−1)(X+ 1) et donc qu’elle est diagonalisable et semblable à une matrice du type :
−1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 · · · 1
On sait aussi maintenant qu’à chaque α∈V\ {0}correspond une unique réflexion fixant
l’hyperplan hαi ⊂ V. On la note sα.
Proposition 1.1.3. Si α∈V\ {0}, pour tout g∈O(V), on a
gsαg−1=sg.α
Démonstration. Il suffit de remarquer que gsαg−1est un élément de O(V)différent de
l’identité et fixant l’hyperplan hg.αi⊥=g(hαi⊥). On utilise ensuite la proposition 1.1.2
Voici la définition d’un groupe de réflexions :
Définition 1.1.4. Un groupe de réflexions réelles est un sous-groupe de O(V)engendré
par des réflexions.
Dans ce cours, nous allons exclusivement nous intéresser aux groupes de réflexions
finis.
Exemple 1.1.5.
1. Soit V=R2muni du produit scalaire usuel, le groupe diédral Dmd’ordre 2m
est l’ensemble des éléments de O(V)laissant un polygône à mcotés centré en 0
invariant. On peut montré que Dmest engendré par :
– les rotations centrées en Od’angle 2kπ
m.
– les réflexions d’axes les diagonales du polygône.
Une rotation d’angle 2π
mest en fait le produit de deux réflexions d’axes faisant un
angle de π
m. Il suit que Dmest un groupe de réflexions.
2. Le groupe symétrique Snse plonge dans O(Rn)en associant à σ∈Snl’endo-
morphisme qui à chaque élément eide la base canonique associe eσ(i). Les trans-
positions (i, j)engendrent ce groupe et envoient ei−ejsur ej−ei. De plus, si
x=
n
X
k=1
αkek∈(ei−ej)⊥alors αi=αjet (i, j)fixe donc (ei−ej)⊥. Ainsi, le
groupe symétrique est un groupe de réflexions réelles.
3

Remarque 1.1.6.On peut aussi considérer une généralisation de cette définition en étu-
diant les éléments inversibles d’ordre fini d’un C-espace vectoriel fixant un hyperplan. On
parle alors de réflexions complexes et les groupes associés sont des groupes de réflexions
complexes (voir [13]).
On désire maintenant étudier de manière précise la structure des groupes de réflexions.
1.2 Système de racines
Définition 1.2.1. Un système de racines est un ensemble fini ∆de vecteurs de Vtel que
1. 0/∈∆et les éléments de ∆engendrent V.
2. Si α∈∆alors −α∈∆. De plus, si c.α ∈∆pour c∈Ralors c=±1.
3. Pour tout α∈∆, on a
sα(∆) = ∆
Les éléments de ∆sont appelés les racines. Si de plus, pour tout α, β ∈∆, on a 2(α, β)
(β, β)∈Z
(c’est à dire sβ(α)est une combinaison linéaire d’éléments de ∆à coefficients dans Z),
on dit que le système est cristallographique.
Exemple 1.2.2. Si dim(V)=1et si α∈V\ {0}, on a W=hsαi('Z/2Z).∆ = {α, −α}
est un système de racine.
On associe maintenant à chaque système de racines un groupe de réflexions finis et
réciproquement.
Proposition 1.2.3.
1. Si ∆est un système de racines de Valors W(∆) = hsα|α∈∆iest un groupe de
réflexions finis.
2. Si West un groupe de réflexions finis, il existe un système de racines ∆tel que
W=W(∆) = hsα|α∈∆i.
Démonstration.
1. Comme ∆est fini, on a un nombre fini de valeurs possibles pour les w(α)d’après
la propriété (3) de la Definition 1.2.1. Donc si West infini, il existe des éléments
w1et w2distincts de Wtels que w1(α) = w2(α)pour tout α∈∆. Ceci est absurde
car ∆contient une base de V.
2. On pose
∆ = Ensemble des vecteurs unitaires orthogonaux aux hyperplans
fixés par les réflexions de W
On montre que ∆est un système de racines de h∆i.
– Soit sest une réflexion de Walors par définition, il existe α∈∆tels que s=sα.
On a :
W=hsα|α∈∆i.
– Soit α∈∆. Si β∈∆,sα.β est unitaire (car sα∈O(V)) et orthogonal à l’hyper-
plan fixé par la réflexion ssα.β =sαsβsα∈W(d’après la Proposition 2.1). Il suit
que sα.β est dans ∆. Ce dernier point prouve (3) de la Def. 1.2.1, (1) et (2) sont
évidents.
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