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N. BOURBAKI
ÉLÉMENTS DE
MATHÉMATIQUE
N. BOURBAKI
ÉLÉMENTS DE
MATHÉMATIQUE
TOPOLOGIE
GÉNÉRALE
Chapitres 1 à 4
123
Réimpression inchangée de l’édition originale de 1971
© Hermann, Paris, 1971
© N. Bourbaki, 1981
© Masson, Paris, 1981
© N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007
ISBN-10 3-540-33936-1 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-33936-6 Springer Berlin Heidelberg New York
Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.
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Mode d'emploi de ce traité
NOUVELLE ÉDITION
1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance
mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité
est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne
connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières
années de l'université.
2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du
général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les
chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé.
L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la
lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu'il ne possède déjà des connaissances
assez étendues.
3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres
actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants:
Théorie des Ensembles
désigné par
E
Algèbre
YY
A
Topologie générale
)Y
TG
Fonctions d'une variable réelle
YY
FVR
YY
EVT
Espaces vectoriels topologiques
Intégration
,Y
INT
Algèbre commutative
77
AC
>>
VAR
Variétés différentielles et analytiques
Groupes et algèbres de Lie
37
LIE
Théories spectrales
YI
TS
Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué ci-dessus), chaque énoncé
ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce
Livre ou dans les Livres antérieurs. A partir du septième Livre, le lecteur
...
vlll
MODE D'EMPLOI DE CE TRAITÉ
trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication
précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres étant
toujours supposés connus).
4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils
sont placés entre deux astérisques: * . . . *. Dans certains cas, il s'agit seulement
de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits
que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non
seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des
résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont
insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous
l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux.
5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des
fascicules de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des
résultats du Livre, mais aucune démonstration.
6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les d$nitions,
les axiomes et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement
nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants,
ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le
nom de a propositions D, (( lemmes >>,
(( corollaires )), (<remarques H, etc.; ceux qui
peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous
le nom de G scholie O,on trouvera quelquefois un commentaire d'un théorème
particulièrement important.
Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d'introduire certaines notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu'à l'intérieur
d'un seul chapitre ou d'un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où
tous les anneaux considérés sont commutatifs, on peut convenir que le mot
<( anneau o signifie toujours G anneau commutatif O ) . De telles conventions sont
explicitement mentionnées à la tête du chapitre dans lequel elles s'appliquent.
7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs
graves, où il risquerait de tomber; ces passages sont signalés en marge par le
signe
(u tournant dangereux n).
8. Les exercices sont destinés, d'une part, à permettre au lecteur de vérifier
qu'il a bien assimilé le texte; d'autre part, à lui faire connaître des résultats qui
n'avaient pas leur place dans le texte; les plus difficiles sont marqués du signe 7 .
9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l'objet d'une attention particulière. On s'est efforcé de nejamais s'écarter de la terminologie reçue sans de très sérieuses
raisons.
10. O n a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l'exposé, un langage
rigoureusement correct. Autant qu'il a été possible, les abus de langage ou de
notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et
même illisible, ont été signalés au passage.
11. Le texte étant consacré à l'exposé dogmatique d'une théorie, on n'y
trouvera qu'exceptionnellement des références bibliographiques; celles-ci sont
groupées dans des notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes
ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le
plus d'importance dans l'évolution de la théorie considérée; elle ne vise nullement à être complète.
Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur
provenance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques,
recueils d'exercices).
12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions,
remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre
(par l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no 3), le chapitre et
la page où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre
est supprimée; par exemple, dans le Livre d'Algèbre,
E, III, p. 32, cor. 3
renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre
III, page 32 de ce chapitre;
II, p. 23, Remarque 3
renvoie à la Remarque 3 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 23 de ce chapitre.
Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple: EVT,
R signifie <( fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topologiques o.
Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la
nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le
Livre, le chapitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question;
par exemple:
AC, III, fj4, no 5, cor. de la prop. 6.
Au cas où le Livre cité a été modifié au cours d'éditions successives, on indique
en outre l'édition.
INTRODUCTION
A côté des structures algébriques (groupes, anneaux, corps, etc.) qui ont fait l'objet
du Livre d'Algèbre, interviennent, dans toutes les parties de l'Analyse, des
structures d'une autre sorte: ce sont celles où l'on donne un sens mathématique
aux notions intuitives de limite, de continuité et de voisinage. C'est l'étude de ces
structures qui va faire l'objet du présent Livre.
Historiquement, les notions de limite et de continuité sont apparues très
tôt dans la mathématique, notamment en Géométrie, et leur rôle n'a fait que
grandir avec le développement de l'Analyse et ses applications aux sciences
expérimentales. C'est qu'en effet ces notions sont intimement liées à celles de
détermination expérimentale et d'approximation. Mais comme la plupart des déterminations expérimentales se ramènent à des mesures, c'est-à-dire à la détermination d'un ou plusieurs nombres, il était naturel qu'en mathématiques les notions de
limite et de continuité ne jouent de rôle tout d'abord que dans la théorie des
nombres réels avec ses ramifications ou champs d'application divers (nombres
complexes, fonctions réelles ou complexes de variables réelles ou complexes,
géométrie euclidienne ou géométries derivées).
A une époque récente, on a compris que la portée des notions dont il s'agit
dépasse de loin les nombres réels et complexes de l'Analyse classique (voir Note
historique du chap. 1). Par un effort d'analyse et de dissociation, on a été amené
à en dégager l'essentiel, et à forger un outil dont l'efficacité s'est révélée dans de
nombreuses branches des Mathématiques.
Pour faire comprendre ce qu'il y a d'essentiel dans les notions de limite, de
continuité et de voisinage, nous commencerons par analyser celle de voisinage,
xii
INTRODUCTION
bien qu'historiquement elle soit plus tardive que les deux autres. Si nous partons
du concept physique d'approximation, il sera naturel de dire qu'une partie A d'un
ensemble E est un voisinage d'un élément a de A, si lorsqu'on remplace a par un
élément <( approché O,ce nouvel élément appartient encore à A, pourvu toutefois
que 1' << erreur D commise soit assez petite; ou encore, si tous les points de E <( suffisamment proches )) de a appartiennent à A. Cette définition a un sens précis
chaque fois que l'on aura précisé la notion d'erreur assez petite, ou d'élément
suffisamment proche d'un autre. Pour y arriver, la première idée consiste à
supposer qu'on a été amené à mesurer 1' t( écart D de deux éléments par un nombre
réel (positif). Chaque fois que, dans un ensemble, on aura défini, pour tout
couple d'éléments, un (<écart o ou une t( distance D, on pourra définir les (( voisinages >)d'un élément a: sera voisinage de a tout sous-ensemble qui contient tous les
éléments dont la distance à a est inférieure à un nombre strictement positif convenable. Bien entendu, pour qu'à partir de cette définition puisse se développer
une théorie intéressante, on devra supposer que la (( distance )> satisfait à certaines
conditions ou axiomes (par exemple, les inégalités qui, en géométrie euclidienne,
existent entre les distances mutuelles de trois sommets d'un triangle, devront
encore être vérifiées pour notre distance généralisée). O n obtient ainsi une vaste
généralisation de la géométrie euclidienne; aussi est-il commode de se servir d'un
langage géométrique, d'appeler points les éléments de l'ensemble sur lequel a été
définie une <( distance )), cet ensemble prenant lui-même le nom d'espace. De tels
espaces seront étudiés au chapitre IX.
Dans cette conception, on n'a pas encore réussi à se débarrasser des nombres
réels. Pourtant les espaces ainsi définis possèdent un grand nombre de propriétés
qui peuvent s'énoncer indépendamment de la ((distance>) qui leur a donné
naissance. Par exemple: tout sous-ensemble qui contient un voisinage de a est
encore un voisinage de a; l'intersection de deux voisinages de a est un voisinage
de a. Ces propriétés et quelques autres entraînent une foule de conséquences
qu'on en déduit indépendamment de tout recours à la << distance )) qui a permis
initialement la définition des voisinages. On obtiendra ainsi des énoncés dans
lesquels il ne sera jamais question de grandeur, de distance, etc.
Ceci nous amène enfin à la conception générale d'espace topologique, conception indépendante de toute théorie préalable des nombres réels. Nous dirons
qu'un ensemble E est muni d'une structure topologique chaque fois que, par un
moyen ou par un autre, on aura associé à chaque élément de E une famille de
parties de E, appelées voisinages de cet élément, pourvu toutefois que ces voisinages
satisfassent à certaines conditions (les axiomes des structures topologiques). Le
choix des axiomes à imposer aux voisinages est évidemment quelque peu arbitraire, et historiquement il a donné lieu à de longs tâtonnements (voir Note
historique du chap. 1). Le système d'axiomes auquel on s'est finalement arrêté
couvre sensiblement les besoins actuels de l'Analyse, sans tomber dans une généralité excessive et sans objet.
INTRODUCTION
...
Xlll
U n ensemble muni d'une structure topologique prend le nom d'espace
topologique, ses éléments prennent le nom de points. La branche des mathématiques
qui étudie les structures topologiques porte le nom de Topologie (étymologiquement <( science du lieu )), nom peu expressif par lui-même) que l'on préfère aujourd'hui à celui dYAnalysisSitus qui en est synonyme.
O n remarquera que, pour arriver à la notion de voisinage, nous étions partis
du concept vague d'élément <( suffisamment proche d'un autre. Inversement une
structure topologique permet maintenant de donner un sens précis à la phrase:
<( telle propriété a lieu pour tous les points sufisamment voisins de a )>; cela signifie,
par définition, que l'erisemble des points qui possèdent cette propriété est un
voisinage de a dans la structure topologique en question.
De la notion de voisinage découle une série d'autres notions dont l'étude est
le propre de la Topologie: intérieur d'un ensemble, adhérence d'un ensemble,
frontière d'un ensemble, ensemble ouvert, ensemble fermé, etc. (voir chap. 1,
5 1). Par exemple, une partie A est un ensemble ouvert si, chaque fois qu'un point a
appartient à A, tous les points suffisamment voisins de a appartiennent à A,
autrement dit, si A est voisinage de chacun de ses points. Pour toutes ces notions,
les axiomes des voisinages comportent diverses conséquences: par exemple,
l'intersection de deux ensembles ouverts est un ensemble ouvert (parce qu'on a
supposé que l'intersection de deux voisinages de a est un voisinage de a). Inversement, partons d'une de ces notions dérivées au lieu de partir de celle de voisinage;
par exemple, supposons connus les ensembles ouverts, et érigeons en axiomes les
propriétés de la famille des ensembles ouverts (une de ces propriétés vient d'être
indiquée à titre d'exemple). O n constate que l'on peut alors, de la connaissance
des ensembles ouverts, remonter à celle des voisinages, les axiomes des voisinages
se trouvant vérifiés comme conséquenccs des nouveaux axiomes pris comme point
de départ. O n voit qu'une structure topologique peut être définie de plusieurs
manières différentes, mais équivalentes au fond (cf. E, IV, p. 9). Dans ce traité
nous partons de la notion d'ensemble ouvert, pour des raisons de commodité, parce
que les axiomes correspondants offrent un caractère de plus grande simplicité.
Une fois définies les structures topologiques, il est facile de préciser la notion
de continuité. Intuitivement une fonction est continue en un point si sa valeur varie
aussi peu qu'on veut lorsque l'argument reste suffisamment voisin du point
considéré. O n voit que la notion de continuité aura un sens précis chaque fois que
l'espace des arguments et l'espace des valeurs seront des espaces topologiques. La
définition précise qui s'impose alors sera donnée dans 1, p. 8.
Comme la notion de continuité, la notion de limite fait intervenir deux ensembles munis respectivement de structures convenables, et une application de
l'un dans l'autre. Par exemple, lorsqu'on parle de la limite d'une suite de nombres
réels a,, il intervient d'une part l'ensemble N des entiers naturels, d'autre part
l'ensemble R des nombres réels, enfin une application du premier ensemble dans
le second. O n dit alors qu'un nombre réel a est limite de la suite si, quel que soit le
xiv
INTRODUCTION
voisinage V de a, ce voisinage contient tous les a,, sauf pour un nombre fini de
valeurs de n; autrement dit, si l'ensemble des n pour lesquels a, appartient à V est
une partie de N dont le complémentaire est fini. O n voit que R est supposé muni
d'une structure topologique, puisqu'il s'agit de voisinages; quant à l'ensemble N,
on y fait jouer un rôle particulier à une certaine famille de sous-ensembles, ceux
dont le complémentaire est fini. C'est là un fait général. Chaque fois que l'on
parle de limite, il est question d'une application f d'un ensemble E dans un espace
topologique F; on dit alors que f a pour limite un point a de F si l'ensemble des
éléments x de E dont l'image f (x) appartient à un voisinage V de a (cet ensemble
-1
n'est autre que 1' ((image réciproque of (V)) appartient, quel que soit V, à une
certaine famille 5 de sous-ensembles de E, donnée à l'avance. Pour que la notion
de limite possède les propriétés essentielles qu'on lui attribue d'ordinaire, on
impose à la famille 5 de satisfaire à certains axiomes qui seront énoncés dans 1,
p. 35. Une telle famille 5 de partie de E s'appelle un jltre sur E. La notion de
filtre, qui est donc inséparable de celle de limite, intervient d'ailleurs à plus d'un
titre en Topologie: par exemple, les voisinages d'un point dans un espace
topologique forment un filtre.
L'étude générale de toutes les notions précédentes constitue l'objet essentiel du
Chapitre 1. On y étudiera aussi certaines classes particulières d'espaces topologiques : espaces satisfaisant à des axiomes plus restrictifi que les axiomes généraux,
ou espaces obtenus par des procédés particuliers à partir d'autres espaces supposés
donnés.
Comme on l'a déjà dit, une structure topologique sur un ensemble permet de
donner un sens précis à la phrase: a dès que x est suffisamment voisin de a, x
possède la propriété Pgxf )).Mais, sauf dans le cas où aurait été définie une a distance 9, on ne voit pas quel sens attribuer à la phrase: (( tout couple de points x,y
suffisamment voisins possède la propriété P lx, y { )>.
Cela tient à ce qu'on ne possède
a priori aucun moyen de comparer entre eux les voisinages de deux points différents. Or, la notion de couple de points voisins intervient fréquemment dans
l'Analyse classique (entre autres dans les énoncés où il est question de continuité
uniforme). Il importe donc de lui donner un sens précis en toute généralité; pour
cela, on est amené à définir des structures plus riches que les structures topologiques, les structures un$ormes. Elles seront étudiées au chapitre II.
Les autres chapitres du Livre de Topologie générale seront consacrés à des
questions où, en plus d'une structure topologique ou uniforme, interviennent
simultanément d'autres structures. Par exemple, un groupe sur lequel on a défini
une topologie convenable (c'est-à-dire compatible en un certain sens avec la
structure du groupe) prend le nom de groupe topologique. Les groupes topologiques
seront étudiés au chapitre I I I ; on y verra en particulier comment tout groupe
topologique peut être muni de certaines structures uniformes.
Au chapitre IV, on appliquera les principes précédents au corps des nombres
INTRODUCTION
XV
rationnels (défini d'une manière purement algébrique dans A, 1, p. 11l), ce
qui permettra de définir le corps des nombres réels; en raison de son importance,
on en fera aussitôt une étude détaillée. A partir des nombres réels, on définira,
dans les chapitres suivants, certains espaces topologiques particulièrement
intéressants du point de vue des applications de la Topologie à la géométrie
classique : espaces vectoriels à un nombre fini de dimensions, sphères, espaces
projectifs, etc. O n étudiera aussi certains groupes topologiques étroitement liés au
groupe additif des nombres réels, que l'on caractérisera axiomatiquement; ceci
conduira à la définition et aux propriétés élémentaires des fonctions les plus
importantes de l'Analyse classique: exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques.
Dans le chapitre IX, on reviendra aux espaces topologiques généraux en se
servant de l'instrument nouveau qu'est le nombre réel; on étudiera en particulier
espaces qui
les espaces dont la topologie est définie au moyen d'une (( distance )>,
possèdent des propriétés dont certaines n'ont pu encore être étendues aux espaces
plus généraux. Au chapitre X, on se propose d'étudier les ensembles d'applications d'un espace topologique dans un espace uniforme (espaces fonctionnels) ;
ces ensembles, munis à leur tour de structures topologiques convenables, possèdent
des propriétés intéressantes qui jouent, jusque dans l'Analyse classique, un rôle
important. Enfin, le dernier chapitre est consacré à l'étude des notions de
revêtement et d'espace simplement connexe.
CHAPITRE 1
Structures topolo
8 1.
ENSEMBLES OUVERTS ; VOISINAGES ;
ENSEMBLES FERMES
1. Ensembles ouverts
DÉFINITION 1. - On appelle structure topologique (ou plus brièvement topologie) sur un
ensemble X une structure constituéepar la donnée d'un ensemble O de parties de X possédant
les propriétés suiuantes (dites axiomes des structures topologiques) :
(O,) Toute réunion d'ensembles de O est un ensemble de O.
(O,) Toute intersectionjnie d'ensembles de O est un ensemble de O.
Les ensembles de O sont appelés ensembles ouverts de la structure topologique déJinie par
O sur X.
DÉFINITION
2. - On appelle espace topologique un ensemble muni d'une structure topologi-
que.
Les éléments d'un espace topologique sont souvent appelés points. Lorsqu'on
a défini une topologie sur un ensemble X, on dit que cet ensemble est sous-jacent
à l'espace topologique X.
L'axiome (O,) implique en particulier que la réunion de la partie vide de O,
c'est-à-dire l'ensemble vide (E, II, p. 22) appartient à O. L'axiome (O,) implique
que l'intersection de la partie vide de 0,c'est-à-dire l'ensemble X (E, II, p. 23,
déf. 3) appartient à O.
Lorsqu'on veut montrer qu'un ensemble O de parties de X satisfait à (OII),il est
souvent commode d'établir séparément qu'il satisfait aux deux axiomes suivants, dont
la conjonction est équivalente à (OI1):
(OI1,) L'intersection de deux ensembles de O appartient à O.
(Ollb) X appartient à O.
TG 1.2
STRUCTURES TOPOLOGIQUES
31
Exemples de topologies. - Sur un ensemble quelconque X, l'ensemble de parties de
X formé de X et de % satisfait aux axiomes (O1) et (OII)et définit donc une topologie sur
X. I l en est de même de l'ensemble g ( X ) de toutes les parties de X : la topologie qu'il
définit est dite topologie discrète sur
appelé espace discret.
X,
et l'ensemble
X
muni de cette topologie est
Un recouvrement (UJLEI
d'une partie A d'un espace topologique X (E, II, p. 27)
est dit ouvert si tous les U, sont ouverts dans X .
DÉFINITION
3. - On appelle homéomorphisme d'un espace topologique X sur un espace
topologique X' un isomorphisme de la structure topologique de X sur celle de X ' ; c'est-àdire, conformément aux définitions générales (E, IV, p. 6 ) une bijection de X
sur X ' qui transforme l'ensemble des parties ouvertes de X en l'ensemble des parties ouvertes
de X'.
On dit que X et X' sont homéomorphes lorsqu'il existe un homéomorphisme de X
sur X'.
Exemple. - Si X et
un homéomorphisme.
X'
sont deux espaces discrets, toute bijection de X sur X' est
La définition d'un homéomorphisme se transforme aussitôt en le critère
suivant: pour qu'une bijection f d'un espace topologique X sur un espace topologique X '
soit un homéomorphisme, il faut et il su@t que l'image par f de tout ensemble ouvert dans X
soit un ensemble ouvert dans X ' , et que l'image réc$roque par f de tout ensemble ouvert
dans X ' soit un ensemble ouvert dans X .
2. Voisinages
DÉFINITION
4. -Dans un espace topologique X , on appelle voisinage d'une partie A de X
tout ensemble qui contient un ensemble ouvert contenant A. Les voisinages d'une partie {x)
réduite à un seul point s'appellent aussi voisinages du point x.
II est clair que tout voisinage d'une partie A de X est aussi un voisinage de
toute partie B c A; en particulier, c'est un voisinage de tout point de A.
Réciproquement, soit A un voisinage dc chacun des points d'un cnscmblc B, ct soit
U la réunion des ensembles ouverts contenus dans A; on a U c A, et comme tout
point de B appartient à un ensemble ouvert contenu dans A, on a B c U ; mais
U est ouvert en vertu de (O,), donc A est un voisinage de B. En particulier:
PROPOSITION
1. -Pour qu'un ensemble soit un voisinage de chacun de ses points, il faut
et il su@ qu'il soit ouvert.
Le mot << voisinage D a, dans le langage courant, un sens tel que beaucoup de
propriétés où intervient la notion mathématique que nous avons désignée sous ce
nom, apparaissent comme l'expression mathématique de propriétés intuitives; le
choix de ce terme a donc l'avantage de rendre le langage plus imagé. Dans le même
but, on peut aussi utiliser les expressions (1 assez voisin et (( aussi voisin qu'on veut D