1.2 feuille 1 - groupes abéliens - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie Année 2016-2017
M2 Enseignement de Mathématiques Préparation à l’écrit d’algèbre de l’Agrégation
Professeur: P. Charollois
1.2 feuille 1 - groupes abéliens
1.2.1 groupes abéliens, théorie élémentaire.
Exercice 1. corrigé #Cl# [Z/nZ,+,⇥]
Soient net kdeux entiers.
a) Montrer que, pour tout ddivisant n, le groupe additif (Z/nZ,+) possède un et un seul sous-groupe
d’ordre d. Lequel est-ce ?
b) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. La classe de kengendre (Z/nZ,+).
2. Les entiers net ksont premiers entre eux.
3. La classe de kest inversible dans l’anneau (Z/nZ,+,⇥).
c) Déterminer, en fonction de ket de n, l’ordre de kdans (Z/nZ,+).
d) Montrer que (Aut(Z/nZ),o)'((Z/nZ)⇤,⇥).
Exercice 2. corrigé #C# [Hom]
Soit Mun groupe abélien.
a) Montrer que tout morphisme de groupe f:Z!Mest de la forme f(k)=km0pour un certain
m02M.
b) A quel groupe naturel est isomorphe le groupe Hom(Z,M)?
c) Montrer que Hom(Z/nZ,M)est isomorphe au sous-groupe {m, nm =0}de M.
d) Identifier Hom(Z/nZ,Z/N Z)avec un groupe fini usuel.
Exercice 3. corrigé #B# [congruences]
a) Quel est le dernier chiffre de 31003 en base diadique ? En base décimale ? En base triadique ?
b) Trouver le reste de la division de 10100 par 247 = 13 ⇥19.
c) Trouver un entier xcongru simultanément à 1modulo 3,à3modulo 4,et à 3modulo 7.
Exercice 4. corrigé #Cl# [sous-groupes de R]
a) Montrer que les sous-groupes de (R,+) sont soit monogènes, soit denses.
b) Donner un exemple de sous-groupe dense de type fini de R.
c) Tous les sous-groupes de Rsont-ils de type fini ?
d) [O] Déterminer tous les sous-groupes du cercle unité U.
Exercice 5. corrigé (Equation de Pell-Fermat) Soit d>1un entier qui n’est pas un carré.
1) (Brahmagupta, 628) Montrer que les solutions (x, y)2Z2de l’équation diophantienne x2dy2=1
forment un groupe abélien.
2) (Euler) Dans les cas d=2,3,5,...(et plus si possible...), montrer que cette équation diophantienne
possède une infinité de solutions (x, y)2Z2.
3) #C-D# (Lagrange 1766, Dirichlet 1846) Montrer que les solutions avec (x, y)2Z2et x>0
forment un groupe abélien isomorphe à Z.(cf exercice 21 pour plus d’indications).
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Exercice 6. corrigé #B#
a) Montrer que Zet Z2sont des groupes additifs non-isomorphes. Qu’en est-il de (Q,+) et (Q2,+) ?
b) Montrer que (R,+) et (R>0,⇥)sont isomorphes. Et avec (R⇤,⇥)? #C# Qu’en est-il de (Q,+)
et (Q>0,⇥)?
c) Montrer que tout élément du groupe additif G=Q/Zest d’ordre fini. Montrer que Gcontient
des éléments d’ordre arbitraire.
Exercice 7. corrigé #C# [composantes p-primaires]
Soit Gun groupe abélien fini d’ordre n. Pour tout premier pdivisant non note G(p)les éléments de G
d’ordre une puissance de p.
a) Soit n=pr1
1...p
rk
kla décomposition de nen facteurs premiers. Montrer que G=k
i=1G(pi).
(Indic. : tout se passe comme dans le lemme des noyaux).
b) Montrer qu’il existe dans Gun élément d’ordre le ppcm des ordres des éléments de G. Ce résultat
subsiste-t’il lorsque Gn’est pas abélien ?
c) Soit kun corps commutatif et Gun sous-groupe fini du groupe multiplicatif k⇤.Montrer que G
est un groupe cyclique, en utilisant le résultat de b).
d) (classification) Soit Gun groupe abélien fini. Montrer que Gest isomorphe à un produit direct
d’un nombre fini de groupes cycliques. (Ind : on combinera b) avec le lemme de prolongement des
caractères).
d’) (unicité de la décomposition). On suppose que G=Cd1⇥···⇥Cdn.Dénombrerlessolutionsde
l’équation xk=1dans G. Conclure que tout groupe Gabélien fini est isomorphe à Cd1⇥···⇥Cdnpour
une unique suite d’entiers dn|dn1|···|d1.
e) #O# Donner une autre démonstration de c) en utilisant le théorème de classification d’).
f) Lire et apprécier la remarque p. 523 de Körner, "Fourier Analysis".
Exercice 8. corrigé #Cl# (Serre, p. 11)
a) Soit Gun groupe fini d’ordre n, tel que pour tout dn, l’ensemble des solutions de xd=1,x2G
ait au plus déléments. Montrer que Gest abélien et même cyclique. (ind. : utiliser l’identité (1)).
b) Soit kun corps commutatif et Gun sous-groupe fini de (k⇤,⇥).Montrer que Gest cyclique. (En
particulier, si kest un corps fini, alors (k⇤,⇥)est un groupe cyclique).
c) compléments : rappelez 2 autres preuves de b). Que dire dans le cas d’un corps non-commutatif ?
Exercice 9. corrigé #Cl# [fonction indicatrice d’Euler]
Soit '(n)le nombre d’éléments de (Z/nZ)⇤.
a) Montrer que
n=X
d|n
'(d).(1)
(cette identité est parfois notée Id = '⇤1.)
b) Si pest un nombre premier, calculer '(p)et '(ps).
c) Montrer que si net msont premiers entre eux, '(mn)='(m)'(n).(on dit que la fonction 'est
multiplicative).
d) En déduire que, pdésignant un nombre premier,
'(n)=nY
p|n
(1 1
p).
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e) i) Trouver toutes les valeurs de ntelles que '(n)2.
ii) On note pjle j-ème nombre premier. Montrer que pj>j.
iii) Déduire de d) et e.ii) que '(n)n
log2n+1 .En particulier, '(n)tend vers l’infini avec n. (voir
l’exercice 53 ou encore 58.3 pour de jolies applications de ce résultat).
Exercice 10. corrigé # Cl#[Structure de (Z/nZ)⇤,⇥](Colmez p. 41 ; Perrin ; Hindry)
a) Soit pun nombre premier impair et k1un entier. Montrer qu’il existe un entier premier à p
tel que
(1 + p)pk=1+pk+1.
b) En déduire, en utilisant la structure de (Z/pZ)⇤,que ((Z/pkZ)⇤,⇥)est cyclique.
c) Montrer que (Z/2Z)⇤={1}et, en étudiant l’ordre de 5mod 2k,que
((Z/2kZ)⇤,⇥)=((Z/2k2Z)⇥(Z/2Z),+) si k2.
d) (Le cas général). Conclure quant à la structure de ((Z/nZ)⇤,⇥):enparticulier,pourquelles
valeurs de nce groupe est-il cyclique ?
1.2.2 caractères des groupes abéliens finis
Exercice 11. corrigé #C#(caractères des groupes finis abéliens).(G. Peyré, "l’algèbre discrète de la
transformée de Fourier". Exercices corrigés. Voir aussi [Colmez].).
(Dans cet exercice, Gdésigne un groupe abélien fini d’ordre n.)Onnote b G={:G!C⇤,morphisme}
le groupe dual de G,etL(G)le C-espace vectoriel des fonctions u:G!C,dont une base est {g}g2G
données par g(h)=1si h=g, zéro sinon.
On munit L(G)d’un produit scalaire hermitien en posant <u,v>:= 1
nPg2Gu(g)v(g).
•1) Décrire les éléments d’ordre 2de ˆ Glorsque G=F⇤
pest le groupe des inversibles du corps fini à
péléments (ppremier).
•2) Soit g2Gd’ordre m. Montrer que Q2
b
G(1 (g)X)=(1Xm)n
m.
•3) 1Pour g2G, on définit l’endomorphisme Tgde L(G)par
Tg(u)(x)=u(gx).
i) Montrer que chaque Tgest un endomorphisme de L(G)diagonalisable. Montrer que les Tgforment
une famille commutative de End(L(G)),et que cette famille est simultanément diagonalisable.
ii) Montrer que si u2L(G)est un vecteur propre commun aux Tg,alors la droite Cucontient un
caractère de G.
iii) En déduire les égalités dim L(G)=|G|=|b G|.
iv) Montrer que les caractères de Gforment une famille orthonormée pour le produit scalaire her-
mitien <, > .
1. (cet exercice donne une interprétation des caractères de Gcomme vecteurs propres. Il fait donc intervenir de l’algèbre
linéaire, et est transverse au programme de l’agrégation. On notera l’analogie avec le cas de la transformée de Fourier sur
R.Cet exercice est également utile pour la leçon Transformée de Fourier Discrète).
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•4)(Déterminants de Dedekind et de Frobénius, cas abélien) Soit Gun groupe abélien fini de cardinal
net u:G!Cune fonction sur G. On note ⇥u(G)la matrice carrée de Mn(C)dont le terme en position
(g, h)est u(gh1).Montrer la formule de factorisation de Dedekind :
det ⇥u(G)=det
g,h u(gh1)=Y
2ˆ G X
g2G
u(g1)(g)!.
On pourra calculer le déterminant de l’opérateur Tu2End(L(G)) défini par Tu:= Pg2Gu(g1)Tg.
Note : on reviendra sur cette question dans le cas de G=S3et d’autres groupes non-abéliens, cf
exo. 130.
On rappelle que la transformée de Fourier de u2L(G)est bu2L(b G)définie par bu()=Pg2Gu(g)(g).
•5) (Les Tgsont des isométries).
i) Montrer que d Tgu()=(g)ˆu()pour toute u2L(G).
ii) Montrer que
||Tg(u)|| =||u||.
•6.a) Etablir la formule d’inversion de Fourier dans ce contexte.
6.b) (principe d’incertitude) Soit u2L(G)non nulle et bu2L(ˆ G)sa transformée de Fourier. Montrer
que
|supp(u)|.|supp(bu)||G|,
où "supp" désigne le support d’une fonction définie sur un ensemble fini, i.e. l’ensemble des points où
elle prend une valeur non-nulle. (Indication : utiliser la formule d’inversion de Fourier).
•7) (convolution) Pour u, v dans L(G)on note u⇤v2L(G)leur convolution définie par
(u⇤v)(g):=X
x2G
u(x)v(x1g).
i) Montrer que g⇤h=gh.En déduire que (L(G),⇤)est isomorphe à (C[G],.)comme C-algèbre.
ii) Montrer que [ u⇤v()=bu()bv().Ainsi, la transformée de Fourier transforme le produit de
convolution en produit usuel.
iii) Pour chaque 2ˆ G, la fonction h:L(G)!C,h
(u)=bu()définit un C-morphisme d’algèbre
d’après ii).Montrer que tous les morphismes d’algèbre sur L(G)sont de cette forme.
iv) Montrer que g⇤u=Tg1(u)et ⇤u=bu().On pourra faire un calcul direct, ou bien calculer
les transformées de Fourier de chaque membre et utiliser ii).
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