Introduction à la mécanique des APS 2015-2016 Gilles

Introduction à la mécanique des APS
INTRODUCTION A LA MECANIQUE
DES A CTIVITES P HYSIQUES ET SPORTIVES
2015-2016
Gilles Dietrich
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Introduction à la mécanique des APS
Table des matières
Bases mathématiques I : temps espace et trajectoire ............................................................................ 4
Espace .................................................................................................................................................. 4
Repère et référentiel ........................................................................................................................... 4
Exercice 1 : décours temporel et trajectoire ....................................................................................... 6
Modèle du corps humain ........................................................................................................................ 7
Notion de modèle................................................................................................................................ 7
Calcul de la positon du centre de masse d’un segment ...................................................................... 9
Centre de masse multi-segmentaire ................................................................................................. 10
Exercice 2 : Calcul du centre de masse total du corps ...................................................................... 12
Bases Mathématiques II : Angles et vecteurs........................................................................................ 13
Trigonométrie.................................................................................................................................... 13
Notion de vecteur.............................................................................................................................. 16
Notion de calcul vectoriel.................................................................................................................. 17
Application : calcul des angles articulaires ........................................................................................ 20
Exercice 3 : calcul de l’angle du genou .............................................................................................. 21
Vitesse et Accélération .......................................................................................................................... 23
Position, vitesse et accélération ........................................................................................................ 23
Vitesse ............................................................................................................................................... 23
Exercice 4 : Calcul de la vitesse d’une balle de tennis....................................................................... 25
Accélération....................................................................................................................................... 26
Exercice 5 : Saut en longueur ............................................................................................................ 27
Equation de mouvement ....................................................................................................................... 30
Expression de la vitesse finale en fonction de la vitesse initiale et de l’accélération. ...................... 30
Expression de la position finale en fonction des vitesses initiales et finales ainsi que de
l’accélération ..................................................................................................................................... 31
Relation entre la vitesse finale et la vitesse initiale, l’accélération et la position............................. 32
Exercice 6 : Jongleur .......................................................................................................................... 33
Exercice 7 : Equation de mouvement – 100 mètres ......................................................................... 34
Forces et lois de mouvement ................................................................................................................ 35
Introduction....................................................................................................................................... 35
Lois de Newton – Dynamique ........................................................................................................... 36
Loi d’inertie.................................................................................................................................... 36
Principe fondamentale de la dynamique ...................................................................................... 37
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Introduction à la mécanique des APS
Loi d’action et de réaction............................................................................................................. 38
Diagramme du corps libre – Analyse statique................................................................................... 39
Exemple 1 : le poids ........................................................................................................................... 39
Exemple 2 : système en équilibre...................................................................................................... 40
Exercice 8 Croix de fer .................................................................................................................. 41
Moment et couples de forces ............................................................................................................... 42
Analyse statique ................................................................................................................................ 44
Exercice 9 : calcul de la force des fléchisseurs du coude .................................................................. 46
Quantité de mouvement et Impulsion .................................................................................................. 47
Définition ........................................................................................................................................... 47
Relation Quantité de mouvement et Impulsion ............................................................................... 48
Collisions et chocs ............................................................................................................................. 48
Chocs élastiques et non élastiques ................................................................................................... 49
Energie mécanique ........................................................................................................................ 49
Choc élastique ............................................................................................................................... 50
Choc non parfaitement élastique .................................................................................................. 51
Exercice 10......................................................................................................................................... 52
Exemples d’analyse des activités physiques et sportives I : Lancers et sauts ....................................... 53
Loi de gravitation ............................................................................................................................... 53
Lancer du poids : détermination de l’angle (α) optimal de lancer.................................................... 54
Plongeon : évaluation du temps de vol ............................................................................................. 57
Saut en longueur : optimisation de l’angle d’envol .......................................................................... 58
Saut en hauteur ................................................................................................................................. 59
Exemples d’analyse des activités physiques et sportives I I : mécanique des fluides........................... 60
Natation............................................................................................................................................. 60
Hydrostatique ................................................................................................................................ 60
Exercice 11 : Equilibre vertical du nageur ..................................................................................... 62
Hydrodynamique de la nage ......................................................................................................... 62
Exercice 12 : Efficacités de propulsion .......................................................................................... 65
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Introduction à la mécanique des APS
Bases mathématiques I : temps espace et trajectoire
Espace
L’espace peut être décrit par un système géométrique à trois dimensions. Dans ce système les
positions sont calculées à partir d’une origine et en utilisant une mesure (distance).
Point matériel
Un point matériel est un objet géométrique de dimension égale zéro mais possédant une masse.
Dans le monde réel physique, aucun objet de ce type n’existe mais, par nécessité de simplification, il
est possible de considérer des objets physiques comme un point matériel. Par exemple la terre peut
être considérée comme un point matériel si l’on considère la trajectoire de celle-ci autour du soleil.
Cependant, cette approximation est beaucoup moins intéressante si l’on considère les mouvements
relatifs de la lune et de la terre.
La notion de point matériel est toutefois très utilisée car cette approximation permet de simplifier
tous les calculs de (bio) mécanique.
Temps
Le temps se mesure à partir d’une « horloge », c'est-à-dire une distance temporelle que l’on appelle
la durée. Le temps définie ainsi un espace à une dimension (possédant aussi une origine).
Repère et référentiel
Un espace est défini par ses dimensions. Afin de localiser (repérer) les points matériel dans cet
espace il est nécessaire d’utiliser un repère. Un repère est un objet mathématique décrivant l’espace
considéré. Ainsi il possède autant de composantes (axes) que l’espace possède de dimension. De plus
le repère possède une origine ainsi qu’une mesure de distance associée.
Exemple de repère.
Le repère cartésien
Axe Z
Dans ce type de repère il est possible de définir une distance
que l’on appelle distance euclidienne. Celle-ci est déterminée par
la formule suivante :
d (OM ) = Mx 2 + My 2 + Mz 2
Mz
O
M
My
Axe Y
Mx
La position du point (M) est alors définie comme la
succession des trois nombres (Mx, My, Mz). Ces trois
nombres sont appelés coordonnées de point M.
4
Axe X
Introduction à la mécanique des APS
Il existe d’autres types de repères ainsi que d’autres types de distance. Il est souvent utile de choisir
le « bon » repère permettant de simplifier à la fois la compréhension du système ainsi que le calcul.
Par exemple, en biomécanique est APS un repère en deux dimensions est souvent utilisé comme une
bonne approximation du monde en 3 dimensions.
Référentiel décours temporel et trajectoire
Supposons que le point M se déplace au cours du temps. La notion de repère géométrique doit être
étendue en incluant le temps. A l’espace trois dimensions est associé un espace de temps à une
dimension. Cette association porte le nom de référentiel. Ainsi, le repère permet de décrire la
géométrie et le référentiel permet de mesure la variation de positions au cours du temps, c'est-àdire la cinématique.
Dans un système à deux dimensions le point M occupe
différente s positions successives en fonctions du temps.
Dans ce cas on écrit Mt.
Axe Y
Mt
My
La trajectoire définie dont la « trace » laissée par l’objet en
mouvement. C’est donc bien un objet géométrique, indépendant
du temps.
Le décours temporel est, par contre, un graphique des positions
O
de l’objet en fonction du temps. En général, l’axe des abscisses
est l’axe du temps et l’axe des ordonnées correspond l’une des coordonnées de l’objet.
Mx
Exemple de trajectoire
Dans l’exemple suivant, la trajectoire de la balle est présentée. Afin d’enrichir la trajectoire, cette
figure incorpore le temps. L’origine du temps est indiquée (temps 0).
5
Axe X
Introduction à la mécanique des APS
Exercice 1 : décours temporel et trajectoire
Lors d’une course de 100 mètres, un athlète parcours cette distance en 10 secondes. En imaginant
ses mouvements et en considérant et athlète comme un point matériel, tracez
•
•
La trajectoire du coureur
Le décours temporel
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Introduction à la mécanique des APS
Modèle du corps humain
Notion de modèle
Afin de pourvoir appréhender un système complexe il est souvent (toujours) nécessaire de simplifier
le réel. Pour ce faire, on substitue au réel une représentation (mentale, physique, etc.) sous forme
verbale, graphique, mathématique (…) que l’on appelle modèle du réel. Ce modèle de réel ne peut
en aucun cas représenter l’ensemble des caractéristiques de l’objet observé mais contient une
représentation fonctionnelle. Par exemple, pour étudier le mouvement d’un objet, les
caractéristiques de texture, couleur etc. peuvent être oubliées. Le modèle est donc construit en
fonction de la question posée. Ceci signifie que le modèle possède une « zone » de validité au-delà
de laquelle il ne possède plus de sens.
Modèle du corps humain
Au vue de l’introduction précédente, il convient de dire qu’il n’existe pas de réponse unique à cette
question.
Afin de pouvoir utiliser les lois simples de la mécanique il convient tout d’abord de simplifier l’objet
d’étude, c'est-à-dire le corps humain. Les lois de la mécanique classique que nous allons utiliser pour
l’analyse du mouvement ne peuvent être utilisées que sur deux objets simples : le point matériel ou
le solide (indéformable et homogène).
Centre de masse
Les termes centre de masse et centre de gravité sont des termes
tout à fait échangeables. La seule distinction que l’on peut faire
est que le terme entre de masse est plus général que centre de
gravite. En effet ce dernier ne peut exister, en toute rigueur, que
lorsque le poids existe (présence de pesanteur).
Le centre de masse représente le point de « balance » de
l’ensemble de masse du corps c’est dire une position
géométrique moyenne de l’ensemble des masses. Ce lieu
« moyen » se nomme aussi barycentre. Ce lieu géométrique est
donc une position abstraite dépendante de la géométrie du
corps. Ainsi le centre de masse n’est pas confiné à l’intérieur du
corps mais peut sortir des limites physiques de l’objet considéré.
Par exemple lors d’un saut en hauteur il est tout fait possible,
pour des athlètes entrainées, de projeter le centre de masse à
l’extérieur du corps.
La notion de barycentre énoncé ci-dessus fait donc référence à
une moyenne géométrique des centres de masse de chaque
segment, pondéré par la masse relative de ce segment. Ainsi,
7
Introduction à la mécanique des APS
cette définition implique de connaitre au moins deux grandeurs (pour chaque segment) afin de
calculer le centre de masse total du corps.
Masse relative du segment.
Il est facile d’imaginer que, lorsque la masse totale du corps augmente, la masse de chaque segment
augmente dans les mêmes proportions. Il est donc envisageable d’élaborer un modèle (régressif)
permettant, à partir de la masse total du corps, de connaitre la masse de chaque segment.
Position relative des centres de masse.
En procédant avec le même raisonnement que précédemment, on peut admettre que la position du
centre de masse d’un segment est directement proportionnelle à la longueur du segment. Ainsi, il
est plus commode d’exprimer la position relative du centre de masse d’un segment. Par exemple, le
centre de masse du pied est situé au milieu du pied (entre les orteils et le talon). La position relative
du centre de masse est donc de 50% de la longueur du pied (soit 0.5). Attention toutefois, cette
mesure relative doit tenir compte du sens de la mesure (disto-proximal).
Segment
Masse relative
Position relative du
Centre de Masse
Main
0.006
0.506
Avant Bras
0.016
0.430
Bras
0.028
0.436
Pied
0.0145
0.500
Jambe
0.0465
0.433
Cuisse
0.100
0.433
Tronc
0.497
0.500
Tête
0.081
1.000
Le tableau ci-dessus donne un modèle très simple permettant de calculer ma masse de chaque
segment ainsi que la position des centres de masse de chaque segment. Il existe plusieurs types de
modèle. Le choix du modèle dépend de la précision souhaitée.
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Introduction à la mécanique des APS
Calcul de la positon du centre de masse d’un segment
Etape 1 : calcul sur un segment
La table ci-dessus donne la distance relative
du CM (k) en fonction de la longueur du
segment :
k=
Axe y
yp
point
Proximal
C
PC
PD
yc
Dans un espace à deux dimensions (cf. figure),
il est possible de calculer la position du centre
de masse (C) par rapport à l’origine :
yd
point
Distal
Axe x
OC = OP + PC
OC = OP + kPD
xd
xc
xp
Les coordonnées du CM sont donc
xc = x p + k ( x d − x p )
yc = y p + k ( yd − y p )
où k représente la position relative du centre de masse du segment, xd et yd les coordonnées de
l’extrémité distale du segment et xp ,yp sont les coordonnées de l’extrémité proximal du segment.
Exemple 1
A partir de la table anthropométrique, calculez les coordonnées des centres de masse du pied et de
la cuisse.
Le pied est défini à partir de deux repères anatomiques :
•
•
Articulation métatarsienne
Articulation de la cheville
D (1.011, 0.013)
P (0.849, 0.110)
Point distal
Point proximal
La table donne une distance relative de 0.5. Ainsi la position du centre de masse est
x = 0.849 + (1.011 − 0.849 ) * 0.5 = 0.930 m
y = 0.110 + (0.013 − 0.110 ) * 0.5 = 0.0615 m
La cuisse est aussi définie par deux repères anatomiques
•
•
Le condyle latéral
Le grand trochanter
D (0.864, 0.549)
P ((0.721, 0.928)
x = 0.721 + (0.864 − 0.721) * 0.433 = 0.783
y = 0.928 + (0.549 − 0.928) * 0.433 = 0.764
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Introduction à la mécanique des APS
Centre de masse multi-segmentaire
Lors du mouvement des différents segments du corps, il est maintenant facile d’imaginer que la
position des différents centres de masse segmentaires évolue en fonction du temps, et par
conséquent, la position du centre de masse du corps évolue aussi en fonction du temps.
Pour évaluer cette position il est donc nécessaire de connaitre la position de chaque centre de masse
segmentaire. Par exemple, la figure ci-dessous montre la position du centre de masse du membre
inférieur, calculée à partir de la position des centres de masse du pied, de la jambe et de la cuisse.
La formulation (barycentre) est la suivante :
Axe y
m x + m 2 x 2 + m3 x 3
x0 = 1 1
m1 + m 2 + m3
y0 =
(x3,y3)
m1 y1 + m 2 y 2 + m3 y 3
m1 + m2 + m3
(x0,y0)
(x2,y2)
où m1, m2 et m3 représentent respectivement
les masses du pied, de la jambe et de ma
(x1,y1)
Axe x
cuisse, et (x1, y1) , (x2,y2) et (x3,y3) représentent
respectivement les coordonnées des centres de masse du pied, de la jambe et de la cuisse.
Exemple 2 : calcul du centre de masse du membre inférieur
Calculez le centre de masse du membre inférieur d’une personne de 80 kg. Les positions des repères
anatomiques sont les suivants :
Repère anatomique
position x (m)
position y (m)
5ème Meta
0.0753
0.0935
Cheville
0.0931
0.2144
Tête du péroné
0.3591
0.4053
Condyle externe du genou
0.4100
0.4740
Grand trochanter
0.4494
0.7858
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Introduction à la mécanique des APS
Etape 1 : masse de chaque segment :
A partir de la table anthropométrique, il est possible de calculer les masses segmentaires
Masse du pied
= 0.0145 × 80 = 1.16 kg
Masse de la jambe
= 0.0465 × 80 = 3.72 kg
Masse de la cuisse
= 0.100 × 80 = 8.0 kg
Etape 2 : calcul des positions des centres de masse segmentaire
Pied
x1= 0.0931+(0.0753-0.0931)*0.5=
y1=0.2144+(0.0935-0.2144)*0.5=
0.084
0.154
Jambe
x1=0.3591+(0.0931-0.3591)*0.433=
y1=0.4053+(0.2144-0.4053)*0.433=
0.244
0.323
Cuisse
x1=0.4494+(0.4100-0.4494)*0.433=
y1=0.7858+(0.4740-0.7858)*0.433=
0.432
0.651
Etape 3 calcul du centre de masse du membre inférieur
Masse du membre inférieur
Centre de mass
m1+m2+m3=1.16+2.72+8.0 = 11.88 kg
x0=(1.16*0.084+2.72*0.244+8.0*0.432)/11.88 = 0.355
y0=(1.16*0.154+2.72*0.323+8.0*0.433)/11.88 = 0.381
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Introduction à la mécanique des APS
Exercice 2 : Calcul du centre de masse total du corps
Calcul du centre de masse d’un sujet dont la masse est de 80 kg.
a) Calculer les positions des centres de masse de chaque segments (dans le repère proposé)
b) calculer la position du centre de masse du corps.
Méthode
1.
2.
3.
4.
Calcul de position (coordonnées) des repères anatomiques.
Calcul des centres de masse de chaque segment
Calcul de la masse de chaque segment
Calcul du centre de masse du corps.
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Introduction à la mécanique des APS
Bases Mathématiques II : Angles et vecteurs
Trigonométrie
La trigonométrie est une branche des mathématiques s’intéressant aux angles et aux relations entre
les angles et les positions.
Supposons maintenant qu’un point matériel décrive un mouvement circulaire.
Le mouvement décrit par le point M est défini par l’évolution
AxeY
de ses coordonnées (Mx, My) en fonction du temps. Si
maintenant nous traçons une ligne entre l’origine du repère et
My
le point M, il est possible de définir un angle entre l’axe Ox et
cette ligne. Cet angle (Ѳ) varie en fonction du temps (Ѳt).
Si la distance entre 0 et M (le rayon du cercle) est égale à 1,
O
alors les coordonnées du point M s’appellent respectivement
cosinus et sinus.
M
θ
Mx
Axe X
Mx = cos Ѳ
My = sin Ѳ
La distance est égale à 1 donc il est possible d’écrire :
d (OM ) = Mx 2 + My 2 = cos θ 2 + sin θ 2 = 1
cosθ 2 + sin θ 2 = 1
Si la distance (le rayon du centre) n’est plus égale 1 alors
cosθ
θ = Mx/OM
=> Mx = OM . cosθ
θ
sinθ
θ = My/OM
=> My = OM . sinθ
θ
Un angle est donc une grandeur décrivant l’évolution d’un point autour d’un cercle. Il n’est donc pas
étonnant que la mesure de cet angle corresponde à la définition du cercle. Ainsi l’angle Ѳ varie de 0 à
2π. La mesure de cet angle étant basée sur l’axe Ox, le sens positif est défini comme une rotation
dans le sens antihoraire. L’unité (internationale) de mesure angulaire est le radian. Cependant la
plupart des mesures angulaires est effectuée en degré (360 degrés est égale à 2π radians).
La valeur des cosinus et sinus varient entre -1 et +1. La courbe du sinus est symétrique par rapport à
l’origine alors que le courbe cosinus est symétrique par rapport l’axe vertical.
La courbe de cosinus est décalée de π/2 par rapport à la courbe du sinus.
13
Introduction à la mécanique des APS
sine function
cosine function
1.5
1.5
0.5
0.5
-0.5 1
-0.5 1
-1.5
-1.5
Lorsqu’un sinus ou un cosinus est multiplié par un nombre scalaire (y = a.sinθ) l’amplitude varie de ±
a. Lorsque l’on ajoute un nombre scalaire (b+a.sinθ) la fonction est décalée sur l’axe Oy.
Il est possible de définir une autre grandeur trigonométrique très utile à partir des fonctions sinus et
cosinus :
tan θ =
sin θ My
=
cos θ Mx
Relations angulaires
Cette figure illustre les relations entre les angles θ1, θ2, θ3 et θ4.
θ4 = -θ1
M2
π/2
θ2
π
cos(θ1) =cos(θ4)
sin(θ1) =-sin(θ1)
M1
θ1
cos(θ) = cos(-θ)
sin(θ) = - sin(-θ)
=>
=>
sin(θ) = sin(π - θ)
cos(θ) = - cos(π - θ)
θ2 = π - θ 1
0
2π
O
=>
=>
sin(θ1) = sin(θ2)
cos(θ1) = -cos(θ2)
θ4
M4
M3
2π/3
θ3 = π + θ1
cos(θ2)=cos(θ3) =-cos(θ1) =>
sin(θ2)=-sin(θ3) = sin(θ1) =>
cos(θ) = -cos(π + θ)
sin(θ) = -sin(π + θ)
Application
Triangle rectangle
La plupart des problèmes liés la notion d’angle peuvent être résumée par la notion de triangle
rectangle. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
14
Introduction à la mécanique des APS
A = angle droit
a = hypoténuse (coté le plus long, opposé à l’angle droit)
B+B+C = π
B
a
c
θ
A
C
b
En comparant cette figure à la figure de la définition des angles, il est alors possible de définir les
relations suivantes :
sinθ = c/a = coté opposé/hypoténuse
cosθ =
tanθ =
b2+c2=
Dans un triangle quelconque, les relations sont les suivantes :
c2 = a2 + b2 -2ab cos C
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
C
b
a
A
B
c
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Introduction à la mécanique des APS
Notion de vecteur
Caractéristique d’un vecteur
Un vecteur est un objet mathématique qui englobe à la fois la notion de quantité (amplitude,
intensité) et la notion de direction (et de sens sur cette direction).
Graphiquement, ils sont généralement représentés par des lignes (dont la longueur correspond à
l’intensité) possédant à son extrémité une flèche indiquant le sens. La direction du vecteur est
indiquée par la ligne d’action.
Sens
Amplitude
Ligne d’action
Cet objet mathématique est très utile pour représenter des forces, des vitesses des accélérations etc.
Par exemple, cette notation graphique permet de résoudre les problèmes de composition des forces.
Cette résolution porte le nom de parallélogramme des forces
Si deux forces (F1 et F2) agissent sur un solide, il est possible de résumer leurs actions combinées en
une seule force que l’on appelle résultante. Cette résultante est donc la somme (vectorielle) des
deux forces F1 et F2.
Par définition, le parallélogramme est construit en traçant les deux
autres cotés parallèle aux deux forces. La résultante est la diagonale du
parallélogramme. Cette méthode graphique de résolution des
problèmes de vecteurs à été (est) souvent utilisée pour calculer le
vecteur résultant de plusieurs autres vecteurs.
La notation mathématique (vectorielle) de cette addition de vecteur est
la suivante :
F1
F2
r
r r
Fr = F1 + F2
Les flèches au dessus des symboles (F) montrent que cette addition n’est pas une simple addition
scalaire, mais une addition vectorielle. Il est à noté cependant que cette notation (flèche sur les
symboles) peut être omise dans la plupart des cas.
16
Introduction à la mécanique des APS
Exercice : Statique graphique : Addition de trois forces (vecteurs)
« Calculer » graphiquement la résultante de ces trois forces
F2
F1
F3
Notion de calcul vectoriel
Dans le cadre de l’analyse du mouvement et des activités physiques et sportives, la notion de vecteur
est souvent (toujours) utilisée. En effet, lorsque l’on parle d’une vitesse, d’une force, il est non
seulement important de connaitre son intensité, mais aussi sa direction, son sens ainsi que son point
d’application. Il devient donc utile de posséder des outils permettant de manipuler et de calculer ces
objets mathématiques que sont les vecteurs.
Au cours du premier chapitre, nous avons défini la notion de point matériel ainsi que la notion de
coordonnées de ce point. Les coordonnées sont des nombres permettant de localiser le point dans le
repère choisi.
La notion de vecteur étend cette définition. En
reprenant le même exemple, il est maintenant
possible de définir un vecteur comme la ligne
partant de l’origine (O) du repère et se
terminant au point M. Ce vecteur sera donc noté
OM (avec ou sans flèche).
Axe z
Mz
M
k
O
j
Le repère de cet espace (non pas géométrique
i
mais vectoriel), possède en outre sur chaque axe
Mx
des « vecteur unitaire ». Ces vecteurs unitaires
Axe x
(i, j, k) représentent les unités de mesure sur
chaque axe (cf. notion de distance dans un espace géométrique). L’amplitude de ces vecteurs
unitaires est donc, par définition, égale à 1.
17
M
Axe Y
Introduction à la mécanique des APS
Il est maintenant possible d’écrire la définition (vectorielle) de ce vecteur OM :
r
r
r
OM = Mx i + Myj + Mz k
ou
 Mx 


OM =  My 
 Mz 


Mx, My et Mz sont appelées composantes du vecteur OM.
L’amplitude du vecteur est définie par la relation de distance entre le point O et M
OM = Mx 2 + My 2 + Mz 2
n.b.
1
r  
i =  0
 0
 
r
i =1
 0
r  
j = 1
 0
 
0
r  
k = 0
1
 
v
j =1
r
k =1
Somme vectorielle
Nous avons déjà utilisé la méthode graphique pour additionner plusieurs vecteurs. Cette méthode
est parfaitement efficace mais ne peut pas être utilisée analytiquement et sa précision dépend du
tracé. Comme pour l’addition de nombre (scalaire), il existe des règles de calcul permettant
d’additionner les vecteurs.
Soit deux vecteurs V1 et V2, calculer la résultante V = V1 + V2
En reprenant les définitions ci-dessus, il est possible
d’écrire :
r
r
M3
r
V1+V2
V1 : OM 1 = M 1 x i + M 1 yj + M 1 zk
y-axis
r
r
r
V2 : OM 2 = M 2 x i + M 2 yj + M 2 zk
M2
V2
V = V1+V2 =
r
r
r
OM 3 = ( M 1 x + M 2 x)i + ( M 1 y + M 2 y ) j + ( M 1 z + M 2 z )k
En utilisant la deuxième notation, on arrive au même
résultat :
M1
V1
x-axis
18
Introduction à la mécanique des APS
 M1x   M 2 x   M1x + M 2 x 
r

 
 

V = OM 1 + OM 2 =  M 1 y  +  M 2 y  =  M 1 y + M 2 y 
M z M z  M z + M z
2 
 1   2   1
Ainsi l’addition de deux vecteurs donne un nouveau vecteur. C’est la raison pour laquelle cette
somme est qualifiée de vectorielle.
Exercice
Soit trois vecteurs (V1, V2 et V3) :
1. Calculer la résultante de ces trois vecteurs
2. Tracer le graphique de ces différents vecteurs
r  4 .5 
V1 =  
 3 .5 
r  − 2 .5 

V2 = 
 5 .5 
r  − 2
V3 =  
 − 9
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs (V1 et V2)
donne, par définition, un nombre scalaire. Ce
nombre est relié l’angle formé entre les deux
vecteurs V1 et V2.
y-axis
M2
V2
θ
Par définition, le produit scalaire (que l’on
notera •) est donné par l’expression suivante :
M1
r r
r
v
V1 • V2 = V1 * V2 * cos θ
V1
j
i
x-axis
Analytiquement, cette expression est égale à :
 Mx 
r r  Mx1   2 
V1 • V2 =  My1  •  My 2  = Mx1 * Mx 2 + My1 * My 2 + Mz1 * Mz 2
 Mz  
 1   Mz 2 
Exercice :
Calculer le produit scalaire de :
r r
i •i =
r r
i•j=
r r
3. i • k =
1.
2.
19
Introduction à la mécanique des APS
Application :
Le produit scalaire est utilisé pour calculer une quantité résultant du produit de deux vecteurs. Par
r
exemple, nous verrons que le Travail peut être défini comme le produit de la Force F par le
r
r
r
déplacement d . La force et le déplacement sont des vecteurs, donc W = F • d .
Produit vectoriel
Il existe un autre type de produit appelé produit vectoriel (noté ⊗). Cette fois, le résultat de ce
produit est un vecteur : V1 ⊗ V2 = V3.
Il existe aussi dans ce cas une relation entre l’angle entre les deux vecteurs et le vecteur résultant :
r r
r
r
r
r
V = V1 ⊗ V2 = ( V1 * V2 * sin θ )u
r
où u est un vecteur unitaire définissant la direction perpendiculaire au
plan défini par les deux vecteur V1 et V2.
V2
V1
Il est possible de définir analytiquement le produit vectoriel
V
 My1.Mz 2 − Mz1.My 2 
r r r 

V = V1 ⊗ V2 =  Mz1.Mx 2 − Mx1.Mz 2 
 Mx1.Mz 2 − My1.Mx 2 


Le produit vectoriel est souvent utilisé pour calculer des repères (repère de Frenet par exemple), ou
pour calculer le moment d’une force par rapport un axe.
Application : calcul des angles articulaires
P2
y2
V
y1
Un vecteur (V) est défini par ses composantes que l’on peut
calculer par l’intermédiaire des coordonnées des extrémités du
vecteur :
r  x 2 − x1 
 avec
V = 
 y 2 − y1
P1
P1 = ( x1, x2 ) et
j
i
x1
x2
P2 = ( x2, y 2)
20
Introduction à la mécanique des APS
En ajoutant à cette première figure un second vecteur, nous avons :
P3
y3
y2
P2
V2
θ
V 1 • V 2 = V 1 * V 2 * cos θ
V1
y1
Il est maintenant possible de calculer le produit scalaire de
ces deux vecteurs :
cosθ =
P1
V1 • V 2
V1 * V 2
V 1 = ( x 2 − x1) 2 + ( y 2 − y1) 2
j
i
x1 x3
x2
V 2 = ( x3 − x1) 2 + ( y3 − y1) 2
 x 2 − x1   x3 − x1 
 * 
 = ( x 2 − x1) * ( x3 − x1) + ( y 2 − y1) * ( y3 − y1)
V 1 • V 2 = 
 y 2 − y1  y3 − y1
Et d’en déduire l’angle ente ces deux vecteurs :
θ = a cos(
( x 2 − x1) * ( x3 − x1) + ( y 2 − y1) * ( y3 − y1)
( x 2 − x1) 2 + ( y 2 − y1) 2 * ( x3 − x1) 2 + ( y3 − y1) 2
)
Exercice 3 : calcul de l’angle du genou
En utilisant la figure suivante (déjà utilisée pour le calcul du centre de masse), calculer l’angle du
genou.
Méthode :
1. Détermination des vecteurs
2. Calcul des coordonnées de chaque extrémité des
vecteurs.
3. Calcul du produit scalaire
4. Détermination de l’angle.
21
Introduction à la mécanique des APS
1. Donc : Facteur d’échelle
2. Coordonnées des points
a. en cm (mesuré)
P1 = (, )
P2 = (, )
P3 = (, )
b. in m (facteur d’échelle)
P1 = (, )
P2 = (, )
P3 = (, )
3. Coordonnées des vecteurs
 ?− ?   ? 
 =  
V 1 = P1P 2 = 
−

  ?
 ?− ?   ? 
V 2 = P1P3 =  ?
?  =  
 −   ?
4. Amplitude des vecteurs
V 1 = (?) 2 + (?) 2 =
V 2 = (?) 2 + (?) 2 =
5. Produit scalaires
? ?
V 1 • V 1 =   •   = ?* ?+ ?* ? =
? ?
6. Angle
cos θ =
V1 • V 2
?
=
=?
V 1 * V 2 ?* ?
θ = cos −1 (θ ) = ? rad ou ? deg
22
Introduction à la mécanique des APS
Vitesse et Accélération
Position, vitesse et accélération
La position d’un objet dans l’espace fait référence sa localisation (en fonction du repère choisi).
Cette position est représentée par un vecteur. Lorsque cette position évolue dans le temps (et
l’espace), cela produit un déplacement (ou mouvement). Ainsi, le mouvement ne peut pas être
détecté instantanément mais il résulte de la comparaison de la position d’un objet à un instant (t)
puis un autre instant (t+1). Il y a mouvement lorsque les deux positions sont différentes
(déplacement). Ainsi le mouvement se déroule dans le temps ET l’espace.
Lorsque l’on parle le déplacement, le mouvement est perçu dans sa composante spatiale. Pour
prendre en compte la dimension temporelle du mouvement, les notions de vitesse et d’accélération
sont nécessaires.
Dans le langage des sciences du mouvement, la vitesse (et l’accélération) sont des vecteurs et ne
réfèrent pas simplement à la quantité de vitesse ou d’accélération (contrairement au langage
courant).
Vitesse
La vitesse est définie comme le taux de variation de la position par rapport au temps. En d’autres
termes, la vitesse exprime la rapidité de changement de position ainsi que la direction de ce
changement. Le déplacement a été défini comme le changement de position, ainsi il est possible de
définir la vitesse comme la variation temporelle du déplacement.
3
Cette figure représente les positions successives d’un objet dans un espace à deux dimensions. Le
temps entre ces positions est de 3 secondes.
Axe y
Le déplacement à été défini comme le
changement de position. Au temps t
(première observation), la position du point
est de (2, 2) et sa position au temps t+3
(deuxième observation) est de (4, 3).
Le déplacement de cet objet est alors de :
2
1. Sur l’axe X :
2. Sur l’axe Y:
∆x = 4 - 2 = 2
∆y = 3 - 2 = 1
Axe x
O
Supposons que l’unité de mesure soit en
mètre. Le déplacement, sur une période de 3
secondes est de 2 mètres pour l’axe X et de 1 mètre pour l’axe Y. Donc la variation temporelle du
déplacement est de 2m/3s = 0.67 m/s pour l’axe X et de 1m/3s = 0.33 m/s pour l’axe Y. Ainsi la
vitesse est définie par les deux composantes (X et Y) de la variation temporelle du déplacement.
2
4
En utilisant cette méthode, nous avons définie la vitesse moyenne de l’objet entre les deux
observations.
23
Introduction à la mécanique des APS
vitesse =
∆position ∆p
=
∆t
∆temps
∆ indique un changement (une variation) d’un paramètre. L’équation ci-dessus permet d’établir
l’unité de mesure de la vitesse. Dans le système international, la mesure de la position est le mètre,
la mesure du temps est la seconde. Ainsi l’unité de mesure de la vitesse est le m/s ou m.s-1
∆ indique en outre que les variations mesurées sont significatives (∆t = 3s). Qu’en est-il lorsque le ∆t
devient proche de zéro. En fait, il faut introduire un nouveau concept élaboré par Varignon en 1698.
Ce concept de vitesse instantanée stipule que la vitesse, calculée normalement entre deux instants,
peut être évalué à in temps t. Dans ce cas, il est nécessaire de recourir à un autre type de formalisme
(introduit par Leibniz en 1684) : le formalisme différentiel.
vitesse =
dp
dt
dp et dt signifie différence aussi petite que possible.
Nous pouvons maintenant exprimer le problème ci-dessus en termes mathématiques. La
point matériel P au temps t, possède la position P0=(P0x, P0y)T avec P0x = 2, P0y =2,
et au temps t+3 P3=(P3x, P3y)T avec P3x = 4, P0y =3
Le déplacement est donc de
 P x − P0 x 

∆P =  3
 P3 y − P0 x 
Il est aussi possible de calculer l’amplitude du déplacement :
 2
 4
P0 =  ; P3 =  
 2
 2
 4 − 2  2
 =  
∆P = 
3 − 2 1
∆P = 2 2 + 12 = 5 = 2.23
Et le vecteur vitesse ainsi que sont amplitude
r  ∆Px   2 
r ∆P 
 0.67 

V=
=  ∆t  =  3  = 
∆t  ∆Py   1   0.33 

  
 ∆t   3 
r
V = Vx 2 + Vy 2 = 0.67 2 + 0.33 2 = 0.44 + 0.11 = 0.75
24
Introduction à la mécanique
m
des APS
Exercice 4 : Calcul de la vitesse d’une balle de tennis
1
2
3
8
7
6
5
Cette figure représente les 8 positions successives d’une balle de tennis lors d’un rebond. Le temps
entre chaque prise de vue est de 0.004 s et le diamètre de la balle est de 0.067 m.
1. Quel est le facteur d’échelle du document
2. En prenant le coin bas gauche comme origine du repère, quelles sont les coordonnées de la
balle de tennis aux différents instants.
3. Calculer les composantes horizontale et verticale de la vitesse instantanée de la balle de
tennis (unité m/s).
4. Calculer la vitesse moyenne de la balle avant et après le rebond.
#
Temps (s)
1
0.000
2
0.004
3
4
0.008
Pos Horiz. (m)
Px
Pos Vert. (m)
Py
Vit. Hor.(m/s)
Vx
N.A
5
6
7
8
25
Vit. Vert. (m/s)
Vy
N.A
Amplitude
(m/s)
N.A.
Introduction à la mécanique des APS
Accélération
La vitesse n’est pas un concept suffisant pour décrire le mouvement. Par exemple, si une balle est
lâchée à 1.23 mètres au dessus du sol, elle atteindra ce sol après un temps de 0.5 seconde. Le
déplacement (changement de position) est de 1.23 mètres et la vitesse moyenne est de 2.46 m/s
(1.23/0.5). Cependant, il est aisé de constater que la balle ne possède pas une vitesse constante. Au
moment du lâché, la vitesse de la balle est de 0 (zéro) m/s. Sa vitesse augment durant tout le trajet
pour atteindre to 4.91 m/s juste avant le contact au sol. Ainsi la variation de vitesse par rapport au
temps est nommée accélération. Dans le cas de la balle, cette accélération est constante et son
amplitude est de 9.81 m/s/s. Nous avons donc définie l’accélération :
acceleration =
∆vitesse
∆temps
Nous pouvons, comme dans le cas de la vitesse, calculer une accélération instantanée :
a=
dv
dt
En remplaçant l’expression de la vitesse instantanée :
a=
d2p
dt 2
Au-delà de l’accélération
Le calcul de la vitesse et de l’accélération est donc simplement le résultat d’un algorithme de calcul.
Cet algorithme est appelé différentiation. Dans ces conditions il est alors possible de calculer les
variations de l’accélération etc.
26
Introduction à la mécanique des APS
Exercice 5 : Saut en longueur
La figure ci-dessous représente un kinograme d’un saut en longueur (triple saut).
Axe Y
Axe X
La table suivante donne les coordonnées du centre de masse dans le repère de la figure.
temps
(s)
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
1.
2.
3.
4.
x
(m)
0.000
0.900
1.800
2.700
3.600
4.500
5.400
6.300
7.200
Y
(m)
0.000
0.251
0.404
0.459
0.416
0.274
0.035
-0.302
-0.738
Calculer la vitesse instantanée du centre de masse du sujet (axes X et Y)
Quelles sont les différences entre les vitesses horizontale et verticale
Calculer l’accélération instantanée du centre de masse du sujet (axes X et Y)
Pourquoi les composantes X et Y de l’accélération ne sont pas identiques.
27
Introduction à la mécanique des APS
Méthode
La vitesse, entre deux observations, à été définie comme :
vitesse =
∆position ∆p
=
∆temps
∆t
∆ indique un changement des paramètres position et temps. Si on considère que ce ∆ est
suffisamment petit, il est possible de considérer que la l’équation puisse aussi définir la vitesse
dp
instantanée :
v=
dt
Pour calculer la vitesse d’un vecteur position, il faut utiliser la même formulation :
r
r dP
V=
dt
 dPx 
Vx
Px
  d    dt 

  =   = 
dPy
Vy
Py
dt


 
  

 dt 
Dans cet exercice, le dt est égale à 0.100 seconde.
Calcul de la vitesse instantanée ente l’image 1 et 2
Temps
x
y
(s)
(m)
(m)
0.000
0.000
0.000
0.100
0.900
0.251
Vx = (0.900-0.000)/0.100 = 9.000 m/s
Vy = (0.251-0.000)/0.100 = 2.510 m/s
Calcul de la vitesse instantanée ente l’image 2 et 3
temps
x
y
(s)
(m)
(m)
0.000
0.000
0.000
0.100
0.900
0.251
0.200
1.800
0.404
Vx = (1.800-0.900)/0.100 = 9.000 m/s
Vy = (0.404-0.251)/0.100 = 1.530 m/s
Vitesse
temps
(s)
0.000
0.100
0.200
Vx
(m/s)
9.000
9.000
Vy
(m/s)
2.510
1.529
28
Introduction à la mécanique des APS
Calcul de l’accélération entre l’image 2 et 3
L’accélération est définie comme la variation temporelle de vitesse.
acceleration =
∆velocity
∆time
acceleration =
dv
dt
Expression vectorielle :
r
r dV
A=
dt
 dVx 
 Ax  d  Vx   dt 

  =   = 
 Ay  dt Vy   dVy 
 dt 
L’intervalle de temps (dt) est égale à 0.100 s
Ax = (9.000-9.000)/0.100 = 0.000 m/s/s
Ay = (1.529-2.510)/0.100 = -9.805 m/s/s
temps
(s)
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
Vitesse
Vx
(m/s)
9.000
9.000
9.000
9.000
9.000
9.000
9.000
9.000
Vy
(m/s)
2.510
1.530
0.550
-0.430
-1.420
-2.390
-3.370
-4.360
Acceleration
temps
Ax
Ay
(s)
(m/s/s)
(m/s/s)
0.000
0.100
0.200
0.000
-9.805
0.300
0.000
-9.800
0.400
0.000
-9.800
0.500
0.000
-9.900
0.600
0.000
-9.700
0.700
0.000
-9.800
0.800
0.000
-9.900
29
Introduction à la mécanique des APS
Equation de mouvement
Dans les chapitres précédents, nous avons défini algébriquement la position, la vitesse et
l’accélération. Ces trois vecteurs sont utilisés dans la description du mouvement. Au cours de ce
chapitre, nous allons exprimer les lois de mouvements (trois) utilisées lorsque l’accélération est
constante.
Expression de la vitesse finale en fonction de la vitesse initiale et de
l’accélération.
Dans les équations du mouvement, vi correspond à la vitesse initiale, et vf correspond à la vitesse
finale. Les deux expressions « finale » et « initiale » font référence au début et à la fin du
mouvement.
acceleration moyenne =
a=
∆vitesse
∆temps
v f − vi
t
a.t = v f − vi
v f = at + vi
Equation 1
Note : si « t » est petit, l’équation fait maintenant référence à l’accélération instantanée.
dv
dt
dv = a.dt
a=
v = ∫ dv = ∫ a.dt = at + vi
Exemple :
Saut en longueur (cf. chapitre précédent). En considérant que la vitesse lors de l’implusion est de
9.000 m/s selon l’axe longitudinal et de 2.510 m/s selon l’axe vertical, l’accélération est considérée
comme constante et égale à 9.805 m/s/s, l’instant du contact au sol est 0.800 s, il est possible de
calculer la vitesse à la fin du saut :
1. Vitesse initiale : 2.510 m/s
2. Accélération : 9.805 m/s/s
3. Durée du saut : 0.700 s (0.800 - 0.100)
L’équation 1 permet de calculer la vitesse finale :
vf=a.t+vi = -9.805*0.700 + 2.510 = -4.354 m/s
30
Introduction à la mécanique des APS
Expression de la position finale en fonction des vitesses initiales et finales
ainsi que de l’accélération
∆position
∆temps
v f + vi p f − pi
vitesse moyenne =
=
t
2
vitesse moyenne =
En utilisant l’expression de vf (Equation 1) dans cette équation, on obitient :
(vi + a.t ) + vi p f − pi
=
2
t
(v + at + vi )t
p f − pi = i
2
2
a.t + 2vi .t
pf =
+ pi
2
vitesse moyenne =
pf =
1 2
a.t + v i .t + p i
2
Equation 2
Note : si « t » est petit, l’équation fait maintenant référence à l’accélération instantanée.
dp
dt
dp = vdt
v=
p = ∫ dp = ∫ v.dt = ∫ (at + vi )dt =
1 2
at + vi t + pi
2
Ces équations indiquent que le changement de position d’un objet (ou la distance parcourue par cet
objet, si la direction est invariable), dépend de trois variables :
1. L’accélération (a)
2. La vitesse initiale (vi)
3. La vitesse finale (vf)
Dans le cas du saut en longueur, l’accélération est constante. Sur l’axe longitudinal, cette
accélération est égale à 0. Dans ce cas de figure, la position finale dépend uniquement de deux
variables : position et vitesse initiales.
a = 0 ⇒ p f = vi .t + pi
Equation 2b
31
Introduction à la mécanique des APS
Selon l’axe oX
a. Position initale : 0.900 m
b. Vitesse initiale : 9.000 m/s
c. Position finale : Pfx = 9.000*0.700 + 0.900 = 7.200 m
Selon l’axe Oy
a.
b.
c.
d.
Position initiale : 0.251 m
Vitesse initiale : 2.510 m/s
Accélération : -9.805 m/s/s
Position finale : Pfy = 0.5*(-9.805)*(0.700)2 + 2.510*0.700 + 0.251 = -0.394 m
Exercice :
Calculer, en utilisant les mêmes équations et les même paramètres de vitesses et de position, la
longueur du saut si celui-ci possède une durée de 0.750 s.
Relation entre la vitesse finale et la vitesse initiale, l’accélération et la
position
vitesse moyenne =
v f + vi
2
∆position
∆temps
p f − pi
=
t
De l’équation 1, il est possible de déduire l’expression du temps :
v f = vi + a.t
t=
v f − vi
a
Et ainsi exclure le temps de l’expression de la vitesse finale :
v f + vi
p f − pi a( p f − pi )
=
v f − vi
2
v f − vi
a
(v f + vi ).(v f − vi ) = 2.a( p f − pi )
=
v f − vi = 2.a ( p f − pi )
2
2
v f = vi + 2a( p f − pi ) Equation 3
2
2
32
Introduction à la mécanique des APS
Lorsque la vitesse initiale est égale à zéro (0), et que la position initiale est l’origine, alors ces trois
équations se simplifient
v f = a.t
1 2
a.t
2
= 2.a. p f
pf =
vf
2
Exercice 6 : Jongleur
Un jongleur s’exerce dans une pièce dont la hauteur est deux mètres au dessus de ses mains. Il lance
une balle qui atteint juste la hauteur du plafond (cf. figure).
V=0 m/s
2m
Question 1 : Quelle est la vitesse initiale nécessaire pour atteindre la hauteur du plafond.
Méthode : utiliser l’équation suivante : v f = vi + 2.a ( p f − pi )
2
2
avec a = -9.805 m/s/s
vf =
pf-pi =
vitesse initiale : vi = v f − 2.a ( p f − pi )
2
2
Question 2 : Quel est le temps nécessaire à la balle pour atteindre le plafond.
Méthode:
vitesse finale vf = 0 = v f = at + vi
Temps (Equation 1) t =
v f − vi
a
33
Introduction à la mécanique des APS
Question 3 : Calculer la vitesse finale lorsque la belle arrive dans la main du jongleur. Combien de
temps est-il nécessaire la balle pour parcourir ce trajet/
Question 4 : Le jongleur lance une deuxième balle avec une vitesse initiale (vi) égale à la vitesse
initiale de la première balle au moment ou celle-ci atteint le plafond. Combien de temps après le
lancement de la deuxième balle, est-il nécessaire pour que les deux balles se croisent.
Méthode : équation de mouvement de la première balle : p1 f =
1 2
gt + p1i
2
position initiale : 2 m (plafond)
vitesse initiale : 0 m/s
Equation de mouvement pour la seconde balle : p 2 f =
1 2
gt + v 21i t
2
position initiale : 0 m
vitesse initiale : vi
Les deux balles qui se croisent possèdent alors la position verticale : p1f = p2
1 2
1
gt + p1i = p 2 f = gt 2 + v 21i t
2
2
1 2
1
gt + p1i = gt 2 + v 2i t
2
2
p
p1i = v2i t ⇒ t = 1i
v 2i
p1 f =
p1i= 2.0 m
v2i =
t=
Exercice 7 : Equation de mouvement – 100 mètres
Supposons qu’un athlète réalise un 100 mètres en 9.980 secondes. Quelle est sa vitesse longitudinale
lorsqu’il franchit la ligne d’arrivée. Pour résoudre ce problème, nous pouvons supposer que la vitesse
augmente constamment de zéro (0 m/s) au moment du départ, jusqu’à la ligne d’arrivée (non
réaliste).
34
Introduction à la mécanique des APS
Forces et lois de mouvement
Introduction
Une force est généralement définie comme une interaction entre un objet et son environnement (en
incluant d’autres objets). Cette même force peut être définie comme un agent produisant ou plus
précisément, tend à produire un changement dans l’état de repos d’un objet. L’amplitude d’une
force se mesure en NEWTON.
Par exemple, si aucune force ne s’exerce sur objet, son état de repos restera inchangé. L’état de
repos, en termes de mouvement s’exprime par la vitesse de l’objet. Ainsi un objet est en état de
repos si sa vitesse (amplitude et direction) est constante. Par conséquent, ce sont les forces qui
permettent de générer des variations de mouvement.
Cette partie de la mécanique décrivant le mouvement par l’intermédiaire de forces s’appelle la
dynamique. Une force est, comme la vitesse, un vecteur. Cependant ce vecteur est un vecteur
« fixe », c’est à dire que son point d’application est aussi une caractéristique du vecteur force. A
l’opposé, il existe des vecteurs « glissants », dont le point d’origine n’est pas important.
Le calcul de la résultante de plusieurs forces peut être calculé soit par la méthode graphique, soit par
une méthode vectorielle.
Exercice
La figure ci-dessous illustre la méthode nécessaire pour calculer la résultante de la co-activation de
deux muscles (deux groupes du muscle pectoralis).
35
Introduction à la mécanique des APS
Lois de Newton – Dynamique
Les lois de Newton expriment, sous la forme de trois relations fondamentales, les relations entre les
forces et le mouvement.
a. Loi d’inertie
b. Loi de l’accélération (loi fondamentale de la dynamique)
c. Loi de l’action et de la réaction.
Loi d’inertie
« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne
droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le
contraigne à changer d'état. »
Plus simplement, une force est nécessaire pour débuter ou pour stopper un mouvement. Ce concept
d’inertie permet d’exprimer la « résistance » d’une masse à tous changements de vitesse. La masse,
exprimée en kg, correspond à la quantité de matière d’un corps, mais correspond aussi une mesure
quantitative de son inertie « rectiligne ».
Si on considère deux objets de masse différentes, mais possédant la même vitesse, il est facile
d’imaginer qu’il est plus difficile de modifier le mouvement de l’objet le plus lourd. Ainsi l’objet le
plus lourd sera décrit comme celui possédant l’inertie la plus grande.
Le mouvement est souvent décrit en termes de vitesse (sens et amplitude), l’inertie d’un objet est
une propriété ce cet objet qui ne peut être perçu que lorsqu’il existe des variations de vitesse de
l’objet, c'est-à-dire lorsque cet objet est accéléré.
Cette première loi stipule donc qu’un objet animé d’un mouvement uniforme (vitesse constante) doit
continuer son mouvement en ligne droite.
36
Introduction à la mécanique des APS
Exercice
En se basant sur ce premier principe de la dynamique, déterminer la figure correspondante à la
réalité. Expliquer votre choix.
Si aucune force n’agit sur un objet, cet objet doit continuer son mouvement en ligne droite. Ainsi,
dans le plan horizontal, si l’on relâche la corde, aucune force horizontale ne s’applique à la balle et
celle-ci doit continuer sa course en ligne droite. Comment expliquer alors que en base ball par
exemple il soit possible d’obtenir des trajectoires horizontales non rectilignes ?
Principe fondamentale de la dynamique
« Le taux de variation de la quantité de mouvement d’un objet est proportionnel à
la force appliquée »
La quantité de mouvement d’un objet correspond au produit de sa vitesse par sa masse. Ainsi un
coureur de 60 kg courant une vitesse de 8 m/s possède une quantité de mouvement de 60x8 =
480 kg.m/s.
Le taux de variation de cette quantité de mouvement peut être écrit de la façon suivante :
∆q ∆ (mv )
=
∆t
∆t
En considérant la masse (m) comme constante, il est possible de calculer la force appliquée :
F=
∆q
∆v
=m
∆t
∆t
∆v
correspond à une mesure de l’accélération, la relation peut alors s’écrire sous la
∆t
forme : F = ma
De plus,
37
Introduction à la mécanique des APS
Ainsi cette deuxième loi de newton stipule que toutes variations de mouvement provient d’une
« force motrice ». Par exemple, une pierre chutant du bord d’une falaise est « actionnée » par une
force (la gravitation) agissant sur la pierre. Cette force de gravitation est proportionnelle à la masse
de la pierre ainsi qu’à une constante de gravitation (g).
Loi d’action et de réaction
« Pour chaque action, il existe une force de réaction égale et opposée a la force
d’action »
Cette loi, très différentes des deux précédentes, implique la force est envisagée comme une
interaction entre (au moins) deux objets. Elle permet d’envisager la nature même des forces et pas
seulement l’effet de celle-ci en terme de mouvement.
38
Introduction à la mécanique des APS
Diagramme du corps libre – Analyse statique
Pour analyser l’ensemble des forces s’exerçant sur un corps, in est souvent utile de réaliser un
schéma simplifié où toutes les forces externes sont représentées. Ce diagramme doit aussi inclure le
référentiel. Cette figure regroupe les caractéristiques suivantes :
1. C’est une figure très simplifiée (« diagramme en bâton ») d’un système isolé que l’on veut
étudier. Chaque interaction avec l’extérieur devra être notée.
2. Ce diagramme peut correspondre au corps ou à une partie du corps, isolé virtuellement.
3. Ce diagramme est considéré comme un système rigide où toutes les forces extérieures sont
notées.
Notion de système mécanique
Exemple 1 : le poids
ΣF = ma
W
z
x
Fg
Analyse statique
r r r
r
ΣF = W + Fg = m.a = 0
r r
W + Fg = 0
r
r
Fg = −W
39
Introduction à la mécanique des APS
Exemple 2 : système en équilibre
Considérons le système mécanique suivant. En considérant le système en équilibre, calculer la force
R (et ses composantes Rx et Ry) ainsi que l’angle entre cette force et l’axe horizontal.
10 N
5N
3N
y
Rx
Ry
x
R
Etape 1 : forces appliquées sur le système
 0
F1 =  
 5
0
F 2 =  
10 
 − 3
F 3 =  
 0 
Etape 2 : Résolution
The next step is to resolve graphically R into horizontal (Rx) and vertical (Ry) components. Once all
forces are resolved into x and y direction, the forces in each direction can be summed to determine
the magnitude of the unknown force.
Le système étant en équilibre statique : ΣF = 0
F1+F2+F3 +R = 0
or
R = -(F1+F2+F3)
Dans la direction Ox :
Rx=-(F1x+F2x+F3x)
Rx=-(0+0-3) = 3 N
Dans la direction Oy
40
Introduction à la mécanique des APS
Ry = -(F1y+F2y+F3y)
Ry=-(5+10+0) = -15 N
Il est possible maintenant de calculer l’amplitude du vecteur :
r
2
2
R = R x + R y = (3) 2 + (−15) 2 = 9 + 225 = 15.3 N
Calcul de l’orientation du vecteur
Rx = R cos θ
Ry = R sin θ
Rx
R
3
cos θ =
= 0.196
15.3
θ = cos −1 (0.196) = 78.7 deg .(1.37rad )
cos θ =
Exercice 8 Croix de fer
En utilisant le diagramme du corps libre, calculez
A. Les forces appliquées sur le corps
B. La résultante de forces dans les conditions statiques.
Quelles sont les valeurs de ces forces (amplitude, direction) si le sujet possède une masse de 60 kg,
et si l’angle entre les bras et les forces de réactions sont égales à 75 degrés.
41
Introduction à la mécanique des APS
Moment et couples de forces
Définition
La plupart des mouvements humains sont réalisés par l’intermédiaire de rotations autour des axes
articulaires. Ces mouvements de rotations sont le résultat des actions musculaires associées aux
poids des différents segments.
Ainsi il est possible de définir le moment d’une force comme la capacité de cette force à produire
une rotation autour d’un axe. Ce moment de force est un vecteur dont l’amplitude est égale au
produit de l’amplitude de la force par la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de la force et
l’axe de rotation. Cette distance, aussi nommée « bras de levier », peut s’exprimer comme une
valeur scalaire (distance) ou plus généralement comme un vecteur.
M = F × bras de levier
Le bras de levier étant la distance perpendiculaire, c’est en fait la plus courte distance entre le point
d’application de la force et l’axe de rotation.
D1
D2
θ
d2
F2
d1
F1
T1 = D1 ×F1 =d1cosθ ×F1
T2 = D2 ×F2 = d2cosθ ×F2
Le moment de force est toujours calculé par rapport à un axe de rotation spécifique. Par exemple,
pour calculer le moment d’une force musculaire il est toujours nécessaire de préciser l’axe articulaire
(centre de rotation de l’articulation).
Le moment étant le produit d’un vecteur force (en Newton) et d’un vecteur « bras de levier », l’unité
d’un moment de force est le N.m.
42
Introduction à la mécanique des APS
Exercice 1 : Evaluation de moments de forces
Pour chaque situation, évaluer le bras de levier et le moment de force.
Exercice 2 : calcul de moment de forces
Pour chaque figure, calculer le moment de la force par rapport à l’axe de rotation.
6m
10 N
8N
B
30°
B
5m
43
Introduction à la mécanique des APS
20 N
5m
40°
5m
7N
45°
3m
12 N
36°
Analyse statique
L’analyse statique suppose que le système étudié soit en équilibre, c'est-à-dire que ce système
possède une accélération nulle. Le chapitre précédent indique que lors d’un équilibre statique, la
somme des forces appliquées sur le système doit être nulle. De façon similaire, la somme des
moments doit aussi être nulle :
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣM=0
44
15 N
Introduction à la mécanique des APS
Exemple 3 : extension du genou
Supposons que cette personne en cours de
rééducation produise une extension du genou. Pour
augmenter l’efficacité de l’exercice, un poids
supplémentaire été ajouté à la chaussure. L’exercice
consiste à produire une extension complète du genou
(axe de la jambe coïncidant avec l’axe horizontal).
1. Quel est la valeur du moment de force à
produire au niveau du genou pour produire cet
exercice.
2. Quel est la force musculaire résultante
(amplitude et direction) que doit produire les muscles
extenseurs du genou pour maintenir cette position.
Etape 1 : construction du diagramme du corps libre
Fm
a
FJ
b
c
G
Pj
Pp
Pp : poids du pied (avec le poids supplémentaire)
Pj : poids de la jambe
Fm : force musculaire
Fa : force de réaction articulaire
A, b et c sont les bras de levier :
45
Introduction à la mécanique des APS
a = 0.0224 m,
b=0.110 m,
c=0.320 m
Etape 2 : Equation de la dynamique
ΣF = Pp + Pj + Fm + Fa = 0
ΣM = Mpp + Mpj + MFm + MFa = 0
La première équation comporte deux forces (Fm et Fa) non déterminées. Il n’est donc pas possible
d’utiliser directement cette équation. Par contre la deuxième équation permet de calculer le
moment musculaire.
ΣM = MPp + MPj + MFm = 0
MPp + MPj = - MFm
MPp = c × Pp
MPj = b × Pj
MPp = 0.320 × 80 = 25.60 N.m
MPj = 0.110 × 40.6 = 4.47 N.m
MPp +MPj = 25.60 + 4.47 = 30.07 N.m
MFm = - 30.07 N.m
Amplitude de la force musculaire :
MFm = a × Fm
Fm = MFm /a
Fm = 30/0.0224 = 1340 N
Exercice 9 : calcul de la force des fléchisseurs du coude
Calculer la force résultante des fléchisseurs du coude pour maintenir l’avant bras à l’horizontal.
On suppose que l’avant et la main possèdent un poids total de 30 N, et que le centre de masse du
système est situé à 0.12 m de l’articulation du coude. La force musculaire résultante est appliquée à
0.05 m de cette même articulation avec un angle de 25 degrés par rapport à l’axe horizontal. En
ajoutant un poids de 50 N au niveau de la main, calculer la force musculaire Fm) nécessaire à
maintenir l’équilibre.
Fm
25°
C
30 N
Fa
50 N
46
Introduction à la mécanique des APS
Quantité de mouvement et Impulsion
Définition
Des chocs et des collisions peuvent s’observer au cours de nombreux mouvement humains. En effet,
dans de nombreuses activités physiques, le corps entre en collision soit directement soit
indirectement avec d’autres objets de son environnement.
Un concept mécaniques est spécialement dédié l’étude des collisions et les chocs.
La quantité de mouvement (linéaire) d’un objet en mouvement est le produit de sa masse (m) par sa
vitesse (v)
q = m.v
v, la vitesse étant un vecteur, cette quantité de mouvement (q) est donc aussi un vecteur. L’unité de
mesure est kg.m/s. La direction de ce vecteur est la même que la direction de la vitesse.
En accord avec les lois de la dynamique, la quantité de mouvement est modifiée lorsqu’une force est
appliquée sur le système, c’est à dire la vitesse lorsque la vitesse est modifiée.
Dans le « monde réel », une force ne peut pas être appliquée de façon instantanée, mais nécessite
un temps de « monté » de la force. Dans ces conditions, il est souvent de considérer non pas
simplement la force, mais l’impulsion, c'est-à-dire le produit de la force par l’intervalle de temps.
L’unité de l’impulsion est donc le N.s.
En réalité, ce n’est pas exactement le produit de la force par
la durée mais plutôt la surface sous la courbe temporelle de la
force.
r t r
I = ∫ Fdt
t0
Dans cet exemple, la force correspond à la force d’appui
verticale du pied lors de la marche (en valeur relative du poids
du corps).
L’impulsion est matérialisée par la surface hachurée sous la
courbe. Il est cependant souvent difficile de calculer
directement cette surface.
Une bonne approximation consiste à calculer le produit de la
force moyenne (Fw) par la durée du contact.
I = F × ∆t
47
Introduction à la mécanique des APS
Relation Quantité de mouvement et Impulsion
La relation entre quantité de mouvement et impulsion peut se dériver directement de la loi
fondamentale de la dynamique.
F = m.a
t
t
t
I = ∫ Fdt = ∫ m.adt = m ∫ adt = q − q0
t0
t0
t0
Cette relation suggère que si l’on connait l’impulsion I, il est alors possible de calculer l’effet de cette
impulsion sur le système. Réciproquement, en connaissant la variation de quantité de mouvement, il
est alors possible de calculer l’impulsion résultante.
Exemple 1 : détermination de l’impulsion lors du service au volley ball
En filmant un joueur lors du service au volley ball, il est possible de déterminer la vitesse avant le
service (v), la vitesse juste après le service (v’) et le temps de contact de la balle dans la main du
joueur (tc). Si la masse (m) de la balle est connue, il est alors possible de calculer l’impulsion lors du
service :
v= 3.6 m/s
v'= 25.2 m/s
m= 0.27 kg
tc = 0.018 s
Quantité de mouvement avant la frappe :
q0 = m × v = 0.27 × 3.6 = 0.972 kg.m/s
Quantité de mouvement après la frappe :
q = m × v' = 0.27 × 25.2 = 6.804 kg.m/s
Impulsion:
I = q - q0 = 6.804 - 0.972 = 5.832 N.s
I = F × ∆t
F = I / ∆t = 5.832 / 0.018 = 324 N
Collisions et chocs
Beaucoup d’activités physiques et sportives utilisent des collisions et des chocs, soit entre
participants (rugby, boxe etc.), soit entre le joueur et un objet (balle, etc.). En cas de choc, la quantité
de mouvement n’est pas créée ou détruite mais modifiée. En fait, la somme des quantités de
mouvement reste constante. On dit qu’il y a conservation de la quantité de mouvement.
Supposons que deux joueurs de rugby se « rencontrent » avec les caractéristiques suivante :
48
Introduction à la mécanique des APS
-5.9 m/s
7.2 m/s
85 kg
100 kg
La quantité de mouvement avant la collision est de
7.2 × 100 + 85 ×(-5.9) = 720 - 501.5 = 218.5 kg.m/s
Lors de la collision, chaque objet va exercer sur l’autre une force opposée sur l’autre. Puisque cette
force résulte du même contact entre les deux objets, le changement de quantité de mouvement
appliqué sur chaque objet sera donc le même.
Donc, on peut dire que lors d’une collision, il y a conservation de la quantité de mouvement.
Cela signifie que lors d’une collision entre deux objets (A et B), la quantité de mouvement avant la
collision est égale à la quantité de mouvement après la collision :
mAvA + mBvB = mAv'A + mBv'B
Si (et c’est le cas dans de nombreux exemples), la masse reste invariante, l’équation précédente peut
être simplifiée :
mAvA - mAv'A = mBv'B -mBvB
mA(vA -v'A) = -mB(vB - v'B)
mA∆vA = -mB∆vB
∆vA/∆vB =- mB/ mA
La variation de vitesse de l’objet A par rapport à l’objet B est inversement proportionnelle au rapport
des masses des deux objets. Par exemple, lors de la frappe d’une balle de tennis par une raquette, la
vitesse de la balle, après le choc, est beaucoup plus grande que la vitesse de la raquette. La
différence de vitesse entre la balle et la raquette est déterminée par le rapport entre les masses de la
raquette et de la balle.
Chocs élastiques et non élastiques
La quantité de mouvement n’est pas toujours conservée lors d’un choc. Il convient donc de définir la
notion d’énergie mécanique.
Energie mécanique
L’énergie mécanique d’un système est définie comme la somme de l’énergie apportée par la vitesse
(énergie cinétique) et l’énergie dépendant de la position de l’objet (énergie potentielle).
Em = Ec + Ep
Energie cinétique
Pour une masse ponctuelle (m) l’énergie cinétique est donnée par l’équation :
49
Ec =
1
m.v 2
2
Introduction à la mécanique
m
des APS
v est la vitesse du point matériel. Si cet objet est un solide (indéformable), il convient d’ajouter un
terme relatif aux rotations :
1
1
Ec = m.v 2 + I .Ω 2
2
2
L’unité de l’énergie est le Joule (J).
Energie potentielle
L’énergie potentiellee d’un objet ne dépend que de sa position dans l’espace. Elle est qualifié de
potentielle car elle peut être emmagasinée par le corps et être transformée en énergie cinétique.
Une force conservatrice permet de générer une énergie potentielle. Par exemple, la force de
pesanteur permet d’évaluer l’énergie potentielle de pesanteur : Ep = mgh. Dans ce cas, le niveau zéro
de l’énergie (ou de la hauteur) est définie comme le niveau de la mer. Il existe d’autres formes
d’énergies potentielles (élastique, électrostatique,
électrost
gravitationnelle).
Rapport en travail et énergie
Le travail d’une force correspond à l’énergie mécanique nécessaire pour déplacer un objet. C’est un
nombre scalaire égal au produit scalaire de la force (F) par son déplacement. L’unité du travail est le
Joule (J).
r
dT =F •dr
r
T =∫ Fdr
r
T =F •d(OM )
Travail d’une force conservatrice (exemple le poids)
Par définition, le travail d’une force conservatrice ne dépend pas du chemin suivi.
suivi Le travail est donc
la différence entre l’énergie potentielle du point d’arrivée et l’énergie potentielle du point de départ.
Choc élastique
En considérant les équations de la quantité de mouvement et de l’énergie mécanique, il est possible,
dans le cas d’un choc élastique, de calculer les vitesses après le choc.
-5.9 m/s
7.2 m/s
100 kg
85 kg
50
Introduction à la mécanique des APS
Quantité de mouvement
q= m1.v1 + m2+v2
q’=m1.v’1+m2.v’2
La quantité de mouvement étant conservée q=q’ donc
m1.v1 + m2+v2 = m1.v’1+m2.v’2
Energie mécanique
Em=1/2(m1v²1+m2.v²2)
E’m=1/2(m1v’1²+m2.v’²2)
Dans le cas d’un choc élastiques, les forces sont conservatrices et il y a conservation de l’énergie
mécanique :
m1v²1+m2.v²2 = m1v²’1+m2.v²’2
On a donc deux équations à deux inconnues qu’il est possible de résoudre.
Cas particulier : v2 = 0
1− R
1+ R
2
v'2 = v1
1+ R
m
R= 2
m1
v'1 = v1
Si m1 = m2, alors v’1 = 0 et v’2 = v1
Choc non parfaitement élastique
Dans le cas des chocs non parfaitement élastique, une partie de l’énergie mécanique est dissipée
(forces non conservatrices) sous forme de frottement, chaleur etc.
Dans ce cas, il n’est plus possible d’utiliser les équations précédentes. En effet, dans le cas de chocs
non élastiques, l’énergie cinétique n’est pas conservée et la vitesse diminue en fonction du type de
chocs. Ainsi tout ce passe comme si l’interaction ou cours du choc permettait de « restituer » tout
ou partie de l’énergie acquise avant le choc (et par conséquent de la vitesse).
Ainsi, un coefficient de restitution (e) à été élaboré :
coefficient de restitution =
Ec finale
Ecinitiale
=
vitesse après collision2
vitesse avant collision2
51
Introduction à la mécanique des APS
Le coefficient de restitution dépend des matériaux. Par exemple, pour mesurer le coefficient de
restitution d’une balle, il suffit de la laisser tomber sur le sol d’une certaine hauteur (H) et de
mesurer la hauteur du rebond (h). Le coefficient (e) est alors calculer de la façon suivante :
e=
h
H
Plus généralement, si deux objets entre en collision, le coefficient est calculé de la façon suivante :
e=
v' 2 −v'1
v1 − v2
Par exemple, si l’on connait la masse d’une balle de baseball (m1) et de la masse de la bat (m2), et le
coefficient de restitution de la balle (e), il est possible de calculer la vitesse de la balle après la frappe.
m1v1 + m2 v 2 = m1v'1 + m2 v' 2
e=
v' 2 −v'1
v1 − v2
v'1 =
m2 v2 (1 + e) + v1 (m1 − m2 )
m1 + m2
Exercice 10
a. Un plongeur (d’une masse de 58 kg), exécute un saut de 10 mètres. Au moment de son
entrée dans l’eau sa vitesse passe de 16.8 m/s à 5.2 m/s en 133 ms. Quelle force moyenne
est appliquée sur le plongeur
b. Une balle de football (d’un poids de 4.17 N) se déplace à une vitesse de 7.62 m/s jusqu’au
moment où celle-ci est frappée par la tête d’un joueur se déplaçant en sens contraire à une
vitesse de 12.8 m/s. Si la durée de contact est évaluée à 22.7 ms, quelle est la force
moyenne appliquée sur la tête du joueur.
c. Une balle de golf possède une masse de 46g. Lors de la frappe sa vitesse passe de 0 m/s à 60
m/s.
Quelle est la variation de la quantité de mouvement.
Si te temps de contact est de 0.5 ms, quelle est la force moyenne appliquée sur la balle.
Si la tête du club de golf possède une masse de 200g, et que sa vitesse linéaire juste avant
l’impact est de 28 m/s, quelle est la vitesse de la balle juste après le choc.
d. Calculer la vitesse de chaque balle juste après le choc pour les différents exemples suivants :
Sport
Masse du
Lanceur (kg)
masse de la
balle (kg)
Tennis
Tennis de table
Football
0.3
0.10
3.8
0.060
0.003
0.430
52
Vitesse du
lanceur
(m/s)
40
30
20
Vitesse de
la balle
(m/s)
0
0
0
e
0.8
0.85
0.74
Introduction à la mécanique des APS
Exemples d’analyse des activités physiques et sportives I : Lancers et
sauts
Loi de gravitation
Les activités physiques de type lancers et sauts de déroulent dans un champ de pesanteur que l’on
peut considérer comme constant. De plus, la résistance de l’air ne sera pas prise en compte pour les
analyses cinématiques.
Dans un champ gravitationnel, deux masses (m1 et m2) distant l’une de l’autre exercent une force de
gravitation proportionnelle aux deux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance
(d)
F21 = − F12 = G
m1m2
u
d2
G est la constante gravitationnelle (6,67428 x 1011) déterminé par Cavendish (1797)
Sur la terre et en considérant les approximations ci-dessus cette équation est simplifiée :
g =G
MT
r2
Avec MT (M = 5,9736 x 1024 kg) masse de la terre, r, le rayon de la terre (6 371 x 103 m).
Ainsi, en utilisant l’équation de gravitation, la force exercée entre une masse de 1 kg et la terre est de
9,8 Newtons.
Trajectoire dans un champ de pesanteur
Une bonne approximation de la force exercée par la gravitation est donc le poids : P = mg, ou g est la
constante définie ci-dessus. La terre n’étant pas tout à fait sphérique ni homogène, g (9,780 m.s-2 à
9,83 m.s-2). D’autres phénomènes peuvent modifier cette valeur de g comme par exemple la rotation
de la terre, les marées etc.
53
Introduction à la mécanique des APS
Lancer du poids : détermination de l’angle (α
α) optimal de lancer
V0
α
Y0
mg
X0
Conditions initiales du lancer de poids.
En considérant le système constitué du poids lors de sa trajectoire aérienne, il est possible de
supposer que le référentiel Terre est un référentiel galiléen. Il est donc possible d’écrire l’équation
fondamentale de la dynamique :
∑ F = m.a
G
aG étant l’accélération du centre de masse du poids. La seule force s’appliquant sur le poids est son
propre poids, donc aG = g
Dans le repère il est donc possible de décomposer selon chaque axe :
Force (N)
Accélération (m.s-2)
Selon Ox
Fx = 0
Ax = 0
Selon Oy
Fy = -m.g
Ay = -g
Le mouvement sur Ox est donc un mouvement rectiligne uniforme car il n’existe aucune force (donc
aucune accélération). Sa vitesse sera donc constante et sa position varie linéairement en fonction du
temps. Su l’axe vertical Oy, le mouvement est uniformément accéléré. Il est alors possible de préciser
les mouvements selon chaque axe :
-1
Vitesse (m.s )
Position (m)
Selon Ox
Vx = V0x
Px = V0x t + x0
Selon Oy
Vy = -gt + V0y
Py = -1/2gt²+V0y + y0
Ces deux tableaux résument l’ensemble des conditions initiales du lancer du poids.
L’équation de la trajectoire devient alors :
 1 x − x V0 y 
y − y 0 = ( x − x0 )  − g ( 2 0 +
)
V0 x
V0 x 
 2
C’est donc une parabole passant par le point (x0, y0) et V0 est tangent au point initial.
54
Introduction à la mécanique des APS
La portée se définie par y = y0 et dans ce cas : x − x0 =
2V0 xV0 y
g
V0
Portée
Performance
Optimisation de la performance
La performance est égale à la portée plus une distance résultant de la position initiale du poids. La
performance totale correspond au point d’impact sur le sol du poids. De ce fait, si l’angle de portée
maximale serait de 45 degrés, ce n’est plus le cas lorsque la position (Y0) est différente de la hauteur
finale (Yf). Dans le cas de la figure ci-dessus Yf = 0, la performance P est donc
P=
V0 x
(V0 y + V02y + 2 y0 g )
g
En définissant la vitesse initiale, selon chaque axe, en fonction de l’amplitude ce la vitesse (V0) et de
l’angle (α), nous avons :
V0x = V0cosα
V0y = V0sinα
La performance peut maintenant se calculer avec l’angle α :
P=
V0 cosα
(V0 sin α + V02 sin 2 α 2 + 2 y0 g )
g
En traçant la courbe de performance en fonction de l’angle α, il est possible de trouver un optimum
en fonction de y0. Cet optimum est toujours inférieur à 45 degrés.
55
Introduction à la mécanique des APS
22
21.8
21.6
21.4
21.2
21
20.8
20.6
20.4
20.2
20
25
30
35
40
45
50
55
Exemple d’optimisation en fonction de l’angle
paramètre s de calcul : g = 9.81 ; X0 = 1m, Y0 = 2m, V0 = 14 m/s. Dans ce cas la performance maximale
est obtenue pour un angle situé entre 42 et 43 degrés (42,6 degrés). Il faut noter la sensibilité de
cette performance par rapport l’angle de lancer.
56
Introduction à la mécanique des APS
Plongeon : évaluation du temps de vol
Les équations sont les mêmes que celles du lancer du poids.
Y0
V0
Hp
X0
Calcul du temps de vol
L’équation horaire de la chute du plongeur est identique : y =
1
gt ² +V 0 yt + yO
2
Le temps de vol est atteint lorsque y=0. Il faut donc résoudre l’équation ci-dessus par rapport au
temps. En considérant que y0 = hp + hCG
t=
V0 y + V02y + 2 y0 g
g
En prenant en compte la distance (d) entre les mains et le centre de masse du sujet, le temps de vol
(avant tout contact avec l’eau) est plus court :
t=
V0 y + V02y + 2( y0 − d ) g
g
57
Introduction à la mécanique des APS
Application numérique
En prenant d = 1m et V0 = 4,7 m.s-1 :
Hauteur du tremplin (m)
1
3
10
Temps passé au
dessus du tremplin
(s)
1,16
1,16
1,16
Temps à l’arrivée dans l’eau (s)
Du CG
1,3
1,5
2.0
Des mains
1 ,16
1 ,42
1,99
Saut en longueur : optimisation de l’angle d’envol
Le problème est identique à celui du lancer du poids.
V0
α
CG
X0
La performance est l’addition de trois composantes :
a. La position initiale selon l’axe Ox du centre de masse (x0)
b. La trajectoire du centre de masse jusqu’au sol (L)
c. De la différence entre la position du centre de masse au sol et de la position des pieds (e)
P=
V0 x
= (V0 y + V02y + 2 y0 g )
g
« e » est donc l’écart entre la position au sol du CG et le point effectif de contact au sol. Si ce point de
contact est le dos, dans ce cas « e » est négatif et la performance en sera diminuée.
58
Introduction à la mécanique des APS
Les meilleures performances actuelles sont obtenues pour des vitesses de l’ordre de 9,5 m/s et des
angles de 20 à 21 degrés.
Angles (deg)
Performance (m)
20
8,340
21
8,351
x0 est généralement de l’ordre de 0,25 m.
Saut en hauteur
Dans cet exemple, la performance est considérée comme la somme de trois hauteurs : P=h1+h2+h3
1. La hauteur du centre de masse au moment où le pied quitte le sol (h1)
2. La hauteur maximale d’élévation du centre de mase h2 =
V02y
2g
3. La différence entre la hauteur du centre de masse et la hauteur de la barre h3. Cette
différence soit positive soit négative rend compte des différentes stratégies de
franchissement de la barre.
Exemple : Différences entre hommes et femmes. L’analyse (A. Durey) à portée sur 10 athlètes
hommes et 10 athlètes femmes.
Hommes
8,0
7,6
3,8
4,4
1,0
0,98
45
2,32
Vitesse horizontale (m/s) f-1
Vitesse horizontale (m/s) f
Vitesse horizontale (m/s) f+1
Vitesse verticale (m/s) f+1
H1
H2
Angle d’envol (degré)
Performance moyenne
Femmes
7,0
6,8
3,8
3,7
0,95
0,70
50
1,89
N.B. sur la totalité des athlètes analysés, un seul avait son CG qui passait sous la barre (1 cm).
59
Introduction à la mécanique des APS
Exemples d’analyse des activités physiques et sportives I I : mécanique
des fluides
L’analyse de la plupart des activités physiques et sportives présentées jusqu’à présent ne prenait pas
en compte les modifications du mouvement engendrées par la présence de l’air. Dans le cas de la
natation, cette simplification n’est plus possible. En effet, dans un fluide de ce type la propulsion du
nageur est essentiellement due aux appuis des mains sur l’eau. D’autre part, si l’eau offre la
possibilité d’exercer des forces (par l’intermédiaire de pressions), ce fluide offre une résistance aux
déplacements. Ainsi la stratégie motrice utilisée doit tenir compte de ces deux aspects.
Si l’exemple de la natation souligne les effets d’un fluide sur les mouvements produit, il existe aussi
de nombreuses APS utilisant les effets engendrés par la présence de l’air. C’est le cas notamment que
l’on rencontre dans les différents effets de balle (en tennis, football etc.).
Natation
Trois phénomènes physiques se conjuguent lors de l’étude mécanique de la natation :
1. En condition statique, il existe une pression du fluide sur toute la surface du solide immergé
dans le fluide. Ces pressions (torseur) peuvent se réduire à deux éléments : la force et le
moment résultants. Dans le cas de l’eau la force résultante s’appelle la poussée d’Archimède.
2. Lors du mouvement des forces de frottement, proportionnelles à la vitesse relative du solide
dans le fluide, s’opposent au déplacement (force de trainée).
3. Lorsque l’écoulement du fluide n’est pas symétrique sur toutes les surfaces du corps, il existe
des phénomènes que l’on peut aussi résumer sous forme de forces (portance).
Hydrostatique
La poussée d’Archimède correspond à l’action du liquide sur le solide qui est plongé (tout ou partie)
dans un liquide. Cette poussée s’oppose au poids. Lorsque l’on mesure cette poussé, on constate que
son amplitude est égale au poids du volume du liquide déplacé. Cette poussée est donc dépendante
de masse volumique (rapport de la masse sur le volume, exprimée en kg.m-3).
Exemple de masse volume
Air
Bois (balsa)
Glace
Eau
Corps humain
Eau salée saturée
Fer
Or
1,3
100 à 150
900
1 000
1 070
1 130
7 800
19 300
60
Introduction à la mécanique des APS
Principe : Les forces exercées par un système de fluides en équilibre sur un solide immergé dans ce
système, admettent une résultante unique, verticale, dirigée vers le haut et égale au poids total des
fluides déplacés. Cette force résultante est portée par une droite qui passe par le centre de gravité de
l’ensemble de ces fluides.
Flottabilité
La flottabilité est déterminée par la densité relative du sujet et du milieu. Lorsque le nageur est en
expiration, la densité du corps humain est légèrement inférieure à celle de l’eau. A l’inverse, en
inspiration, sa densité est légèrement supérieure à celle de l’eau : il flotte.
Conditions d’équilibre
Pa
Pa
CG
CP
CP
CG
P
P
Un corps immergé est soumis à deux forces : le poids (P) et la poussée d’Archimède (Pa). L’équilibre
est réalisée si :
a. La somme es force est égale zéro : la poussée d’Archimède est égale au poids. En d’autre
terme poids du volume du fluide déplacé est égale au poids du solide.
b. La somme des moments est égale à zéro, c'est-à-dire si la ligne d’action de le poussée
d’Archimède coïncide avec la ligne d’action du poids. Cette condition est systématiquement
réalisée pour un solide homogène. Si le solide n’est pas homogène (cf. figure ci-dessus), la
ligne d’action de la poussée d’Archimède peut ne pas coïncidée avec celle du poids. Dans ce
cas, il y a création d’un couple de forces et rotation du solide. Cette rotation conduit à l’état
d’équilibre lorsque les deux forces sont alignées.
61
Introduction à la mécanique des APS
Exercice 11 : Equilibre vertical du nageur
Supposons le nageur vertical et rigide. L’équilibre vertical est considéré comme stable.
1. Que se passe-t-il si on appui verticalement avec une force F sur le nageur et si on lâche cet
appui. Décrire les principes mécaniques aboutissant à l’équilibre.
2. On incline le corps du nageur de 30 degrés vers la gauche. Que se passe-t-il si on relâche
cette poussée (décrire l’état mécanique du système).
Hydrodynamique de la nage
Lorsque le nageur se déplace, il faut ajouter une nouvelle force : ce sont les forces hydrodynamiques.
Ces forces hydrodynamiques sont dépendantes de la forme et du flux engendré par le déplacement
relatif du nageur dans le fluide.
La difficulté, dans le cas du nageur, réside dans le fait que celui-ci se déforme pour produire des
mouvements de propulsion et ainsi les segments corporels n’ont pas tous les mêmes vitesses
relatives par rapport à l’eau. En particulier, il faut distinguer les membres supérieurs et inférieurs qui
se déplacent par rapport au reste du corps.
Forces hydrodynamiques sur un objet non déformable
Les forces hydrodynamiques dépendent des vitesses relatives du corps par rapport au fluide. Ainsi
ces forces seront identiques si c’est le corps qui se déplace dans le fluide (cas de la piscine) ou si c’est
le fluide qui se déplace et que le corps reste immobile.
Ecoulement laminaire
Lorsque la vitesse relative reste faible, l’écoulement du fluide est qualifié de laminaire. La couche
(lame) qui est en contact avec le corps à une vitesse relative égale zéro. Les autres couches glissent
sur cette première couche et seule la viscosité à tendance à s’opposer au mouvement. La force de
frottement est donc proportionnelle à la viscosité du fluide et à la vitesse. R = µV
Ecoulement turbulent
Lorsque la vitesse devient plus élevée, l’écoulement est dit turbulent c'est-à-dire qu’il se caractérise
par un sillage dans lequel la vitesse relative du fluide est en moyenne égale à zéro mais des
tourbillons ou vortex sont animés de vitesses importantes. La force est essentiellement due à la
dissymétrie des vitesses d’écoulement et est donnée par la formule de Bernoulli. La différence de
pression entre l’avant et l’arrière de l’objet est égale à
1
ρV ²
2
Ainsi la force de résistance à l’avancement est :
R=
1
CSρV ²
2
C est le coefficient de pénétration ou de trainée et dépend essentiellement de la forme du corps.
62
Introduction à la mécanique des APS
S est la surface du « maitre couple » de l’objet, c'est-à-dire la projection de l’objet sur un plan
perpendiculaire à la vitesse d’écoulement.
ρ est la masse volumique du fluide.
Cas des profils dissymétriques
Supposons que l’objet soit une planche inclinée par rapport à la vitesse d’écoulement. En négligeant
les forces dues à la viscosité, la résistance à l’avancement est donnée par la formule ci-dessus.
Cependant la direction de cette force sera modifiée en fonction de l’inclinaison de la planche.
P
R
T
V
R, la force de résistance à l’avancement est perpendiculaire au plan de la planche. Le plan
d’application de cette force n’est pas le centre de la planche mais se situe plus près du bord le plus
haut dans le fluide (bord d’attaque).
Cette même force, projetée sur l’axe de vitesse, représente la force de trainée (qui s’oppose au
déplacement) et perpendiculairement à la vitesse, c’est la force de portance (s’oppose au poids).
63
Introduction à la mécanique des APS
Application au nageur
La coulée immergée
Supposons le nageur dans la phase sous-marine juste après le départ. La résistance à l’avancement
est perpendiculaire au plan du corps du nageur et se décompose en deux : une force de portance et
force de trainée.
Ainsi, afin d’optimiser cette phase, le nageur tente de diminuer au maximum la résistance et ainsi de
ne pas avoir de portance qui le ferai sortir de l’eau. Pour cela il doit :
a. Adopter une forme hydrodynamique
b. Diminuer le maître couple (allongé, les bras en avant)
c. Adopter une forme symétrique par rapport à l’avancement
La nage à l’interface air – eau
La plupart du temps le nageur évolue l’interface entre l’air et l’eau. Du fait de ses mouvements de
propulsions, sa forme est modifiée sans cesse. Une première approximation serait de comparer le
nageur à un bateau. La résistance à l’avancement d’un bateau peut être évaluée grâce à un rapport
entre sa vitesse (V) et des caractéristiques physiques telles que sa longueur et la gravité :
Fr =
V
gL
Ce rapport est appelé nombre de Froude (sans dimension). Cette résistance se matérialise par la
vague d’étrave. Si ce nombre est supérieur 0,3 la résistance de la vague devient supérieure à la
résistance visqueuse. Ainsi pour un nageur mesurant 1,80 m ce nombre est atteint lorsque sa vitesse
est de 1,26 m.s-1 (soit 1 mn19 au 100 m). Ainsi pour des nageurs confirmés, la principale difficulté est
de lutter contre la résistance de la vague.
64
Introduction à la mécanique des APS
Exercice 12 : Efficacités de propulsion
William Froude (cf. ci-dessus) a élaboré au 19eme siècle un indice propulsion pour les bateaux
possédant une roue à aube.
Il a montré que lorsque les pales vont
exactement à la même vitesse que le navire le
rendement de propulsion était de 100 %.
Lorsque les pales tournent plus vite le
rendement diminue car des remous se
forment.
Ainsi, par analogie il est possible d’approximer
le rendement l’efficacité de propulsion des
bras. Le rendement étant le rapport entre la
puissance utile et la puissance fournie.
La puissance utile est donnée par la
composante horizontale de la force et peut
être calculée de la façon suivante (cf.
énergétique) : P =
W F •d
=
= F •v
t
t
La puissance fournie correspond à la puissance articulaire au niveau de l’épaule et peut être évalue
comme le produit (scalaire) du moment par la vitesse angulaire : P = M • ω = F (α ).l.2π . f
Sur un cycle complet (0 à 2 π), le rendement est de r =
av
π 2 fl
a est une constante dépendante de la nage (égale à 0.9 pour le crawl).
1. Calculer ce rendement pour un nageur possédant une longueur de bras de 0.8 m avec une
fréquence de 60 cycles par minute (cas du 50 mètres nage libre). Sa vitesse d’avancement est
de 2,2 m/s.
2. Calculer ce même rendement dans le cas du 1500 m (fréquence de 45 cycles/minute et
vitesse de 1,60 m/s).
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