1.1. Algébre d`homologie.

DESA 03–05 Faculte des sciences Universit´ e Hassan II–Casa
Contents
1 Homologie et cohomologie 1
1.1.Alg´ ebred’homologie....................................... 1
1.2.Caract´ eristique d’Euler Poincar´ e d’un complexe de chaines . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.Complexes de cochaines cohomologie suite exacte longue de cohomologie . . . . . . . 3
1`ere chapitre
Homologie et cohomologie
1.1.Alg´ebre d’homologie.Definition : Un complexe de chaines est une suite de
modules (Cn)n∈Net de morphismes de modules ∂n:Cn+1 →Cntels que ∂no∂n+1 = 0. Autrement
dit Im∂n+1 ⊂Ker∂n.les morphismes ∂nsont en g´ en´ eral not´ es ∂, sans indice et appel´ es morphismes
ou op´ erateurs de bord, et (C=⊕n∈NCn, ∂)d´ esignera apr´ es les complexes de chaines
Remarque : Si Im∂n+1 =Ker∂n, la suite est dite exacte longue.
Definition : Un morphisme de complexes de chaines φ: (C, ∂)→(D, ∂0)est une suite de
morphismes de modules φn:Cn→Dntelle que φno∂n+1 =∂0
noφn+1,∀n∈N. autrement dit tel que
le diagramme suivant commute
C0
∂
←C1
∂
←Cn
∂
←Cn+1
↓φ0↓φ1
D0
∂0
←D1
∂0
←Dn
∂0
←Dn+1
Remarque : On peut d´ efinir d’une fac¸on naturelle la compos´ ee de deux morphismes de chaines,
ainsi que le morphisme identit´ e.
Vocabulaire : Si (C, ∂)est un complexe de chaines les sous module de Cn, Zn(C) =ker∂n−1
s’appelle l’espace des n- cycles et Bn(C) =Im∂ncelui des n-bords et le module quotient Hn(C) =
Zn(C)/Bn(C)est appel´ en´emegroupe d’homologie de C, et enfin on notera H(C) = ⊕n∈NHn(C).
Remarque : Un morphisme de complexes de chaines envoie cycles sur cycles et bords sur
bords en chaque degr´ e donc induit pour tout entier un morphisme de modules sur les groupes
d’homologie en posant f∗[x] = [f(x)] pour tout cycle x.
Definition : Soient φ, ψ :C→Ddeux morphismes de complexes de chaines. Une homotopie
entre eux est une suite de morphismes de modules γ:Cn→Dn+1 telle que ∀n∈Non a :
φ−ψ=γ+γo∂
Le diagramme suivant n’est pas commutatif mais il donne une id´ ee du sens des fl´ eches.
Cn−1←− Cn←Cn+1
&γ ϕ ↓ψ&γ
Dn−1←Dn←Dn+1
Proposition : Si deux morphismes de complexes de chaines sont homotopes alors ils induisent le
mˆ eme morphisme en homologie.
Preuve : Si xest un cycle de C, alors φ(x)−ψ(x) = ∂γ(x) + γo∂(x) = ∂y avec y=γ(x), d’o ` u
[φ(x)] = [ψ(x)], donc φ∗[(x)] = ψ∗[(x)].
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Definition : Une suite exacte courte de complexes de chaines est la donn´ ee de complexes de
chaines (C, D, E)et de morphismes de complexes de chaines f:C→D, g :D→Etels que pour
tout nla suite de morphismes de modules 0→Ef →Fg →G→0soit exacte, c’est ` a dire : finjective,
gsurjective avec Imf=Kerg.
Th´eor`eme Soit f:C→D, g :D→Eune suite exacte courte de complexes de chaines, alors il
existe une suite exacte longue de modules
. . . Hn+1(E)δ →Hn(C)f∗ →Hn(D)g∗ →Hn(E)δ →Hn−1(C). . .
Preuve : Construisons tout d’abord le morphisme δ:Hn(E)→Hn−1(C). Soit zun n-cycle de E,
on d´ esire lui associer un n-cycle xde Cet un seul modulo un bord. Comme gnest surjective il existe
y∈Dntel que gn(y) = z, d’autre part ∂y ∈Dn−1et gn(∂y) = ∂gn(y) = ∂z = 0, donc, par exactitude
∂y ∈Kergn=Imfn−1, il existe donc x∈Cn−1tel que fn−1(x) = ∂y. On pose alors δ[z] = [x].
V´ erifions maintenant que δest bien d´ efini.
Tout d abord xest bien un cycle car fn−2(∂x) = ∂fn−1(x) = ∂∂y = 0, or fnest injective par
exactitude, d’o ` u∂x = 0.
D’autre part [x]ne d´ epend pas des choix de z dans [z]ni des ´ el´ ements y, x qui interviennent dans la
construction ci dessus. En effet soit z0, y0, x0un autre choix, alors [z0] = [z], g(y0) = z0, f(x0) = y0,
on ˆ ote les indices sans crainte de perdre la g´ en´ eralit´ e. donc ∃z“∈Etel que : z−z0=∂z00 et
soit y“∈Dtel que : z00 =g(y“), il existe grace ` a la surjection de gdˆ ue ` a l’exactitude. Donc
g(y−y0−∂y“) = z−z0−g(∂y00) = z−z0−∂g(y“) = z−z0−∂z = 000, en utilisant
l’exactitude encore une fois au niveau de D, soit x“∈Ctel que : y−y0−∂y00 =f(x“), alors
f(x−x0−∂x“) = ∂y −∂y0−∂f(x00) = ∂∂y“ = 0, or fest injective, d’o ` ux−x0−∂x“ = 0, et
donc [x] = [x0].
V´ erifions maintenant l’exactitude de la suite au niveau de Hn(D), c’est ` a dire Imf∗=Kerg∗. On
sait que g∗of∗= (gof)0, d’o ` u Imf∗⊂ker g∗. R´ eciproquement soit yun cycle tel que : [y]∈kerg∗,d’o ` u
0 = g∗([y]) = [g(y)] et donc g(y)est bord, soit z∈Etel que : g(y) = ∂z et soit y0∈Ctel que : z=
g(y0), il existe puisque gest surjective, donc g(y−∂y0)=0, car gcommute avec ∂, d’apr´ es
l’exactitude y−∂y0∈Imf, soit donc x∈Ctel que : y−∂y0=f(x), donc [y] = [f(x)]. D’autre
part f(∂x) = ∂f(x) = ∂y −∂∂y0= 0 car ycycle, et donc comme fest injective alors xest un cycle et
donc f∗[x] = [f(x)] = [y], d’o ` u[y]∈Imf∗.
V´ erifions ensuite l’exactitude au niveau de Hn(E), c’est ` a dire montrons que Img∗=kerδ. Si yest
un cycle de D, posons z=g(y)et x∈Etel que : [x] = δ[z], donc par construction de δon a f(x) = y
Comme y est un cycle et finjective , d’o ` ux= 0 et donc δog∗[y] = δ[g(y)] = δ[z] = [x] = 0, d’o ` u
δog∗= 0 et donc Img∗⊂kerδ.
R´ eciproquement montrons que kerδ⊂Img∗. Soit zun cycle de Etel que δ[z] = 0, x ∈C, y ∈D
construits comme pr´ ec´ edement tels que z=g(y)et f(x) = ∂y donc [x] = δ[z] = 0, d’o ` uxest un
bord, soit x0∈Ctel que x=∂x0et y0=y−f(x0), donc g(y0) = y=zcar gof = 0 en raison de
l’exactitude de la suite courte, en plus ∂y0=∂y −∂f(x0) = ∂f(x)−f(∂x0)=0, donc y0est un cycle
de D, donc g∗[y] = [g(y)] = [z], d’o ` u[z]∈Img∗.
Et de mˆ eme on v´ erifie l’exactitude au niveau de Hn(E), c’est ` a dire montrer que Im δ=f∗. En
effet, avec les notations pr´ ec´ edentes f∗(δ[z]) = f∗[x] = [f(x)] = [∂y] = 0.
1.2.Caract´eristique d’Euler Poincar´e d’un complexe de chainesDans
cette partie on suppose que Aest un corps Soit Cun complexe de chaines. On note bkla dimension
sur Ade l’espace vectoriel Hk(C)qui s’appelle le k-´eme nombre de Betti de C. Si Cest de type fini,
c’est ` a dire si les ksont finis pour tout ket nuls pour kassez grand alors on pose
χC(X) =
+∞
X
k=0
(−1)kbk
que l’on appelle la caract´eristique homologique d’Euler Poincar´e de C.
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Proposition Si Cest complexe de chaines de type fini alors :
χC(X) =
+∞
X
k=0
(−1)kdim A(Ck)
Preuve On a ∂k:Ck→Ck−1, donc Zk(C) = Ker ∂k, Bk(C) = Im ∂k+1, d’apr´ es la formule du
rang on a dim Ck= dim Zk(C) + dim Bk−1(C), or bk= dim Zk(C)−dim Bk(C), donc
dim Ck−bk=−(dim Bk+ dim Bk−1), d’o ` u
+i
X
k=0
(−1)kdim Ck−χC(X) =
+∞
X
k=0
(−1)k+1(dim Bk+
dim Bk−1) = dim B0+dim B−1−dim B1+dim B2+. . . = 0, car la somme altern´ ee avec la convention
C−1= 0 et vu que la suite dim Bkest nulle ` a partir d’un certain rang.
1.3.Complexes de cochaines cohomologie suite exacte longue de co-
homologieUn complexe de cochaines (C∗, d)est une suite de modules (Cn)n∈Net de morphismes
de modules dn:CnCn+1 tels que dn+1odn= 0 ∀n∈N.
Les fnsont appel´ es morphismes de cobord ou diff´erentielles.
On d´ efinit de mˆ eme
un morphisme de complexes de cochaines φ:C∗→D∗qui est une suite de morphismes de modules
φn:Cn→Dntels que φod =doφ.
l’espace des n–cocycles Zn(C∗) = Ker dn
l’espace des n–cobords,Bn(C∗) = Im Cn−1
le n–`eme groupe de cohomologie de C∗qui est un module par Hn(C) = Zn(C)Bn(C)
l’application f∗:Hn(D)→Hn(C)induite en cohomologie par un morphisme de complexes de
cochaines f:C→Dpar f∗[z] = [f(z)] si zest un n-cocycle de D.
FIN DU CHAPITRE
Mr. Hilali Page 3 / 3 FIN