Chapitre 5 LA DIVISION EUCLIDIENNE « Euclide n`est pas qu`un
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Chapitre 5 LA DIVISION EUCLIDIENNE « Euclide n'est pas qu'un géomètre » I. DIVISION EUCLIDIENNE : (historique p64) Faire la division euclidienne de deux nombres entiers : le dividende par le diviseur, c'est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste, tels que : dividende = diviseur × quotient + reste et reste < diviseur dividende diviseur reste quotient Exemples : 347 7 924 6 2663 13 67 4 49 32 24 0 154 06 63 11 204 347 = 7 × 49 + 4 4 <7 924 = 6 × 154 + 0 0<6 2663 = 13 × 204 + 11 11< 13 Le reste de la division euclidienne de 924 par 6 est 0. On dit que 924 est un multiple de 6, ou que, 6 est un diviseur de 924. Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, on dit que a est divisible par b. Exemples : Le reste de la division euclidienne de 347 par 7 est 4, donc 347 n'est pas divisible par 7. Le reste de la division euclidienne de 924 par 6 est 0, donc 924 est divisible par 6. On peut prévoir si des nombres sont ou pas divisibles pas 2, 3, 4, 5 ou 9, sans poser de division euclidienne : II. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ : Un nombre entier est divisible par 2, quand son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre entier qui est divisible par 2 est appelé un nombre pair. Un nombre entier qui n'est pas divisible par 2 est appelé un nombre impair. Exemples : Le chiffre des unités de 1742 est 2, donc 1742 est divisible par 2, c'est un nombre pair. Le chiffre des unités de 4127 est 7, donc 4127 n'est pas divisible par 2, c'est un nombre impair. Un nombre entier est divisible par 4, quand son nombre des dizaines est divisible par 4. Exemples : Le nombre des dizaines de 4912 est 12, et 12 est divisible par 4 (12 = 4 × 3), donc 4912 est divisible 4. Le nombre des dizaines de 2914 est 14, et 14 n'est pas divisible par 4, donc 2914 n'est pas divisible 4. Un nombre entier est divisible par 5, quand son chiffre des unités est 0, ou 5. Exemples : Le chiffre des unités de 7490 est 0, donc 7490 est un multiple de 5. Le chiffre des unités de 4079 est 9, donc 4079 n'est pas un multiple de 5. Un nombre entier est divisible par 3, quand la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemples : La somme des chiffres de 6423 est 6 + 4 + 2 + 3 = 15, et 15 est divisible par 3 (15 = 3 × 5), donc 6423 est divisible par 3. La somme des chiffres de 6413 est 6 + 4 + 1 + 3 = 14, et 15 n'est pas divisible par 3, donc 6413 n'est pas divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 9, quand la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : La somme des chiffres de 6813 est 6 + 8 + 1 + 3 = 18, et 18 est divisible par 9 (18 = 9 × 2), donc 6813 est divisible par 9. La somme des chiffres de 6423 est 6 + 4 + 2 + 3 = 15, et 15 n'est pas divisible par 9, donc 6423 n'est pas divisible par 9. III. CONVERSIONS DE DURÉES : Le système sexagésimal (de base 60) est couramment employé pour mesurer le temps : 60 s = 1 min 60 min = 1 h Exemples : 1) Convertir 2 h 35 min en minutes. 2 h + 35 min = 2 × 60 min + 35 min = 120 min + 35 min = 155 min 2) Convertir 225 s en minutes et secondes. 225 s = 180 s + 45 s = 3 × 60 s + 45 s = 3 min + 45 s 3) Un TGV part de Paris à 8 h 29. Il s’arrête à Tours à 9 h 17 et repart 4 minutes plus tard en direction de Poitiers où il arrive à 10 h 05. Quelle est la durée du trajet Tours-Poitiers ? Il s’arrête à Tours à 9 h 17 et repart 4 minutes plus tard, donc le TGV part à 9 h 21 min de Tours et arrive à 10 h 05 min à Poitiers 10 h 05 min - 9 h 21 min ---------------On ne peut soustraire 21 minutes à 5 minutes, donc on va convertir 1 heure en 60 minutes ?? h ?? min 10 h 05 = 9 h 65 min, on peut faire la soustraction : 9 h 65 min - 9 h 21 min ---------------0 h 44 min Le trajet Tours-Poitiers dure 44 minutes. 4) Un athlète commence son entraînement à 17 h 53 min. Il fait 8 séquences de course de 12 minutes chacune. Entre 2 séquences, il se repose pendant 5 minutes. A quelle heure termine-t-il son entraînement? 8×12 = 96 Les 8 séquences de cours durent 96 minutes Il y a 7 pauses de repos de 5 minutes : 7×5 = 35. Il se repose 35 minutes pendant l'entraînement. 96 + 35 = 131. L'entraînement dure 131 minutes en tout. 131 min = 120 + 11 = 2×60 + 11 = 2 h 11min. L'entraînement dure 2 h 11 min en tout. 17 h 53 min + 2 h 11 min -----------------19 h 64 min = 20 h 04. Son entraînement termine à 20 h 04.
