UNE CARACT ´ERISATION DES CORPS SATISFAISANT LE TH

Canad. Math. Bull. Vol. 40 (1), 1997 pp. 81–87
UNE CARACT´ ERISATION DES CORPS SATISFAISANT
LE TH´ EOR` EMEDEL’AXEPRINCIPAL
A. MOVAHHEDI ET A. SALINIER
R´ ESUM´ E. On caract´ erise les corps Ksatisfaisant le th´ eor` eme de l’axe principal ` a
l’aide de propri´ et´ es des formes trace des extensions finies de K.Gr
ˆ
ace ` a la carac-
t´ erisation de ces mˆ emes corps due ` a Waterhouse, on retrouve ` a partir de l` a, de fac¸on
´
el´ ementaire, un r´ esultat de Becker selon lequel un pro-2-groupe qui se r´ ealise comme
groupe de Galois absolu d’un tel corps Kest engendr´ e par des involutions.
ABSTRACT WecharacterizegeneralfieldsK,satisfying the Principal Axis Theorem,
by means of properties of trace forms of the finite extensions of K. From this and
Waterhouse’s characterization of the same fields, we rediscover,in quite an elementary
way, a result of Beckeraccording to which a pro-2-group which occurs as the absolute
Galois group of such a field K, is generated by involutions.
1. Introduction. Soit Kuncorps.RappelonsqueKestditformellementr´ eellorsque
1 n’est pas une somme de carr´ es de K, et qu’un corps ordonn´ e maximal est un corps
formellementr´ eel tel quetoute extensionalg´ ebrique formellement r´ eelle de Kesttriviale.
Enfin on dit que K satisfait le th´ eor` eme de l’axe principal si toute matrice sym´ etrique
`
a coefficients dans Kest semblable ` a une matrice diagonale ` a coefficients dans K.
Waterhouse [3] a caract´ eris´ e les corps satisfaisant le th´ eor` eme de l’axe principal comme
´
etant les intersections de corps ordonn´ es maximaux. L’objet de notre travail est de
pr´ esenter une autre caract´ erisation de ces mˆ emes corps en utilisant les propri´ et´ es des
formes traces de leurs extensions finies.
Rappelons tout d’abord quelques d´ efinitions et notations : si L K est une extension
finie de corps, on note TrL K l’application trace de Ldans K,c’est-
`
a-dire l’application
qui ` ax L associe la trace de l’endomorphisme x:yxy du K-espace vectoriel L.Si
Kest un corps, un espacequadratiquesur K(ou K-espace quadratique) est simplement la
donn´ ee d’un espace vectoriel Vsur Ket d’une forme quadratique Q:V K sur V.Une
base autoduale (ou base orthonormale) de l’espace quadratique (V Q) (aussi dite base
autoduale de Vrelativement ` a la forme quadratique Q) est une base ( j)deVtelle que
B(ij)= ij o` uBd´ esigne la forme bilin´ eaire sym´ etriqueassoci´ ee ` a la forme quadratique
Qet ij est le symbole de Kronecker ´ egal ` a1sii=jet ` a 0 sinon. Voici maintenant la
caract´ erisation annonc´ ee.
TH´ EOR` EME 1. Pour un corps K de caract´ eristique diff´ erente de 2, les assertions
suivantes sont ´ equivalentes :
(i) K satisfait le th´ eor` eme de l’axe principal.
Rec¸u par les ´ editeurs le 15 mai 1995.
Classification (AMS) par sujet : Primary: 11E10; secondary: 12D15.
cSoci´
et´ emath
´
ematique du Canada 1997.
81

82 A. MOVAHHEDI ET A. SALINIER
(ii) K n’est pas s´ eparablementclos et pour toute extension non triviale finie L de K,
et pour tout dans L, la forme quadratique QL:xTrL K(x2)n’admet pas de base
autoduale.
La d´ emonstration que nous proposonsde ce th´ eor` eme utilise des id´ ees dont certaines
sont proches de celles de Waterhouse [3].
En combinant cette caract´ erisation avec celle due ` a Waterhouse, nous retrouvons le
fait qu’un pro-2-groupe qui se r´ ealise comme groupe de Galois absolu d’un corps pytha-
goricien Kest topologiquement engendr´ e par des involutions (r´ esultat du ` a Becker [1]).
Rappelons qu’un corps Kest dit pythagoricien lorsque toute somme de carr´ es de Kest
un carr´ edansK.
Remarquons qu’en fait tout corps de caract´ eristique diff´ erente de 2 qui satisfait ` ala
condition (i)duth
´
eor` eme 1 est de caract´ eristique nulle. En effet, pour tout entier p,le
polynˆ ome caract´ eristique de la matrice carr´ ee d’ordre pdont tous les coefficients sont
´
egaux ` a1,est( 1)p(XppXp1).
2. Quelques lemmes. Rappelons tout de suite qu’un corpsformellement r´ eel est de
caract´ eristique nulle.
Le premier lemme est une caract´ erisation des corps formellement r´ eels et pythagori-
ciens par la diagonalisabilit´ e des matrices sym´ etriques 2 2 ` a coefficients dans K.
LEMME 1. Pour que toute matrice sym´ etrique 2 2 ` a coefficients dans un corps
K se diagonalise dans K, il est n´ ecessaire et suffisant que K soit formellement r´ eel et
pythagoricien.
D´ EMONSTRATION. La condition est n´ ecessaire : pour aet bdans K, consid´ erons la
matrice sym´ etrique ab
b a
; puisqu’elle se diagonalise dans K, ses valeurs propres
sont ´ el´ ements de Ket donc a2+b2est un carr´ edansK. Pour montrer que Kest formelle-
ment r´ eel, il suffit donc de voir que 1 n’est pas un carr´ edansK.Or,si 1=a
2
pour un ´ el´ ement ade K, la matrice sym´ etrique 1a
a1serait nilpotente et non nulle
contrairement ` a l’hypoth` ese.
La condition est suffisante : en effet le polynˆ ome caract´ eristique d’une matrice
sym´ etrique 2 2 non diagonale ` a coefficients dans KadansKdeux racines distinctes
d` es que Kest formellement r´ eel (donc de caract´ eristique nulle) et pythagoricien.
Une deuxi` eme caract´ erisation des corps formellement r´ eels et pythagoriciens peut
s’´ enoncer en terme d’existence de bases autoduales pour tout sous-espace d’un espace
quadratique admettant une base autoduale. Pour simplifier, nous conviendronsd’appeler
standard tout espace quadratique (V q) admettant une base autoduale.
LEMME 2. Pour qu’un corps K soit formellement r´ eel et pythagoricien, il est
n´ ecessaire et suffisant que tout sous-espace d’un K-espace quadratique standard soit
aussi standard.

TH´ EOR` EMEDEL’AXEPRINCIPAL 83
D´ EMONSTRATION.Lan
´
ecessit´ e de la condition r´ esulte de l’existence d’une base
orthogonale de tout sous-espace (le fait que le corps Kest formellement r´ eel prouvant
que tout sous-espace est non d´ eg´ en´ er´ e) et de ce que toute somme de carr´ es d’´ el´ ements
non tous nuls du corps pythagoricienet formellement r´ eel Kest un carr´ e non nul dans K.
R´ eciproquement,supposonsquetoutsous-espaced’un K-espacequadratiquestandard
soit standard. Alors en consid´ erant le K-espace K2muni du produit scalaire canonique,
on voit que si aet bne sont pas tous deux nuls, la somme a2+b2est en tant que carr´ e
scalaire du vecteur non nul (a b) un carr´ e non nul dans K, ce qui montre bien que Kest
pythagoricien et formellement r´ eel.
Le lemme suivant est un cas particulier de [3, Proposition 1]. Nous en proposons une
d´ emonstration ad hoc.
LEMME 3. Pour qu’un corps K soit formellement r´ eel, il est n´ ecessaire et suffisant
que le polynˆ ome minimal de toute matrice sym´ etrique ` a coefficients dans K soit sans
facteurs carr´ es.
D´ EMONSTRATION. Montrons d’abord que la condition est n´ ecessaire. Soit donc un
corps Kformellement r´ eel et une matrice sym´ etrique nnM` a coefficients dans K.On
conf` ere au K-espace vectoriel Knune structure d’espace quadratique en le munissant
du produit scalaire canonique. Interpr´ etons alors Mcomme la matrice dans la base
canonique d’un endomorphisme uautoadjoint de Kn.Soient le polynˆ ome minimal de
MetPun facteurirr´ eductible de ledivisant ` alapuissanceexactementr.Le sous-espace
W:= Ker P(u)rest stable par uet le polynˆ ome minimal de uW(la restriction de u ` aW)
est pr´ ecis´ ement Pr.Sir´ etait plus grand que 1, alors on aurait pour tout xdans W:
P(u)r1(x)P(u)r1(x)=P(u)
r2
(x)P(u)
r(x)=0
Ainsi puisque le corps Kest formellement r´ eel on aurait P(uW)r1= 0, ce qui contredit
le fait que le polynˆ ome minimal de uWest Pr. Donc r= 1 et la condition est n´ ecessaire.
Pour ´ etablir qu’elle est aussi suffisante, donnons-nous un corps Knon formellement
r´ eel et exhibons une matrice sym´ etrique non nulle de carr´ e nul. Puisque Kest suppos´ e
non formellement r´ eel, il existe un nombre fini x1x2x
nd’´
el´ ements de Ktels que
1=x
2
1+x
2
2++x2
n. Consid´
eronsalors la matrice ligne X=(x
1x 2x n). On v´
erifie
facilement que la matrice
M=1X
tXtXX
convient, ce qui montre que la condition est suffisante.
Nous terminons ces lemmes par une caract´ erisation des corps pythagoriciens ` al’aide
des formes traces de certaines de leurs extensions finies.

84 A. MOVAHHEDI ET A. SALINIER
LEMME 4. PouruncorpsK de caract´ eristiquediff´ erentede 2,lesassertionssuivantes
sont ´ equivalentes :
(1) K est pythagoricien.
(2) Pour toute extension finie L de K contenant une sous-extensionquadratique F, la
forme quadratique QL:xTrL K(x2)n’est standard pour aucun de L.
D´ EMONSTRATION. Montrons d’abord l’implication (1) (2). Sans restreindre la
g´ en´ eralit´ e,onpeutsupposerKformellementr´ eelcaruncorpspythagoriciennonformelle-
ment r´ eel ne poss` ede aucune extension quadratique s’il est de caract´ eristique diff´ erente
de 2. En effet, tout ´ el´ ement d’un corps quelconque Kde caract´ eristique diff´ erente de
2estdiff
´
erence de deux carr´ es de K, donc aussi un carr´ esiKest pythagoricien non
formellement r´ eel; or, en caract´ eristique diff´ erente de 2, toute extension quadratique est
obtenue par l’adjonction des racines carr´ ees d’un ´ el´ ement de K. Ceci ´ etant, supposons
qu’il existe Let une base Bdu K-espace vectoriel Ltels que Bsoit autoduale pour
QL.Soitxun ´ el´ ement de Fqui n’est pas dans K. La multiplication x:yxy est
un K-automorphisme de Lautoadjoint par rapport ` a la forme quadratique QL, donc sa
restriction ` aFest autoadjointe par rapport ` aQLF. Par le Lemme 2, QLFadmet une
base autoduale dans laquelle x F est repr´ esent´ e par une matrice sym´ etrique 2 2. Donc
par le Lemme 1, les valeurs propres de x F sont ´ el´ ementsde K, ce qui est manifestement
impossible.
Montrons maintenant l’implication (2) (1). SupposonsKnon pythagoricien. Alors
il existe a K tel queb:= 1+a2n’estpascarr´ edansK. Consid´ eronsle corpsF:= K(b)
et := 2b+2a b F. Pour ces choix de Fet de ,laformeQ
Fa dans la base (1 b)
la matrice 4b4ab
4ab 4b2
qui est de d´ eterminant (4b)2. Comme de plus QFrepr´ esente le carr´ e4b
2
, on voit que
QFeststandard[2, Chapitre I, Proposition 5.1]. Lefait queQFeststandardauraitaussi
pu ˆ etre obtenu en observantque ( 1
2b1
2a
2b) est une base de Fautodualerelativement
`
aQF.
3.D
´
emonstration du Th´ eor` eme 1. Montrons d’abord l’implication (i) (ii). On
observe qu’en vertu du Lemme 1, le corps Kest formellement r´ eel donc ne peut ˆ etre
alg´ ebriquement clos, ni s´ eparablement clos puisque sa caract´ eristique est nulle. Soit par
ailleurs Luneextensionde Ket supposonsqu’il existe Ltelque la forme quadratique
QLadmette une base autoduale. Pour tout xdans L, la multiplication x:yxy est un
K-endomorphisme de Lautoadjoint par rapport ` alaformeQ
Ldonc repr´
esent´ e par une
matrice sym´ etrique dans une base QL-autoduale. Par ailleurs les valeurs propres de x
sont exactement les conjugu´ es de x, donc x K en vertu de (i) et l’extension L K est
triviale.
Montrons maintenant l’implication (ii) (i). Par le Lemme 4, on sait que le corps
Kest pythagoricien. Si Kn’´ etait pas formellement r´ eel, tout ´ el´ ement de Kserait donc
un carr´ edansKet par cons´ equent tout K-espace quadratique non d´ eg´ en´ er´ e admettrait
une base autoduale, ce qui est incompatible avec l’hypoth` ese (ii). Donc, le corps Kest

TH´ EOR` EMEDEL’AXEPRINCIPAL 85
formellement r´ eel et pythagoricien.
Introduisonsmaintenantpourune extensionLdeKet pourx L le K-espacevectoriel
EL x des formes quadratiquesL K par rapport auxquelles la multiplication x:yxy
est un endomorphisme autoadjoint de L. Montrons d’abord que
EL x =QL:Lsi xest primitif dans l’extension L K. Puisque Kest de
caract´ eristique nulle, l’extension L K est s´ eparable et donc les formes QLsont non
d´ eg´ en´ er´ ees pour = 0. On voit ainsi que l’application K-lin´ eaire Q
Lde Ldans
EL x est injective. Il nous suffit donc d’´ etablir que la dimension du K-espace vectoriel
EL x est au plus ´ egale au degr´ ende l’extension L K :
dimKEL x n
Notons Bla forme bilin´ eaire sym´ etrique associ´ ee ` a une forme quadratique QEL x.
Puisquexest suppos´ e primitif dans L K, on peut exprimer B(xixj) comme combinaison
K-lin´ eaire des B(1 xk)o` ukvariede0` an1. D’o` ul’in´ egalit´ ed
´
esir´ ee.
Ceci ´ etant, soit Mune matrice sym´ etrique ` a coefficients dans Ket montrons qu’elle
est diagonalisable sur K. Pour cela, il suffit de montrer que son polynˆ ome minimal est
produit de facteurs lin´ eaires deux ` a deux premiers entre eux. Nous savons d´ ej` aparle
Lemme 3 que est produit de facteurs irr´ eductibles deux ` a deux premiers entre eux. Il
ne nous reste plus qu’` a montrer que tout facteur irr´ eductible de est lin´ eaire. Soit donc
Pun facteur irr´ eductible de . Interpr´ etons Mcomme matrice dans la base canonique
d’un endomorphisme uautoadjoint de Knmuni du produit scalairecanonique.Fixons un
vecteur non nul ydans le noyau de P(u). Regardons Kncomme un K[X]-module pour
l’action d´ efinie par X z =u(z) pour tout ´ element zde Kn. Alors l’application
K[X]Kn
QQ(u)(y)
est un homomorphisme non nul de K[X]-modules. Comme Pest irr´ eductible dans K[X]
cet homomorphisme a exactement pour noyau l’id´ eal engendr´ eparP,d’o
`
uunisomor-
phismedeK[X]-modulesentreL:= K[X] (P) etunsous-espaceWdeKnstableparu.Par
transport de structure cet isomorphisme permet de d´ efinir sur Lune forme quadratique
qui en vertu du Lemme 2 admet une base autoduale,et par rapport ` a laquelle la multipli-
cation par la classe de Xestautoadjointe. Cette forme quadratiqueest, d’apr` es l’´ etude de
EL x ci-dessus, n´ ecessairementune des formes quadratiques QL. Ainsi l’hypoth` ese (ii)
entraˆ ine que l’extension L K est triviale et Pest lin´ eaire, ce qui ach` evela d´ emonstration.
REMARQUE. Onpeutrapprocherlaconstructiondel’isomorphismedeK[X]-modules
entre une extension de Ket un sous-espace de Knutilis´ ee dans la d´ emonstration
pr´ ec´ edente de la description des “paires ind´ ecomposables”figurant dans [3, paragraphe