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MAT144 Les nombres complexes École de technologie supérieure
2
On peut quelquefois rencontrer des équations qui ne possèdent pas de solutions réelles. C'est le cas, par exemple, de
l'équation . Les solutions de cette équation, + 25 = 0x5i
±
, font partie d'un ensemble de nombres qu'on appelle
les nombres complexes (noté ); cet ensemble est formé à partir des nombres réels auxquels on ajoute
C= 1i
−
.
Cette dernière valeur n’est évidemment pas un nombre réel, donc ce n’est pas une quantité mesurable.
En électronique, la lettre i étant utilisée pour désigner l'intensité du courant, c'est la lettre qui sert pour le nombre
j
1−. Ici, on se servira de i.
Un nombre complexe sous forme standard est un nombre de la forme , où a et sont des nombres réels et
est l'unité des nombres imaginaires. Si
+ abi b
i 0b
≠
, alors est aussi appelé nombre imaginaire ou nombre
complexe. Si , alors est un nombre réel. Le zéro des complexes est . Le conjugué de
est .
+ abi
= 0b + 0 ai 0+ 0 = 0i
+ abi - abi
La figure suivante nous montre un nombre complexe a dessiné dans le plan complexe. bi+
y
x
Axe imaginaire
Axe réel
Plan complexe
a
ba + bi
(a,b)
Lorsque l'on fait correspondre des nombres complexes à des points dans un système de coordonnées rectangulaires,
l'axe des
x
devient l'axe réel et l'axe des devient l'axe imaginaire. Le nombre complexe est exprimé
sous forme rectangulaire, étant la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe.
y+ abi
a
L'égalité, l'addition et la multiplication des nombres complexes est définie par:
1. si et seulement si et + = + abicdi = ac bd
=
où ,,,abcd
∈
\
2. et ( ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )abi cdi ac bdi + ) - ( + ) = ( - ) + ( - )abi cdi ac bdi
3. ( + ) ( + ) = ( - ) + ( + )a bi c di ac bd ad bc i
Puisque les nombres complexes jouissent des mêmes propriétés de commutativité, d'associativité et de distributivité
que les nombres réels, la plupart des calculs sur les nombres complexes sont effectués à l'aide de ces dernières
propriétés et aussi de la formule . La recherche de l'inverse multiplicatif d'un nombre complexe et la
manipulation de quotients amènent à utiliser la propriété des conjugués:
2 = -1i22
( + ) ( - ) = + abiabi a b
Si , alors la racine carrée principale d'un réel négatif est > 0a- a= 1 = 1 = iaa a−−⋅−⋅ a.
Par exemple, 4 4 12 12i−= −= −=
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5 octobre 2007

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i
Exemple : Effectuez les opérations suivantes
a)
( b) (2 - 5 ) + (3 + )ii 4 - 3 ) (1 - 2 )i
⋅
c)
1
23i
+
d)
73
1i i
−
+
Solutions : a) En suivant la règle #2 ci-dessus:
(2 - 5i) + (3 + i) = (2 + 3) + (-5 + 1)i = 5 - 4i
b) En suivant la règle #3 ci-dessus:
( 4 -3 ) (1 - 2 ) = (4 1 - [-3] [-2]) + (4 [-2] + [-3] 1) = (4 - 6) + (-8 - 3) = -2 - 11ii i i⋅⋅⋅⋅⋅ i
c) Simplifions cette expression en utilisant le conjugué du dénominateur:
1 1 23 23 2 3
23 2323 49 1313
ii i
iii
−−
=⋅==−
++−+
d) On procède comme pour l'expression précédente:
73 731 410 25
111 2
iii ii
iii
−−−−
=⋅= =−
++−
Une équation quadratique sous forme standard est une équation qui peut être ramenée sous la forme
2
+ + = 0 0ax bx c a ≠, où x est la variable et a, b et c sont des constantes réelles. On peut toujours résoudre
cette équation avec la formule quadratique:
24
2
bb ac
xa
−± −
=
Si le discriminant est positif, l'équation possède deux racines réelles distinctes; si le discriminant est égal
à 0, l'équation possède une racine réelle double; si le discriminant est négatif, l'équation possède deux racines
imaginaires (nombres complexes), chacune étant la conjuguée de l'autre.
2 - 4 bac
Exemple : Déterminez combien de racines possède chacune des équations suivantes:
a) b) c)
2
2 - 5 + 3 = 0xx 2 9 + 30 + 25 = 0xx 2 5 + 4 + 1 = 0xx
Solutions :
a) racines réelles distinctes: 1 et
2
= 2; = -5; = 3 - 4 = 25 - 4 6 = 1 > 0 2 ab c bac⇒⋅⇒ 3
2
b) une seule racine, double:
2
= 9; = 30; = 25 - 4 = 900 - 4 225 = 0 ab c bac⇒⋅⇒ 5
3
−
c) racines complexes:
2
= 5; = 4; = 1 - 4 = 16 - 4 5 = -4 < 0 2 abc bac⇒⋅⇒ 2
5
− ± 5
i
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x
±
Il peut arriver qu'on ait à résoudre des équations qui ne sont pas des équations quadratiques, par exemple
, mais qui peuvent se ramener à cette forme à l’aide d’un changement de variable approprié:
pour notre exemple, si on pose , on obtient :
42
+ 5 + 4 = 0xx
24
= ( = )ux x u⇒
42 2
22 2 2
2
340 340 (4)(1)0
( 4)( 1) 0 soit 4 0 donc 4 et 2
soit 1 0 donc ( 1)( 1) 0 et 1
xx uu u u
xx x x xi
xxx
+ −=⇒ +−=⇒ + −=
⇒+−=⇒ += =− =±
⇒−= +−==
EXERCICES (Faites les exercices manuellement et vérifiez vos réponses avec votre TI)
1- Effectuez et donnez sous forme standard
a)
(
)
32 (68)i−+ + −ii b) ( 3 3)(2 3)i
−
−+ c) 13
53
i
i
−
−
2- Effectuez et écrivez sous forme standard
a) b)
2
(3 ) 2(3 ) 3ii+− ++ 27
i
3- Réécrivez sous la forme et effectuez
abi+
a) (2 4 (3 9)−−− −− b) 2
34
1
−
−
+
− c) 42
4
5
+
−
−
4- Évaluez
3,77 8,47
6,82 7,06i i
−
− avec votre TI (arrondissez votre réponse à 2 décimales)
Résolvez les équations suivantes.
5- 2
24
x
x= 6-
2
273
x
x
=
− 7- 210mm
+
+=
8- 23(1)
2
yy=+
9- 2
32
1u
u
+
= 10- 42
536mm 0
+
−=
RÉPONSES
1- a) 3 b) 31 c) 6i−5i−2i
+
2- a) b) 54i+
(
)
() ()
13 13
27 26 2 11iiiii i i= = =− =− =−i
3- a) b) 1i−+ 47
13 13i− c)
52
2i
−
4-
0, 5- 6- 89 0,32i−0ou 2xx== 1, 3
2
x
⎧
⎫
∈
⎨
⎬
⎩⎭
7- 13
22
m=− ± i
8- 333
4
y± =
9- 12ui=± 10-
3ou 2mi m=± =±
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