1.2 feuille 1 - groupes abéliens - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie
M2 Enseignement de Mathématiques
Professeur: P. Charollois
1.2
1.2.1
Année 2016-2017
Préparation à l’écrit d’algèbre de l’Agrégation
feuille 1 - groupes abéliens
groupes abéliens, théorie élémentaire.
Exercice 1. corrigé #Cl# [Z/nZ, +, ⇥]
Soient n et k deux entiers.
a) Montrer que, pour tout d divisant n, le groupe additif (Z/nZ, +) possède un et un seul sous-groupe
d’ordre d. Lequel est-ce ?
b) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. La classe de k engendre (Z/nZ, +).
2. Les entiers n et k sont premiers entre eux.
3. La classe de k est inversible dans l’anneau (Z/nZ, +, ⇥).
c) Déterminer, en fonction de k et de n, l’ordre de k dans (Z/nZ, +).
d) Montrer que (Aut(Z/nZ), o) ' ((Z/nZ)⇤ , ⇥).
Exercice 2. corrigé #C# [Hom]
Soit M un groupe abélien.
a) Montrer que tout morphisme de groupe f : Z ! M est de la forme f (k) = km0 pour un certain
m0 2 M.
b) A quel groupe naturel est isomorphe le groupe Hom(Z, M ) ?
c) Montrer que Hom(Z/nZ, M ) est isomorphe au sous-groupe {m, nm = 0} de M.
d) Identifier Hom(Z/nZ, Z/N Z) avec un groupe fini usuel.
Exercice 3. corrigé #B# [congruences]
a) Quel est le dernier chiffre de 31003 en base diadique ? En base décimale ? En base triadique ?
b) Trouver le reste de la division de 10100 par 247 = 13 ⇥ 19.
c) Trouver un entier x congru simultanément à 1 modulo 3, à 3 modulo 4, et à 3 modulo 7.
Exercice 4. corrigé #Cl# [sous-groupes de R]
a) Montrer que les sous-groupes de (R, +) sont soit monogènes, soit denses.
b) Donner un exemple de sous-groupe dense de type fini de R.
c) Tous les sous-groupes de R sont-ils de type fini ?
d) [O] Déterminer tous les sous-groupes du cercle unité U.
Exercice 5. corrigé (Equation de Pell-Fermat) Soit d > 1 un entier qui n’est pas un carré.
1) (Brahmagupta, 628) Montrer que les solutions (x, y) 2 Z2 de l’équation diophantienne x2 dy 2 = 1
forment un groupe abélien.
2) (Euler) Dans les cas d = 2, 3, 5, ... (et plus si possible...), montrer que cette équation diophantienne
possède une infinité de solutions (x, y) 2 Z2 .
3) #C-D# (Lagrange 1766, Dirichlet 1846) Montrer que les solutions avec (x, y) 2 Z2 et x > 0
forment un groupe abélien isomorphe à Z. (cf exercice 21 pour plus d’indications).
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Exercice 6. corrigé #B#
a) Montrer que Z et Z2 sont des groupes additifs non-isomorphes. Qu’en est-il de (Q, +) et (Q2 , +) ?
b) Montrer que (R, +) et (R>0 , ⇥) sont isomorphes. Et avec (R⇤ , ⇥) ? #C# Qu’en est-il de (Q, +)
et (Q>0 , ⇥) ?
c) Montrer que tout élément du groupe additif G = Q/Z est d’ordre fini. Montrer que G contient
des éléments d’ordre arbitraire.
Exercice 7. corrigé #C# [composantes p-primaires]
Soit G un groupe abélien fini d’ordre n. Pour tout premier p divisant n on note G(p) les éléments de G
d’ordre une puissance de p.
a) Soit n = pr11 . . . prkk la décomposition de n en facteurs premiers. Montrer que G = ki=1 G(pi ).
(Indic. : tout se passe comme dans le lemme des noyaux).
b) Montrer qu’il existe dans G un élément d’ordre le ppcm des ordres des éléments de G. Ce résultat
subsiste-t’il lorsque G n’est pas abélien ?
c) Soit k un corps commutatif et G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif k ⇤ . Montrer que G
est un groupe cyclique, en utilisant le résultat de b).
d) (classification) Soit G un groupe abélien fini. Montrer que G est isomorphe à un produit direct
d’un nombre fini de groupes cycliques. (Ind : on combinera b) avec le lemme de prolongement des
caractères).
d’) (unicité de la décomposition). On suppose que G = Cd1 ⇥ · · · ⇥ Cdn . Dénombrer les solutions de
l’équation xk = 1 dans G. Conclure que tout groupe G abélien fini est isomorphe à Cd1 ⇥ · · · ⇥ Cdn pour
une unique suite d’entiers dn | dn 1 | · · · | d1 .
e) #O# Donner une autre démonstration de c) en utilisant le théorème de classification d’).
f) Lire et apprécier la remarque p. 523 de Körner, "Fourier Analysis".
Exercice 8. corrigé #Cl# (Serre, p. 11)
a) Soit G un groupe fini d’ordre n, tel que pour tout d  n, l’ensemble des solutions de xd = 1, x 2 G
ait au plus d éléments. Montrer que G est abélien et même cyclique. (ind. : utiliser l’identité (1)).
b) Soit k un corps commutatif et G un sous-groupe fini de (k ⇤ , ⇥). Montrer que G est cyclique. (En
particulier, si k est un corps fini, alors (k ⇤ , ⇥) est un groupe cyclique).
c) compléments : rappelez 2 autres preuves de b). Que dire dans le cas d’un corps non-commutatif ?
Exercice 9. corrigé #Cl# [fonction indicatrice d’Euler]
Soit '(n) le nombre d’éléments de (Z/nZ)⇤ .
a) Montrer que
X
n=
'(d).
(1)
d|n
(cette identité est parfois notée Id = ' ⇤ 1.)
b) Si p est un nombre premier, calculer '(p) et '(ps ).
c) Montrer que si n et m sont premiers entre eux, '(mn) = '(m)'(n). (on dit que la fonction ' est
multiplicative).
d) En déduire que, p désignant un nombre premier,
Y
1
'(n) = n (1
).
p
p|n
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e) i) Trouver toutes les valeurs de n telles que '(n)  2.
ii) On note pj le j-ème nombre premier. Montrer que pj > j.
n
iii) Déduire de d) et e.ii) que '(n)
. En particulier, '(n) tend vers l’infini avec n. (voir
log2 n+1
l’exercice 53 ou encore 58.3 pour de jolies applications de ce résultat).
Exercice 10. corrigé # Cl#[Structure de (Z/nZ)⇤ , ⇥](Colmez p. 41 ; Perrin ; Hindry)
a) Soit p un nombre premier impair et k 1 un entier. Montrer qu’il existe un entier
tel que
premier à p
k
(1 + p)p = 1 + pk+1 .
b) En déduire, en utilisant la structure de (Z/pZ)⇤ , que ((Z/pk Z)⇤ , ⇥) est cyclique.
c) Montrer que (Z/2Z)⇤ = {1} et, en étudiant l’ordre de 5 mod 2k , que
((Z/2k Z)⇤ , ⇥) = ((Z/2k 2 Z) ⇥ (Z/2Z), +) si k
2.
d) (Le cas général). Conclure quant à la structure de ((Z/nZ)⇤ , ⇥) : en particulier, pour quelles
valeurs de n ce groupe est-il cyclique ?
1.2.2
caractères des groupes abéliens finis
Exercice 11. corrigé #C#(caractères des groupes finis abéliens).(G. Peyré, "l’algèbre discrète de la
transformée de Fourier". Exercices corrigés. Voir aussi [Colmez].).
b = { : G ! C⇤ , morphisme}
(Dans cet exercice, G désigne un groupe abélien fini d’ordre n.) On note G
le groupe dual de G, et L(G) le C-espace vectoriel des fonctions u : G ! C, dont une base est { g }g2G
données par g (h) = 1 si h = g, zéro sinon.
P
On munit L(G) d’un produit scalaire hermitien en posant < u, v > := n1 g2G u(g)v(g).
• 1) Décrire les éléments d’ordre 2 de Ĝ lorsque G = F⇤p est le groupe des inversibles du corps fini à
p éléments (p premier).
Q
n
• 2) Soit g 2 G d’ordre m. Montrer que
(g)X) = (1 X m ) m .
b (1
2G
• 3) 1 Pour g 2 G, on définit l’endomorphisme Tg de L(G) par
Tg (u)(x) = u(gx).
i) Montrer que chaque Tg est un endomorphisme de L(G) diagonalisable. Montrer que les Tg forment
une famille commutative de End(L(G)), et que cette famille est simultanément diagonalisable.
ii) Montrer que si u 2 L(G) est un vecteur propre commun aux Tg , alors la droite Cu contient un
caractère de G.
b
iii) En déduire les égalités dim L(G) = |G| = |G|.
iv) Montrer que les caractères de G forment une famille orthonormée pour le produit scalaire hermitien <, > .
1. (cet exercice donne une interprétation des caractères de G comme vecteurs propres. Il fait donc intervenir de l’algèbre
linéaire, et est transverse au programme de l’agrégation. On notera l’analogie avec le cas de la transformée de Fourier sur
R. Cet exercice est également utile pour la leçon Transformée de Fourier Discrète).
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• 4)(Déterminants de Dedekind et de Frobénius, cas abélien) Soit G un groupe abélien fini de cardinal
n et u : G ! C une fonction sur G. On note ⇥u (G) la matrice carrée de Mn (C) dont le terme en position
(g, h) est u(gh 1 ). Montrer la formule de factorisation de Dedekind :
!
Y X
det ⇥u (G) = det u(gh 1 ) =
u(g 1 ) (g) .
g,h
2Ĝ
g2G
P
On pourra calculer le déterminant de l’opérateur Tu 2 End(L(G)) défini par Tu := g2G u(g 1 )Tg .
Note : on reviendra sur cette question dans le cas de G = S3 et d’autres groupes non-abéliens, cf
exo. 130.
P
b définie par u
On rappelle que la transformée de Fourier de u 2 L(G) est u
b 2 L(G)
b( ) = g2G u(g) (g).
• 5) (Les Tg sont des isométries).
d
i) Montrer que T
g u( ) = (g)û( ) pour toute u 2 L(G).
ii) Montrer que
||Tg (u)|| = ||u||.
• 6.a) Etablir la formule d’inversion de Fourier dans ce contexte.
6.b) (principe d’incertitude) Soit u 2 L(G) non nulle et u
b 2 L(Ĝ) sa transformée de Fourier. Montrer
que
| supp(u) | . | supp(b
u) | | G |,
où "supp" désigne le support d’une fonction définie sur un ensemble fini, i.e. l’ensemble des points où
elle prend une valeur non-nulle. (Indication : utiliser la formule d’inversion de Fourier).
• 7) (convolution) Pour u, v dans L(G) on note u ⇤ v 2 L(G) leur convolution définie par
X
(u ⇤ v)(g) :=
u(x)v(x 1 g).
x2G
i) Montrer que g ⇤ h = gh . En déduire que (L(G), ⇤) est isomorphe à (C[G], .) comme C-algèbre.
ii) Montrer que u[
⇤ v( ) = u
b( )b
v ( ). Ainsi, la transformée de Fourier transforme le produit de
convolution en produit usuel.
iii) Pour chaque 2 Ĝ, la fonction h : L(G) ! C, h (u) = u
b( ) définit un C-morphisme d’algèbre
d’après ii). Montrer que tous les morphismes d’algèbre sur L(G) sont de cette forme.
iv) Montrer que g ⇤ u = Tg 1 (u) et ⇤ u = u
b( ) . On pourra faire un calcul direct, ou bien calculer
les transformées de Fourier de chaque membre et utiliser ii).
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