Rotation autour d`un axe mobile : théor`emes généraux

Chapitre 7
Rotation autour d’un axe mobile :
th´eor`emes g´en´eraux
Pour ´etudier le mouvement g´en´eral d’un solide, on le d´ecompose en un d´eplacement de son centre de masse
et une rotation du solide sur lui mˆeme, ´etudi´ee dans le r´ef´erentiel barycentrique. C’est donc une combinaison
d’une translation et d’une rotation, comme pour les r´ef´erentiels en mouvement. Il suffit de penser `a une roue
qui roule ou `a un boomeran. . .
L’´etude de ces mouvements repose sur l’utilisation de grandeurs les grandeurs cin´etiques, `a savoir, la quantit´e
de mouvement, le moment cin´etique et l’´energie qu’il va falloir d´ecomposer de la mˆeme fa¸con. Puis, nous allons
voir ce que deviennent alors les th´eor`emes g´en´eraux de la m´ecanique pour un mouvement quelconque, en essayant
de tirer profit de ce que nous avons appris en m´ecanique du point et dans les chapitres pr´ec´edents.
7.1 Cin´ematique : champ de vitesse d’un solide en mouvement
Le mouvement d’un solide peut ˆetre d´ecompos´e en une translation de son centre de masse, caract´eris´ee par
~vGet d’une rotation du solide dans le r´ef´erentiel barycentrique caract´eris´ee par ~! . Chacun de ces deux vecteurs
ont, a priori, trois coordonn´ees ind´ependantes : trois coordonn´ees de translation suivant Ox, Oy et Oz, ainsi que
trois angles de rotation autour de ces mˆemes axes. Pour les exemples d’application, nous nous limiterons `a des
mouvements plus simples.
La vitesse d’un point Aquelconque du solide s’´ecrit donc,
~vA=~vG+~v⇤
A,(7.1)
en utilisant les lois de composition des vitesses. Ici ~v⇤
Aest la vitesse relative de Adans le r´ef´erentiel du centre
de masse. Ce mouvement ´etant une rotation de vitesse angulaire ~! , on a finalement
~vA=~vG+~! ^! GA, (7.2)
On peut ´ecrire la mˆeme relation pour un point Bquelconque et soustraire, pour obtenir une relation plus
g´en´erale ne faisant pas intervenir le centre de masse,
~vB=~vA+~! ^! AB. (7.3)
Grˆace `a cette relation, appel´ee formule de Varignon (Caen 1654 - 1722), en connaissant la vitesse d’un point
particulier du solide et ~! , on peut d´eterminer facilement la vitesse de n’importe quel autre point. Le centre de
masse ne joue pas un rˆole privil´egi´e en cin´ematique. Un champ de vitesses ayant de telles propri´et´es est appel´e
torseur. Nous n’´etudierons pas les propri´et´es math´ematiques des torseurs.
Finalement, la description du d´eplacement d’un solide n´ecessite, a priori, de connaˆıtre 6 degr´es de libert´e
(3 de translation pour ~vAet 3 de rotation pour ~! ) et pas plus, car les solides ´etudi´es sont consid´er´es comme
ind´eformables.
66

CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : TH ´ EOR ` EMES G ´ EN ´ ERAUX 67
7.2 Th´eor`emes de K¨onig
Nous allons maintenant calculer les grandeurs cin´etiques en s´eparant le mouvement de translation du centre
de masse, du mouvement de rotation dans le r´ef´erentiel du centre de masse. Ce r´ef´erentiel relatif est en translation
par rapport au r´ef´erentiel d’´etude, suppos´e galil´een. Son origine, le centre de masse G, n’a pas forc´ement un
mouvement rectiligne uniforme. Il n’y a donc aucune raison pour que le r´ef´erentiel barycentrique soit aussi
galil´een.
7.2.1 Quantit´e de mouvement
Nous l’avons d´ej`a vu, la quantit´e de mouvement totale se r´eduit `a
~p=m~vG.(7.4)
Elle ne prend donc pas en compte la rotation du solide sur lui-mˆeme. Elle n’est sensible qu’au d´eplacement du
centre de masse.
7.2.2 Moment cin´etique
Pour le moment cin´etique, on repart de sa d´efinition,
~ o=ZZZS
!
OM ^~v(M)dm (7.5)
puis, on s´epare le mouvement du centre de masse du mouvement dans le r´ef´erentiel du centre de masse,
~ o=ZZZS
!
OG ^~v(M)dm +ZZZS
!
GM ^~v(M)dm (7.6)
=! OG ^✓ZZZS ~v(M)dm◆+ZZZS
!
GM ^~v(M)dm
=! OG ^m~vG+ZZZS
!
GM ^~v(M)dm. (7.7)
Le premier terme correspond au moment cin´etique du centre de masse par rapport `a O. Quant au deuxi`eme
terme, il fait apparaˆıtre le moment par rapport `a Gde la vitesse absolue, ce qui n’a pas de sens. Nous allons
faire apparaˆıtre la vitesse relative par rapport au r´ef´erentiel barycentrique, ~v⇤(M),
~v(M)=~vG+~v⇤(M),(7.8)
ce qui donne,
~ o=! OG ^m~vG+ZZZS
!
GM ^~vGdm +ZZZS
!
GM ^~v⇤(M)dm
=! OG ^m~vG+(
ZZZS
!
GM dm)^~vG+~ ⇤
G(7.9)
=! OG ^m~vG+~ ⇤
G,(7.10)
avec
~ ⇤
G=ZZZS
!
GM ^~v⇤(M)dm. (7.11)
Le premier terme correspond au moment cin´etique du centre de masse dans le r´ef´erentiel absolu, alors que le
deuxi`eme correspond au moment cin´etique relatif dans le r´ef´erentiel barycentrique. Nous venons de d´emontrer
que ces deux moments cin´etiques s’ajoutent simplement pour obtenir le moment cin´etique global. Il s’agit du
premier th´eor`eme de K¨onig (souvent not´e Koenig dans les livres de physique), qui est tr`es important car il
permet de d´ecoupler les mouvements relatifs et d’entraˆınement.
Si l’on applique ce r´esultat au mouvement de la Terre, on trouve que le moment cin´etique associ´e `a la rotation
du centre de la Terre autour du Soleil et le moment cin´etique associ´e `a la rotation de la Terre sur elle-mˆeme
s’ajoutent simplement.

CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : TH ´ EOR ` EMES G ´ EN ´ ERAUX 68
7.2.3 Energie cin´etique
Le deuxi`eme th´eor`eme de K¨onig concerne l’´energie cin´etique avec laquelle on a le mˆeme d´ecouplage,
Ec =1
2ZZZS
v2(M)dm =1
2ZZZS
v2
G(M)dm +1
2ZZZS
v⇤2(M)dm +ZZZS ~vG.~v⇤(M)dm (7.12)
=1
2mv2
G+Ec⇤,(7.13)
avec
Ec⇤=1
2ZZZS
v⇤2(M)dm. (7.14)
Le dernier terme de l’´equation (7.12) est nul car, par d´efinition du centre de masse, RRRS~v⇤(M)dm =~ 0. On a l`a
une g´en´eralisation de ce qui a ´et´e vu pour le syst`eme `a deux corps.
7.2.4 Conclusion
En conclusion, le mouvement d’un solide peut ˆetre d´ecompos´e en une translation de son centre de masse
et une rotation sur lui-mˆeme dans le r´ef´erentiel barycentrique et les trois grandeurs cin´etiques usuelles de la
m´ecanique peuvent ˆetre alors calcul´ees plus simplement,
~p=m~vG
~ o=! OG ^m~vG+~ ⇤
Gavec ~ ⇤ G=RRRS!
GM ^~v⇤(M)dm
Ec =1
2mv2
G+Ec⇤avec Ec⇤=1
2RRRSv⇤2(M)dm.
(7.15)
Cette simple addition des contributions du mouvement de translation et de rotation relatif n’est possible que
parce que nous avons choisi le centre de masse qui a des propri´et´es particuli`eres. La grande nouveaut´e par
rapport `a la m´ecanique du point est le mouvement de rotation dans le r´ef´erentiel barycentrique, auquel on
pourra souvent appliquer ce que nous avons appris en ´etudiant un solide tournant autour d’un axe. Mais l’´etude
d’un mouvement quelconque peut ˆetre complexe car l’axe de rotation dans le r´ef´erentiel barycentrique n’est pas
forc´ement fixe. C’est le cas de la toupie pirouette ou de la Terre. Nous y reviendrons.
A partir de ces relations simples, nous allons essayer de simplifier aussi les th´eor`emes g´en´eraux de la
m´ecanique.
7.3 Th´eor`emes g´en´eraux de la m´ecanique du solide
7.3.1 Rappels
Nous avons vu dans les chapitres pr´ec´edents que
d~pG
dt =X~
Fext,(7.16)
d~o
dt =X~
M~
Fext /O,(7.17)
o`u Gest le centre de masse du syst`eme et Oun point fixe dans un r´ef´erentiel galil´een. La premi`ere ´equation
donne acc`es `a la position du centre de masse du solide et la deuxi`eme, `a la rotation du syst`eme sur lui-mˆeme.
Dans un chapitre pr´ec´edent, o`u nous avons ´etud´e le mouvement autour d’un axe fixe, il suffisait de prendre
Osur l’axe de rotation. De mˆeme quand le solide tournait autour d’un point fixe. Mais pour un mouvement
quelconque, un point fixe O, loin du solide, n’est pas tr`es pratique et il vaudrait mieux connaˆıtre le moment
cin´etique dans le r´ef´erentiel barycentrique. C’est ce que nous allons faire.

CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : TH ´ EOR ` EMES G ´ EN ´ ERAUX 69
7.3.2 Th´eor`eme du moment cin´etique dans le r´ef´erentiel barycentrique
Le th´eor`eme du moment cin´etique s’´ecrit explicitement,
d~o
dt =X
i
!
OAi^~ Fi,(7.18)
o`u Aiest le point d’application de la force ~ Fi.
Nous allons calculer le terme du gauche en utilisant le th´eor`eme de K¨onig,
~ o=! OG ^m~vG+~ ⇤
G.(7.19)
En d´erivant cette relation, on obtient,
d~o
dt =md!
OG
dt ^~vG+!
OG ^md~vG
dt +d~⇤
G
dt =!
OG ^X~ Fext +d~⇤
G
dt .(7.20)
Le terme de droite du th´eor`eme du moment cin´etique donne,
X
i
!
OAi^~ Fi=! OG ^X~ Fext +X
i
!
GAi^~ Fi.(7.21)
En comparant les relations (7.20) et (7.21), on a imm´ediatement
d~⇤
G
dt =X~
M~
Fext /G =X
i
!
GAi^~ Fi.(7.22)
Le th´eor`eme du moment cin´etique est donc applicable dans le r´ef´erentiel barycentrique en prenant
le centre de masse comme point de r´ef´erence, que ce r´ef´erentiel soit galil´een ou pas.
Il s’agit d’un r´esultat important qui vient compl´eter le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique, ´equation (7.17),
appliqu´ee au centre de masse. La r´esultante des forces d´eplace donc le centre de masse et la r´esultante de leur
moment fait tourner le solide sur lui-mˆeme.
7.3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
On peut appliquer le th´eor`eme de l’´energie cin´etique car il d´ecoule directement de la relation fondamentale
de la dynamique. Seules les forces ext´erieures sont `a prendre en compte, car, pour un solide ind´eformable, les
forces int´erieures ne travaillent pas. Il faut cependant veiller, pour chacune de ces forces, `a bien prendre en
compte le d´eplacement de leur point d’application. Ainsi, pour un solide quelconque en d´eplacement, on a
dEc=X
i
~
Fi.~v(Ai)dt, (7.23)
o`u Aiest le point d’application de la force ~ Fi. Dans le cas de forces s’appliquant `a tout le volume du solide,
comme la pesanteur, il faut remplacer cette somme par une int´egrale. On peut aussi ´ecrire cette relation sous
une forme int´egr´ee par rapport au temps pour obtenir Ec.
Pour utiliser cette relation, il faut d´eterminer la vitesse de chacun des points d’application d’une force Ai,
ce qui n’est pas toujours tr`es simple. En se rappelant de la formule de Varignon, ´equation (7.3), chacune de
ces vitesses peut ˆetre exprim´ee en fonction des autres. Il suffit alors de choisir un point particulier A, a priori
commode, pour avoir,
dEc=X
i
~
Fi.(~v(A)+~! ^! AAi)dt =(
X
i
~
Fi).~v(A)dt +(
X
i
!
AAi^~ Fi).~! dt, (7.24)
en utilisant les propri´et´es de permutation du produit mixte. Cette expression, qui ne fait intervenir que la
r´esultante des forces et des moments, a le m´erite d’ˆetre beaucoup plus simple. Elle fait aussi apparaˆıtre ce que
l’on pourrait appeler un travail de translation et un travail de rotation.
Comme en m´ecanique du point, dans le cas de forces conservatives, on peut introduire une ´energie potentielle
et une ´energie m´ecanique. Dans le cas de la pesanteur, l’´energie potentielle vaut Ep=mgzGo`u Oz est un axe
vertical orient´e vers le haut.

CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : TH ´ EOR ` EMES G ´ EN ´ ERAUX 70
7.3.4 Applications
Nous allons donc appliquer ces th´eor`emes g´en´eraux `a des cas o`u l’axe de rotation se d´eplace. L`a encore,
par souci de simplicit´e, nous ne consid`ererons qu’un cas : celui d’un axe en translation simple dans le chapitre
suivant.
7.4 English vocabulary and summary
7.4.1 English vocabulary
Composition des vitesses d’un solide Velocity composition in a solid
Formule de Varignon Varignon’s formula
7.4.2 Summary
For arbitrary motion of a rigid body, divide the motion into a linear motion of the centre of mass, plus
rotation about the centre of mass. Then :
XF=maCM (7.25)
X⌧CM =ICM↵(7.26)
K=Ktrans +Krot =1
2mv2
CM +1
2ICM!2.(7.27)