La règle et le compas 1 Motivation historique

Éléments de géométrie
Arnaud Bodin, avril 2012
La règle et le compas
1 Motivation historique 1
2 Les nombres constructibles à la règle
et au compas 3
3 Éléments de théorie des corps 8
4 Corps et nombres constructibles 13
5 Applications aux problèmes grecs 15
1 Motivation historique
1.1 La trissection des angles
Considérons un angle α, c’est-à-dire la donnée d’un point et de deux demi-droite issues de
ce points ; nous savons diviser cet angle en deux à l’aide d’une règle (non graduée) et d’un
compas : il suffit de tracer la bissectrice.
P
α
Problème de la trissection : peut-on diviser un angle
en trois angles égaux à l’aide de la règle et du compas ?
1.2 La duplication du cube
Commençons par un problème assez simple : Étant donné un carré, construire (à la règle
et au compas) un carré dont l’aire est le double. Cela revient à savoir tracer un côté de
longueur a√2à partir d’un coté de longueur a. Nous verrons comment faire un peu plus
loin (voir 2.3). a
a
a√2
a√2
1

Posons nous la question dans l’espace : étant donné un cube, peut-on construire un second
cube dont le volume est le double du premier ? Si le premier cube a ses côtés de longueur
aalors le second doit avoir ses côtés de longueur a3
√2. La question se formule alors de la
manière suivante : a
a3
√2
Problème de la duplication du cube : étant donné un
segment de longueur 1, construire à la règle et au compas
un segment de longueur 3
√2?
1.3 La quadrature du cercle
Problème de la quadrature du cercle : étant donné
un cercle, construire à la règle et au compas un carré de
même aire ? r√πr
S=πr2S=πr2
Cela revient à construire un segment de longueur √πà la règle et au compas, à partir d’un
segment de longueur 1.
1.4 Les ensembles
Une dernière motivation concerne les ensembles. Nous avons les inclusions d’ensembles :
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
Le passage d’un ensemble à un ensemble plus grand se justifie par la volonté de résoudre
davantage d’équations :
– passage de NàZpour résoudre des équations du type x+7=0,
– passage de ZàQpour résoudre des équations du type 5x =4,
– passage de QàRpour résoudre des équations du type x2=4,
– passage de RàCpour résoudre des équations du type x2= −1,
Mais en fait le passage de QàRest un saut beaucoup plus «grand» que les autres : Qest
un ensemble dénombrable (il existe une bijection entre Zet Q) alors Rne l’est pas.
Nous allons définir et étudier deux ensembles intermédiaires :
Q⊂CR⊂Q⊂R
où
2

–CRest l’ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas,
–Qest l’ensemble des nombres algébriques : ce sont les réels xqui sont solutions d’une
équation P(x) = 0, pour un polynôme Pà coefficients dans Q.
2 Les nombres constructibles à la règle et au compas
2.1 Nombre constructible
On considère le plan euclidien Pmuni d’un repère orthonormé, que l’on identifiera à R2ou
C. On définit des ensembles de points Ci⊂Ppar récurrence.
O I
–C0={O, I}où O= (0, 0)et I= (1, 0).
– Pour i≥O,Ci+1est l’ensemble des points élémentairement constructibles à partir
de Ci, c’est-à-dire : P∈Ci+1si et seulement si
1. P∈(AB)∩(A0B0)avec A, B, A0, B0∈Ci
2. ou P∈(AB)∩C(A0, A0B0)avec A, B, A0, B0∈Ci
3. ou P∈C(A, AB)∩C(A0, A0B0)avec A, B, A0, B0∈Ci
Il faut comprendre cette construction ainsi : si A, B, A0, B0ont été construit et sont dans
Cialors à partir de ces points on peut tracer plusieurs objets à la règle et au compas :
par exemple la droite (AB)-à l’aide de la règle- ou le cercle de centre A0et d’un rayon de
longueur A0B0en plaçant la pointe du compas en A0avec un écartement faisant passer le
cercle par B0.
Si cette droite (AB)et ce cercle C(A0, A0B0)s’intersectent alors les points d’intersection sont
par définition dans Ci+1.
P
A
B
A0
B0
P
A
B
A0B0
P
A
B
A0B0
[[[Exemples : C0,C1,C2.]]]
3

Définition 1. –C=Si≥0Ciest l’ensemble des points constructibles. Autrement dit
C=C0∪C1∪C2∪. . . de plus P∈Csi et seulement s’il existe i≥0tel que P∈Ci.
–CC⊂Cest l’ensemble des affixes des points constructibles : les nombres complexes
constructibles.
–CR⊂Rest l’ensemble des abscisses des points constructibles : ce sont les nombres
(réels) constructibles.
Par contre on suppose que les objets sont distincts : les droites (AB)et (A0B0)sont distincts,
idem pour deux cercles. D’autre part même si deux points A,Bsont constructibles on peut
tracer la droite (AB), pour autant les points de (AB)ne sont pas tous constructibles.
2.2 Premières constructions géométriques
Les constructions suivantes vont nous être utiles.
– Si A, B sont constructibles alors le symétrique de Bpar rapport à Al’est. Il suffit juste
de tracer la droite (AB)et le cercle de centre Apassant par B. Ils se recoupent en Bet
B0=sA(B).
A
B
B0A
B
B0
A0
J
– Si A, B sont constructibles alors on peut construire deux points de la médiatrice de [AB].
Prendre les intersections A0, B0du cercle centré Apassant par Bavec le cercle centré en
Bpassant par A. Les points A0,B0appartiennent à la médiatrice de [AB]. En particulier
cela permet de construire le milieu Jde [AB], c’est l’intersection des droites (AB)et
(A0B0).
– Si A, B, A0sont trois points constructibles alors on peut construire B0appartenant à la
parallèle à(AB)passant par A0. Tout d’abord construire le milieu Jde [AA0]. Puis con-
struire B0le symétrique de Bpar rapport à J. La figure ABA0B0est un parallèlogramme.
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A
B
B0
A0
J
AB
A0
– Pour construire la perpendiculaire à (AB)passant par A0on construit d’abord deux
points de la médiatrice de [AB], puis un point de la parallèle à cette médiatrice passant
par A0.
– Enfin on peut conserver l’écartement du compas. Si l’on a construit des points A, B, A0
alors on peut placer la pointe en Aavec un écartement de longueur AB. On peut soulever
le compas en gardant l’écartement et tracer le cercle centré en A0et d’écartement AB.
Cette opération se justifie car on pourrait construire B0tel que ABA0B0soit un parallélo-
gramme. [[[dessin]]]
[[[Remarque : construction de (1, 0), passage des abscisses aux ordonnées, passage de CRà
Cpas de problème avec la terminologie.]]]
2.3 Premières constructions algébriques
Proposition 1. Si z, z0∈Csont des nombres complexes constructibles (resp. x, x0sont des
réels constructibles) alors :
1. z+z0est constructible (resp. x+x0),
2. −zest constructible (resp. −x),
3. z·z0est constructible (resp. x·x0),
4. Si z06=0,z/z0est constructible (resp. x/x0, pour x06=0).
Démonstration. 1. La somme de deux nombres complexes z+z0correspond à la con-
struction d’un parallélogramme 0, z, z0, z+z0: les points d’affixes 0,z,z0étant supposés
constructibles on trace la parallèle à la droite (0, z)passant par z0puis la parallèle à
la droite (0, z0)passant par z. Ces deux droites se coupent en z+z0. Autre méthode en
utilisant le report : tracer au compas le cercle de centre zen utilisant un écartement
de longueur |z0|, puis le cercle de centre z0avec un écartement de longueur |z|. Ces
deux cercles se coupent en deux points dont z+z0. La construction pour le réel x+x0
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