Introduction à la mécanique des APS 2015-2016 Gilles

Introduction à la mécanique des APS
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I NTRODUCTION A LA M ECANIQUE
DES A CTIVITES P HYSIQUES ET S PORTIVES
2015-2016
Gilles Dietrich

Introduction à la mécanique des APS
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Table des matières
Bases mathématiques I : temps espace et trajectoire ............................................................................ 4
Espace .................................................................................................................................................. 4
Repère et référentiel ........................................................................................................................... 4
Exercice 1 : décours temporel et trajectoire ....................................................................................... 6
Modèle du corps humain ........................................................................................................................ 7
Notion de modèle ................................................................................................................................ 7
Calcul de la positon du centre de masse d’un segment ...................................................................... 9
Centre de masse multi-segmentaire ................................................................................................. 10
Exercice 2 : Calcul du centre de masse total du corps ...................................................................... 12
Bases Mathématiques II : Angles et vecteurs........................................................................................ 13
Trigonométrie .................................................................................................................................... 13
Notion de vecteur .............................................................................................................................. 16
Notion de calcul vectoriel .................................................................................................................. 17
Application : calcul des angles articulaires ........................................................................................ 20
Exercice 3 : calcul de l’angle du genou .............................................................................................. 21
Vitesse et Accélération .......................................................................................................................... 23
Position, vitesse et accélération ........................................................................................................ 23
Vitesse ............................................................................................................................................... 23
Exercice 4 : Calcul de la vitesse d’une balle de tennis ....................................................................... 25
Accélération ....................................................................................................................................... 26
Exercice 5 : Saut en longueur ............................................................................................................ 27
Equation de mouvement ....................................................................................................................... 30
Expression de la vitesse finale en fonction de la vitesse initiale et de l’accélération. ...................... 30
Expression de la position finale en fonction des vitesses initiales et finales ainsi que de
l’accélération ..................................................................................................................................... 31
Relation entre la vitesse finale et la vitesse initiale, l’accélération et la position............................. 32
Exercice 6 : Jongleur .......................................................................................................................... 33
Exercice 7 : Equation de mouvement – 100 mètres ......................................................................... 34
Forces et lois de mouvement ................................................................................................................ 35
Introduction ....................................................................................................................................... 35
Lois de Newton – Dynamique ........................................................................................................... 36
Loi d’inertie .................................................................................................................................... 36
Principe fondamentale de la dynamique ...................................................................................... 37

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Loi d’action et de réaction ............................................................................................................. 38
Diagramme du corps libre – Analyse statique ................................................................................... 39
Exemple 1 : le poids ........................................................................................................................... 39
Exemple 2 : système en équilibre ...................................................................................................... 40
Exercice 8 Croix de fer .................................................................................................................. 41
Moment et couples de forces ............................................................................................................... 42
Analyse statique ................................................................................................................................ 44
Exercice 9 : calcul de la force des fléchisseurs du coude .................................................................. 46
Quantité de mouvement et Impulsion .................................................................................................. 47
Définition ........................................................................................................................................... 47
Relation Quantité de mouvement et Impulsion ............................................................................... 48
Collisions et chocs ............................................................................................................................. 48
Chocs élastiques et non élastiques ................................................................................................... 49
Energie mécanique ........................................................................................................................ 49
Choc élastique ............................................................................................................................... 50
Choc non parfaitement élastique .................................................................................................. 51
Exercice 10 ......................................................................................................................................... 52
Exemples d’analyse des activités physiques et sportives I : Lancers et sauts ....................................... 53
Loi de gravitation ............................................................................................................................... 53
Lancer du poids : détermination de l’angle (α) optimal de lancer .................................................... 54
Plongeon : évaluation du temps de vol ............................................................................................. 57
Saut en longueur : optimisation de l’angle d’envol .......................................................................... 58
Saut en hauteur ................................................................................................................................. 59
Exemples d’analyse des activités physiques et sportives I I : mécanique des fluides ........................... 60
Natation ............................................................................................................................................. 60
Hydrostatique ................................................................................................................................ 60
Exercice 11 : Equilibre vertical du nageur ..................................................................................... 62
Hydrodynamique de la nage ......................................................................................................... 62
Exercice 12 : Efficacités de propulsion .......................................................................................... 65

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M
M
y
Mx
Mz
O
Axe Z
Axe Y
Axe X
Bases mathématiques I : temps espace et trajectoire
Espace
L’espace peut être décrit par un système géométrique à trois dimensions. Dans ce système les
positions sont calculées à partir d’une origine et en utilisant une mesure (distance).
Point matériel
Un point matériel est un objet géométrique de dimension égale zéro mais possédant une masse.
Dans le monde réel physique, aucun objet de ce type n’existe mais, par nécessité de simplification, il
est possible de considérer des objets physiques comme un point matériel. Par exemple la terre peut
être considérée comme un point matériel si l’on considère la trajectoire de celle-ci autour du soleil.
Cependant, cette approximation est beaucoup moins intéressante si l’on considère les mouvements
relatifs de la lune et de la terre.
La notion de point matériel est toutefois très utilisée car cette approximation permet de simplifier
tous les calculs de (bio) mécanique.
Temps
Le temps se mesure à partir d’une « horloge », c'est-à-dire une distance temporelle que l’on appelle
la durée. Le temps définie ainsi un espace à une dimension (possédant aussi une origine).
Repère et référentiel
Un espace est défini par ses dimensions. Afin de localiser (repérer) les points matériel dans cet
espace il est nécessaire d’utiliser un repère. Un repère est un objet mathématique décrivant l’espace
considéré. Ainsi il possède autant de composantes (axes) que l’espace possède de dimension. De plus
le repère possède une origine ainsi qu’une mesure de distance associée.
Exemple de repère.
Le repère cartésien
Dans ce type de repère il est possible de définir une distance
que l’on appelle distance euclidienne. Celle-ci est déterminée par
la formule suivante :
La position du point (M) est alors définie comme la
succession des trois nombres (Mx, My, Mz). Ces trois
nombres sont appelés coordonnées de point M.
222
)( MzMyMxOMd ++=

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Il existe d’autres types de repères ainsi que d’autres types de distance. Il est souvent utile de choisir
le « bon » repère permettant de simplifier à la fois la compréhension du système ainsi que le calcul.
Par exemple, en biomécanique est APS un repère en deux dimensions est souvent utilisé comme une
bonne approximation du monde en 3 dimensions.
Référentiel décours temporel et trajectoire
Supposons que le point M se déplace au cours du temps. La notion de repère géométrique doit être
étendue en incluant le temps. A l’espace trois dimensions est associé un espace de temps à une
dimension. Cette association porte le nom de référentiel. Ainsi, le repère permet de décrire la
géométrie et le référentiel permet de mesure la variation de positions au cours du temps, c'est-à-
dire la cinématique.
Dans un système à deux dimensions le point M occupe
différente s positions successives en fonctions du temps.
Dans ce cas on écrit M
t
.
La trajectoire définie dont la « trace » laissée par l’objet en
mouvement. C’est donc bien un objet géométrique, indépendant
du temps.
Le décours temporel est, par contre, un graphique des positions
de l’objet en fonction du temps. En général, l’axe des abscisses
est l’axe du temps et l’axe des ordonnées correspond l’une des coordonnées de l’objet.
Exemple de trajectoire
Dans l’exemple suivant, la trajectoire de la balle est présentée. Afin d’enrichir la trajectoire, cette
figure incorpore le temps. L’origine du temps est indiquée (temps 0).
M
t
Axe X
Axe Y
O
My
Mx