énoncé

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MÉCANIQUE DU POINT ; ÉLECTROCINÉTIQUE
PROBLÈME A
On se propose d’étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunication
en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que la Terre est une sphère homo-
gène de rayon RT et de centre O, immobile dans l’espace, sans rotation propre.
À la fin de cet énoncé, sont regroupées des valeurs de grandeurs physiques et un formulaire uti-
lisables dans cette épreuve.
Satellites sur une trajectoire circulaire
A-1. Un satellite de masse MS est en orbite circulaire de centre O, à une altitude h de l’ordre de
quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation entre la période de révolution T et h.
Exprimer de même la relation entre la vitesse
vv
=
r
et h.
A-2. Soient EC et EP l’énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de
gravitation de la Terre ; établir le « théorème du viriel » : 2EC + EP = 0
A-3. À chaque position P du satellite correspond un point
Q sur la Terre à la verticale de ce point. L’ensemble des points
Q définit la trace de la trajectoire. Pour un observateur situé en
Q, la durée de visibilité t d’un satellite est l’intervalle de temps
entre son apparition sur l’horizon (point A de la Fig. 1) et sa dis-
parition sous l’horizon (point B). Exprimer t en fonction de h,
G, MT et RT .
Calculer t pour h = 8´105 m.
A-4. Calculer T/t. Pour les besoins de téléphonie mobile,
on place sur des orbites polaires (c’est-à-dire contenues dans un
plan méridien terrestre) un ensemble de satellites, identiques,
appelé « train de satellites ». Ces satellites sont disposés réguliè-
rement sur leur orbite polaire commune, à l’altitude de 800 km.
Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former
un « train » afin que tous les points au sol, dans le même plan
méridien que l’orbite, voient au moins un satellite à tout instant.
A-5. Dans cette question, on prend en compte la rotation
de la Terre. Calculer la période et l’altitude d’un satellite placé
sur orbite géostationnaire. La notion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels
sont les avantages et les inconvénients d’un satellite géostationnaire comparé au train de la question 4 ?
A-6. La Terre est entourée d’une atmosphère qui s’oppose au mouvement du satellite. La force
de frottement
r
F
a créée par l’atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse v du satellite et elle
s’exprime par aS
FMvv
=-a
urr
, où a a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer la
dimension de a. Écrire le théorème de l’énergie cinétique en supposant que le théorème du viriel établi
à la question 2 reste applicable en présence de
r
F
a
Établir l’équation différentielle vérifiée par h.
A-7. Un satellite placé sur une orbite d’altitude 800 km subit une variation d’altitude d’environ
1 m par révolution ; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d’une révolution. En déduire une
estimation au premier ordre de a (ne pas s’étonner de la petitesse extrême du résultat !).
Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des
horizons AB. Le plan orbital représenté
est dit polaire (la ligne des pôles est
N’SNS’). L’angle est dit anci
llaire.

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Calculer, avec la même approximation, ce qu’il advient de l’altitude au bout de 10 ans de fonc-
tionnement du satellite. Comparer à la solution exacte. Le fait d’avoir une augmentation de la vitesse en
présence d’une force opposée au mouvement est-il paradoxal ?
A-8. En réalité, les frottements dépendent de la densité de l’atmosphère et donc de l’altitude.
Dans un certain domaine d’altitudes, a varie selon la loi )h
h
b
g
a(= , où g et b sont positifs. Le même
satellite que celui de la question 7 (perdant 1 m pour h » 800 km) perd, à l’altitude de 400 km, 2 mètres
par révolution. Calculer g et b.
Stabilisation de l’altitude d’un satellite
La méthode de stabilisation d’attitude par gra-
dient de gravité a été mise en oeuvre pour les satellites
artificiels afin qu’ils présentent vers la Terre toujours le
même côté. Elle ne requiert aucune ressource d’énergie
embarquée. Le principe de cette méthode a été établi par
Lagrange, au XVIIIème, afin d’expliquer pourquoi la
Lune présente toujours la même face vers la Terre.
Modèle : le satellite est constitué de deux points
matériels M1 et M2 de masses identiques
S
1
2
mM
= reliés
par une tige rigide de masse nulle et de longueur 2ℓ.
Le barycentre S du satellite décrit autour de la
Terre une orbite circulaire de rayon r0 = RT + h (ℓ << r0).
Le référentiel géocentrique (R) lié au repère (Oxyz) est
supposé galiléen. Le plan orbital est Oxy.
Le référentiel (R’) défini par le repère (Ox’y’z)
lié au satellite tourne autour de la Terre avec une vitesse
angulaire W (Fig. 2). Les points M1 et M2 sont dans le
plan orbital :
0
OSru
=
uuurr
,
111
OMru
=
uuuurur
et
222
OMru
=
uuuuuruur
, où
u
r
,
1
u
ur
et
2
u
uur
sont unitaires. On appelle q l’angle de M1M2 avec l’axe Ox’ de (R’). On cherche à déter-
miner les éventuelles positions d’équilibre du satellite dans le référentiel (R’) et leur stabilité. On sup-
pose qu’il n’y a pas de frottements.
A-9. Exprimer les forces gravitationnelles
r
F
1 et
r
F
2 qui agissent sur M1 et M2.
A-10. Exprimer dans (R’) les forces d’inertie d’entraînement qui agissent sur M1 et M2 en fonc-
tion de m, W,
1
r
ur
et
2
r
ur
. Exprimer dans (R’) les forces d’inertie de Coriolis qui agissent sur M1 et M2, en
fonction de m, W,
1
SM
uuuur
,
2
SM
uuuur
et
)
dt
dt
q(
q=
&.
A-11. Montrer que dans (R’) le moment des forces d’inertie en S est nul.
Établir que dans (R’) le moment résultant calculé en S des actions extérieures a pour module,
pour ℓ << r0,
( ) ( )
2
ST
3
0
6sincosGmM r
G=q×q
l
. Préciser la direction et le sens de ce moment .
A-12. Exprimer le moment cinétique de chaque point matériel calculé en S par rapport au réfé-
rentiel R’ puis celui du satellite.
A-13. Appliquer le théorème du moment cinétique dans (R’). Établir l’équation différentielle du
mouvement.
Fig. 2 : Le satellite, son référentiel
R’ (Ox’y’) et le référentiel R lié à
la Terre (Oxy).

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Déterminer les valeurs de q qui correspondent à une position d’équilibre dans (R’).
A-14 Montrer que q = 0 est une position d’équilibre stable. À partir de la position q = 0, le sa-
tellite subit une petite perturbation qui l’écarte d’un angle q0. Calculer la période des oscillations au
voisinage de la position d’équilibre, pour un satellite d’altitude h = 800 km. Comparer cette période
avec la période du satellite autour de la Terre.
Données
constante de gravitation G = 6,67´10–11 m3.kg–1.s–2 ;
rayon de la Terre RT = 6400 km ;
masse de la Terre MT = 6,0´1024 kg ;
masse du satellite MS = 2,0´ 103 kg.
PROBLÈME B
On dispose d’une bobine B que l’on assimilera à l’association série d’une inductance L et d’une
résistance r (L et r sont des constantes positives, indépendantes de la fréquence).
Détermination de r
B-1. La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la
tension u(t) à ses bornes en fonction de r, L, i(t) et de sa dérivée par
rapport au temps.
B-2. On réalise le circuit suivant, en plaçant, en série avec la
bobine, un résistor de résistance R = 40 W. L’alimentation est un gé-
nérateur de tension continue, constante, de force électro-
motrice E0 = 1,0 V et de résistance interne r0 = 2,0 W.
On mesure, en régime permanent, la tension UR
aux bornes de R.
Exprimer r en fonction des données de cette ques-
tion. Calculer r avec UR = 0,56 V.
Détermination de r et L à partir d’un oscillo-
gramme.
On place, en série avec la bobine, un ré-
sistor de résistance R = 40 W et un condensateur
de capacité C = 10 µF.
Le GBF (générateur basses fréquences) est
réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fré-
quence f = 250 Hz (la pulsation sera notée w) et de
valeur crête à crête de 10 V.
Deux tensions sont visualisées sur un os-
cilloscope numérique.
r
Bobine
L
i
(
t
)
u(t)
Figure 1
E
0
UR
I
L
R
r
r0
Figure 2
Figure 3
VOIE 1 VOIE 2
uEuR
i
L
R
r
GBF
C
B A D
M

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On obtient un oscillogramme équivalent au graphe suivant :
B-3. Déterminer l’amplitude UE de la tension uE et l’amplitude UR de la tension uR. On précisera
l’erreur commise.
B-4. Déterminer l’amplitude I du courant i et l’erreur commise.
B-5. Calculer l’impédance réelle ZAM du dipôle AM.
B-6. Des deux tensions, uR(t) et uE(t), laquelle, et pourquoi d’après l’oscillogramme, est en
avance sur l’autre ?
B-7. Déterminer précisément, à partir de l’oscillogramme, le déphasage E
/
ui
j
entre uE(t) et i(t),
c’est-à-dire entre uE(t) et uR(t).
B-8. Écrire l’expression littérale de l’impédance complexe ZAM en fonction de r, R, L, C, w.
B-9. Exprimer r en fonction de R, ZAM et E
/
ui
j
. Calculer sa valeur.
B-10. Exprimer L en fonction de C, w, ZAM et E
/
ui
j
. Calculer sa valeur.
Facteur de puissance.
On reprend le montage figure 3 avec f = 250 Hz.
B-11. Rappeler la définition du facteur de puissance d’un circuit.
B-12. On place alors, en parallèle sur AD une boîte de conden-
sateurs à décades (figure 5) et l’on fait varier cette capacité C’ jusqu’à ce
que, en observant l’oscilloscope, uR(t) et uE(t) soient en phase.
Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuit
AM ?
B-13. Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du cir-
cuit aux bornes de AD ? Quelle particularité présente alors l’admittance
complexe YAD de ce circuit ?
B-14. Exprimer YAD en fonction de r, L, C, C’ et de la pulsation w.
B-15. Déterminer C’ en fonction de r, L, C, w. Faire l’application numérique avec les valeurs de r et L
calculées précédemment.
u
E
uR
uE et uR (en V)
t (en ms)
Figure 5
VOIE 1 VOIE 2
u
E
u
R
i
L
R
r
C
B
A
D
C’