CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : TH ´
EOR `
EMES G ´
EN ´
ERAUX 69
7.3.2 Th´eor`eme du moment cin´etique dans le r´ef´erentiel barycentrique
Le th´eor`eme du moment cin´etique s’´ecrit explicitement,
d~o
dt =X
i
!
OAi^~
Fi,(7.18)
o`u Aiest le point d’application de la force ~
Fi.
Nous allons calculer le terme du gauche en utilisant le th´eor`eme de K¨onig,
~ o=!
OG ^m~vG+~ ⇤
G.(7.19)
En d´erivant cette relation, on obtient,
d~o
dt =md!
OG
dt ^~vG+!
OG ^md~vG
dt +d~⇤
G
dt =!
OG ^X~
Fext +d~⇤
G
dt .(7.20)
Le terme de droite du th´eor`eme du moment cin´etique donne,
X
i
!
OAi^~
Fi=!
OG ^X~
Fext +X
i
!
GAi^~
Fi.(7.21)
En comparant les relations (7.20) et (7.21), on a imm´ediatement
d~⇤
G
dt =X~
M~
Fext /G =X
i
!
GAi^~
Fi.(7.22)
Le th´eor`eme du moment cin´etique est donc applicable dans le r´ef´erentiel barycentrique en prenant
le centre de masse comme point de r´ef´erence, que ce r´ef´erentiel soit galil´een ou pas.
Il s’agit d’un r´esultat important qui vient compl´eter le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique, ´equation (7.17),
appliqu´ee au centre de masse. La r´esultante des forces d´eplace donc le centre de masse et la r´esultante de leur
moment fait tourner le solide sur lui-mˆeme.
7.3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
On peut appliquer le th´eor`eme de l’´energie cin´etique car il d´ecoule directement de la relation fondamentale
de la dynamique. Seules les forces ext´erieures sont `a prendre en compte, car, pour un solide ind´eformable, les
forces int´erieures ne travaillent pas. Il faut cependant veiller, pour chacune de ces forces, `a bien prendre en
compte le d´eplacement de leur point d’application. Ainsi, pour un solide quelconque en d´eplacement, on a
dEc=X
i
~
Fi.~v(Ai)dt, (7.23)
o`u Aiest le point d’application de la force ~
Fi. Dans le cas de forces s’appliquant `a tout le volume du solide,
comme la pesanteur, il faut remplacer cette somme par une int´egrale. On peut aussi ´ecrire cette relation sous
une forme int´egr´ee par rapport au temps pour obtenir Ec.
Pour utiliser cette relation, il faut d´eterminer la vitesse de chacun des points d’application d’une force Ai,
ce qui n’est pas toujours tr`es simple. En se rappelant de la formule de Varignon, ´equation (7.3), chacune de
ces vitesses peut ˆetre exprim´ee en fonction des autres. Il suffit alors de choisir un point particulier A, a priori
commode, pour avoir,
dEc=X
i
~
Fi.(~v(A)+~! ^!
AAi)dt =(
X
i
~
Fi).~v(A)dt +(
X
i
!
AAi^~
Fi).~! dt, (7.24)
en utilisant les propri´et´es de permutation du produit mixte. Cette expression, qui ne fait intervenir que la
r´esultante des forces et des moments, a le m´erite d’ˆetre beaucoup plus simple. Elle fait aussi apparaˆıtre ce que
l’on pourrait appeler un travail de translation et un travail de rotation.
Comme en m´ecanique du point, dans le cas de forces conservatives, on peut introduire une ´energie potentielle
et une ´energie m´ecanique. Dans le cas de la pesanteur, l’´energie potentielle vaut Ep=mgzGo`u Oz est un axe
vertical orient´e vers le haut.