Constructions à la règle et au compas - Christian Côté

Constructions à
la règle et
au compas
Christian Côté
Cégep de Terrebonne
1. Quadrature du cercle
Peut-on construire, à la règle et au compas, un carré
ayant la même aire qu’un cercle donné?
r
1. Quadrature du cercle
Peut-on construire, à la règle et au compas, un carré
ayant la même aire qu’un cercle donné?
r 
2. Duplication du cube
Peut-on construire, à la règle et au compas, un cube
ayant le double du volume d’un cube donné?
L
3
2L
Volume =
L3
Volume =
2L3
3. Trisection de l’angle
Peut-on séparer, à l’aide d’une règle et d’un
compas, un angle donné en trois parties égales?
A
C
D
O
B
Angle AOC = Angle COD = Angle DOB
Nous verrons dans cette
conférence que la réponse à
ces trois questions est non.
Qu’est ce qu’une construction à la
règle et au compas?
Voici quelques exemples
de constructions à la
règle et au compas.
Trouver le point milieu d’un segment.
r
r
M
Élever la perpendiculaire à une droite
passant par un point donné.
r
r
Séparer un angle donné en deux parties égales.
r
r
1
=
l’ensemble des nombres que l’on
peut construire à l’aide de la règle,
du compas et du segment
1
Les entiers sont constructibles.
1
2
3
4
…
n
1
Les rationnels sont constructibles.
Soit a, b deux nombres constructibles. Nous
allons montrer qu’il est possible de construire
a/b.
a
x
1
b
On a
x
a
=
1
b
d’où x = a/b.
1
La racine carré d’un nombre constructible
est aussi constructible.
Soit a un nombre constructible.
D
M
B
a
h
C
1
E
1
La racine carré d’un nombre constructible
est aussi constructible.
Soit a un nombre constructible.
D
Les triangles BCD et
CDE sont semblables.
Donc on a
h
h
B
a
C
1
E
1
=
a
h
ou encore h2 = a
c’est-à-dire h =
a
= les nombres constructibles
1
2

1 0, 3
2

 1 5
4


?
1  3  5 
2
3
?
2

1
  1  17  34  2 17  68  12 17  2  1  17
16 


34  2 17  16 34  2 17 


=
Le plus petit corps
contenant et stable
sous la racine carrée
Constructibilité des angles
On dit qu’un angle  est constructible si le
nombre cos() est constructible.
1

cos()
= les nombres constructibles
1
2

1 0, 3
2

 2   1 5
cos

4
 5 


Loin d’être évident.
L’angle 2 5
est constructible.
?
1  3  5 
2
3
?
2

1
  1  17  34  2 17  68  12 17  2  1  17
16 


34  2 17  16 34  2 17 


Reformulation des trois problèmes
1. Il est impossible de construire un carré
ayant la même aire qu’un cercle de
rayon 1;
n’appartient pas à .
2. On ne peut pas construire un cube ayant
un volume de 2 (le double d’un cube
ayant des côtés de longueur 1);
n’appartient pas à .
3. On ne peut pas trisecter l’angle π/3;
cos(π/9) n’appartient pas à .
Maintenant les desserts!!!
Comment faire pour construire un
pentagone régulier?
2π/5
Réponse: Il faudrait pouvoir construire l’angle 2π/5.
Comment faire pour construire un
pentagone régulier?
2π/5
 2   1  5
1
cos

4
 5 
Pour quelles valeurs de n
peut-on construire un n-gone?
Gauss a montré, en 1796, que


 2  1 

cos
    1  17  34  2 17  68  12 17  2  1  17 34  2 17  16 34  2 17 

 17  16 
c’est donc dire que le 17-gone
est constructible.
Théorème
Un n-gone est constructible à
la règle et au compas
si et seulement si
n=2sp1p2…pr
où pi est un nombre
premier de Fermat.
Nombres de Fermat
Fermat croyait que tous les nombres de la
t
2
forme 2 + 1 étaient premiers.
Cet énoncé est vrai pour t=0,1,2,3,4 (3, 5, 17,
257, 65537) mais pour t=5, il est faux.
Euler a trouvé, en 1742, que 641 divise
5
2
2 + 1 = 4 294 967 297 et ce sans calculatrice!
Aujourd’hui, on pense que tous les autres
nombres de Fermat ne sont pas premiers.
3
5
17
257
3
5
15 = 3*5
17
51 = 3* 17
85 = 5*17
255 = 3*5*17
257
65 537
Triangle de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
7
8
2
3
4
5
1
1
3
6
1
4
10 10
1
5
15 20 15
21 35 35 21
1
6
1
7
28 56 70 56 28 8
1
1
Triangle de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
7
8
2
3
4
5
1
1
3
6
1
4
10 10
1
5
15 20 15
21 35 35 21
1
6
1
7
28 56 70 56 28 8
1
1
Triangle de Pascal
1
1
1
1 2
1
x  y 2  x 2  2xy  y 2
3 1
x  y 3  x3  3x2 y  3xy 2  y3 1 3
1
1
1
1
1
8
5
6
7
4
6
4
10 10
1
5
15 20 15
21 35 35 21
1
6
1
7
28 56 70 56 28 8
1
1
Triangle de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
7
8
2
3
4
5
1
1
3
6
1
4
10 10
1
5
15 20 15
21 35 35 21
1
6
1
7
28 56 70 56 28 8
1
1
Triangle de Pascal
1
2
3
5
8
13
21
34
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
7
8
2
3
4
5
1
1
3
6
1
4
10 10
1
5
15 20 15
21 35 35 21
1
6
1
7
28 56 70 56 28 8
1
1
Triangle de Pascal
1
1
1
0
2
1
1
1
1
1
7
1
8
0
5
1
0
6
1
3
1
0
4
1
1
3
5
1
3
1
0
6
1
0
4
10
0
0 10
15
17
1
5
1
1
0 15
15
1 20
21
1 35
1 35
1 21
1
1
0
6
51
85
1
7
1
28
0 56
0 70
0 56
0 28
0 80
1
255
1
257
L’origami à notre secours !
Qu’est ce qu’une
construction à l’origami?
Trisection de l’angle avec l’origami
Duplication du cube avec l’origami
C
B’
CA’
A’D
=
3
2
A’
B
D
A
Il faut d’abord
plierce
la soir
feuille en trois
À faire
Les nombres constructibles
par origami
=
Le plus petit corps
contenant et stable
sous la racine carrée et la
racine cubique
Quadrature du cercle avec l’origami
 n’est pas
constructible par origami.
Théorème
Un n-gone est constructible
par origami si et seulement si
n=2a3bp1p2…pr
où pi est un nombre premier
de la forme1+2c3d.
Le problème de Napoléon
Trouver le centre de ce cercle à
l’aide d’un compas et d’une règle.
Le problème de Napoléon
Trouver le centre de ce cercle à
l’aide d’un compas.
Merci !
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