notes sur les équations différentielles

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Table des matières
1. Le cas linéaire 1
1.1. Généralités 1
1.2. Théorème de Cauchy linéaire 2
1.3. Équations différentielles linéaires scalaires 3
1.3.1. Équations du premier ordre 3
1.3.2. Utilisation d’un logiciel 3
1.4. Équations linéaires du second ordre 4
1.4.1. Le cas des coefficients constants 4
1.5. Utilisation d’un Wronskien 5
1.5.1. Cas du second ordre scalaire 5
1.6. Utilisation de séries entières 6
1.6.1. Séries majorantes 6
1.7. Séries entières et équations différentielles 7
2. Quelques exercices 8
2.0.1. Éléments de solution 9
3. Cas général 10
3.1. Un lemme de comparaison 12
3.2. Applications 13
3.2.1. Exemples 14
4. Le théorème des bouts 15
4.1. Applications 16
4.2. Barrières 16
5. Liste des leçons sur les équations différentielles en 2013 18
Bibliographie 18
Index 19
1. Le cas linéaire
1.1. Généralités
Soient Iun intervalle de Rnon réduit à un point, E=Rnou Cnet Uun ouvert de E. Si fest
une application continue de I×Udans E, une solution de l’équation différentielle u0=f(t, u)
est une application dérivable yde Idans Utelle que y0(t) = f(t, u(t)) pour tout t∈I. Si,
pour tout t∈Il’application x7→ f(t, x)est une application affine (continue (1) ) on dit que
l’équation est linéaire. On peut alors l’écrire sous la forme
Y0=A(t)Y+B(t)(1.1)
avec A:I→ L(E)et B:I→Econtinues.
(1) c’est toujours le cas en dimension finie
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2ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
1.2. Théorème de Cauchy linéaire
Théorème 1.1. — Soient Aune application continue de Idans L(E)et Bune application
continue de Idans E. Pour tout point (t0, Y0)de I×E, l’équation linéaire (1.1) admet une
unique solution définie sur Itout entier et égale à Y0en t0.
Démonstration. — Commençons par remarquer que yest solution de (1.1) et Y(t0) = Y0si,
et seulement si, pour tout t∈Ion a
Y(t) = Y0+Zt
t0
(A(u)Y(u) + B(u)) du. (1.2)
Soit Jun intervalle compact inclus dans I: sur J A et Bsont bornées : il existe αet βréels
tels que kA(t)k6αet kB(t)k6βpour tout t∈J. On définit Y0(t) = Y0puis, pour tout entier
n > 0,
Yn+1(t) = y0+Zt
t0
(A(u)Yn(u) + B(u)) du.
On a alors :
kY1−Y0k6(αkY0k+β)|t−t0|
et, par récurrence,
kYn+1 −Ynk6(αkY0k+β)αn|t−t0|n+1
(n+ 1)! .
La série de terme général αn|t−t0|n+1
(n+1)! étant convergente, la série P(Yn+1(t)−Yn(t)) converge
normalement donc uniformément puisque Eest complet : la suite Ynconverge donc unifor-
mément vers une fonction continue Yqui vérifie (1.2. C’est donc une solution de l’équation
proposée.
Si Y1et Y2sont solutions sur J, leur différence Yvérifie pour tout t∈J
Y(t) = Zt
t0
A(u)Y(u)du.
Mais Yest continue donc bornée par un réel Msur le compact Jde sorte que pour tout t∈J
on a
kY(t)k6Mα|t−t0|.
Il en résulte comme ci-dessus, que pour tout entier n
kY(t)k6Mαn|t−t0|n
n!.
Yest donc identiquement nulle sur Jce qui prouve l’unicité.
Si J1et J2sont deux intervalles compacts de Id’intersection non vide contenant t0, les
solutions YJ1et YJ2définies ci-dessus coïncident, par unicité, sur J1∩J2on peut donc définir
une solution Ysur J1∪J2. D’autre part, si t∈I, il existe un compact Jde Icontenant tet
t0: il existe donc une solution globale du problème posé (problème de Cauchy)
Remarques 1.2. — – Si Y1et Y2sont deux solutions de (1.1), Y1−Y2est solution de l’équa-
tion homogène U0(t) = A(t)U(t). Pour résoudre (1.1) il suffit donc de résoudre l’équation
homogène et de trouver une solution (souvent appelée « solution particulière »de l’équation
« complète ».
PRÉPARATION À L’AGRÉGATION INTERNE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3
– Soit (t0, y0)∈I×E. D’après le théorème précédent, il extiste une unique solution de (1.1)
passant par y0au temps t0. Il en résulte que les trajectoires {(t, Y (t)) ; t∈I}des solutions
forment une partition de I×E.
– Le théorème de Cauchy montre en outre que si t∈I(Iest un intervalle de R) l’application
σt:y∈ S 7→ y(t)∈Eest un isomorphisme : l’espace des solutions est donc de dimension
dim(E). La résolvante. R(t, t0)est la matrice de σt◦σ−1
t0. La résolvante permet de résoudre
l’équation complète par « variation des constantes ».
– (1.2) montre alors que l’espace des solutions de (1.1) est un espace affine de dimension
dim E.
– Bien noter que ce qui précède n’est en général plus vrai si In’est pas un intervalle. On
pourra par exemple chercher l’ensemble des solutions de y0=ysur I=] −1,0[∪]1,2[.
1.3. Équations différentielles linéaires scalaires
1.3.1. Équations du premier ordre
Comme nous l’avons vu, pour résoudre sur un intervalle Il’équation
y0+a(x)y=b(x)(1.3)
il suffit d’une part de trouver les solutions de l’équation homogène y0=−a(x)ypuis de trouver
une solution de (1.3). La fonction aétant continue sur Iy admet des primitives ; soit Al’une
d’elles. Il est facile de vérifier que pour tout réel C, la fonction x7→ Cexp (−A(x)) est
solution et que ce sont les seules (cf. la dimension). Nul besoin, d’ailleurs, d’invoquer les mânes
de Cauchy pour montrer que ce sont les seules solutions. Il suffit en effet, si yest solution, de
remarquer que la dérivée de y(x)eA(x)est nulle sur I.
La méthode de Lagrange (dite encore méthode de « variation de la constante, consiste à
chercher une solution de l’équation complète de la forme y(x) = C(x) exp (−A(x)) or
y0x) = C0(x) exp (−A(x)) −a(x)C(x) exp (−A(x))
de sorte que yest solution si et seulement si C0(x) = b(x) exp(A(x)). La fonction x7→
b(x) exp(A(x)) étant continue sur I, si x0∈I,
y(x) = exp(−A(x)) Zx
x0
b(t) exp(A(t)) dt
fournit une solution.
Remarque 1.3. — On le voit, même dans le cas des équations du premier ordre , on n’a en
général –hormis dans quelques exercices bien choisis– aucun moyen de calculer explicitement
les solutions d’une équation différentielle. Les études qualitatives des solutions (voir la suite) et
les méthodes de résolution approchée sont donc indispensables.
Pour les équations différentielles linéaires, on consultera avec profit ([3] et [4]).
1.3.2. Utilisation d’un logiciel
Les logiciels de calcul formel permettent parfois de résoudre explicitement des équations
différentielles.
Dans le cas d’équations linéaires scalaires on peut utiliser, avec Xcas, la commande desolve.
Par exemple, la commande
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desolve(y’+x*y=0)
fournit C0exp(−x2/2) et la commande
desolve(y’+x*y-exp(x)=0)
fournit
C0e−x2
2+e−x2 2Zex2+2·x 2dx (1.4)
Xcas fournit en outre plusieurs fonctions permettant de tracer des trajectoires de solutions
(odeplot, interactive_plotode etc ...) ce qui peut être très intéressant un jour d’oral.
1.4. Équations linéaires du second ordre
On considère ici des équations de la forme
y” + a(x)y0+b(x)y=c(x)(1.5)
où les fonctions a,bet csont continues sur un intervalle I.
1.4.1. Le cas des coefficients constants
On vérifie sans peine que eαx est solution de l’équation sans second membre si αest racine
de l’équation algébrique X2+aX +b= 0.
Soient αkles racines complexes de cette équation (dite équation caractéristique) et supposons
que αksoit une racine de multiplicité nk. Alors toute fonction de la forme P(t)eαktoù Pest un
polynôme de degré 6nk−1est solution de l’équation sans second membre. Une simple consid-
ération de dimension permet alors de démontrer que toute solution vde l’équation homogène
s’écrit d’une seule façon sous la forme
v(t) = XPk(t)eαkt
avec d0Pk6nk−1.
Il nous suffit donc de trouver une solution de l’équation complète. Si f1et f2sont deux
solutions linéairement indépendantes de l’équation sans second membre, toute solution de cette
dernière s’écrit sous la forme C1f1+C2f2où C1et C2sont des constantes. On cherche alors
une solution de la forme C1(t)f1(t) + C2(t)f2(t). On impose en outre la condition C0
1(x)f1(x) +
C0
2(x)f2(x) = 0 et tout revient alors à résoudre le système (2)
C0
1f0 1+C0 2f0 2=c(x)
C0
1f1+C0 2f2= 0
La seconde équation permet de calculer C0
1en fonction de C0 2, f1et f2et l’on obtient alors une
solution par intégration.
En pratique, on peut distinguer les cas suivants :
– Si c(x)est un polynôme de degré n, on peut chercher une solution particulière de la forme
Q(x)où Qest un polynôme de degré
a) nsi c6= 0
b) n+ 1 si c= 0
c) n+ 2 si b=c= 0
(2) Voir ce qui suit sur le Wronskien
PRÉPARATION À L’AGRÉGATION INTERNE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 5
– Si c(x) = P(x)eαx où Pest un polynôme de degré non cherche une solution de la forme
Q(x)eαx avec
a) d0Q=nsi αn’est pas racine de l’équation caractéristique
b) d0Q=n+ 1 si αest racine simple de l’équation caractéristique
c) d0Q=n+ 2 si αest racine double de l’équation caractéristique
Si c(x) = P(x) cos ωx ou P(x) sin ωx il suffit de remarquer qu’une solution particulière de
u”+au0+bu =f1+f2s’obtient en prenant le somme d’une solution particulière de u”+au0+bu =
f1et d’une solution particulière de au” + au0+bu =f2.
1.5. Utilisation d’un Wronskien
Soit Eun R-espace vectoriel de dimension finie n. L’espace Sdes solutions de l’équation
homogène Y0=AY où A:I→ L(E)est une fonction continue, est un espace vectoriel de
dimension n. On dit que (y1,···yn)est un système fondamental de solutions si les yisont des
solutions et si (y1,···yn)est une base de S.
Définition 1.4. — Soient y1, y2,···yndes solutions sur Ide l’équation Y0=AY . Le Wron-
skien de ce système de solutions est le déterminant
W(t) = det (y1(t),··· , yn(t)) .
Puisque σt:y∈ S 7→ y(t)∈Eest un isomorphisme, si W(t0)6= 0, alors W(t)6= 0 pour tout
t∈Iet si W(t0)=0alors West identiquement nul. D’autre part, un calcul simple montre que
W0(t) = tr (A(t)) W(t)
de sorte que
W(t) = W(t0) exp Zt
t0
tr (A(s)) ds.
1.5.1. Cas du second ordre scalaire
Soit (e1, e2)des solutions de l’équation différentielle
y” + a(x)y0+b(x)y= 0.
Le Wronskien de e1et e2est l’application
W:t7→ det e1e2
e0
1e0 2.
West dérivable et
W0(t) = e1e”2−e2e”1=−a(t)W(t)
et W(t) = Cexp −Rt
t0a(u)du. Il en résulte que si les conditions initiales (e1(t0), e0
1(t0)) et
(e2(t0), e0
2(t0)) sont linéairement independantes, pour tout t∈Ion a W(t)6= 0 et réciproque-
ment. On remarque alors, que si l’on connait e1, on peut obtenir e2en résolvant une équation
linéaire du premier ordre sur chaque intervalle où e1ne s’annule pas.Si
W(t0) = 1 0
0 1 
on retrouve le déterminant de la résolvante.
Tout ceci se généralise aux équations linéaires scalaires d’ordre n.
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