nombres complexes - IREM de Lorraine

IREM DE LORRAINE
NOMBRES COMPLEXES
Groupe “Liaison Lycée - Université”
30 avril 2009

Introduction
Le présent chapitre présente un caractère bien particulier au sein de l’entreprise que le groupe tente
de mener pour renouveler l’enseignement du premier semestre universitaire. C’est en effet une double
ambition de mise au point qui va préluder à l’orientation de son contenu.
Il avait, d’abord, à l’occasion d’un retour sur les nombres complexes, une occasion rêvée d’asseoir les
bases du calcul, aussi bien numérique que littéral, sans donner le sentiment de se livrer à de fastidieuses
répétitions. Il s’agit bien ici d’asseoir plutôt que de consolider, tant les lacunes que manifestent les étudiants
de première année se révèlent d’insondables gouffres.
Il y avait, ensuite, la possibilité de mettre en place, à peu de frais, un modèle mathématique rigoureux de la
géométrie euclidienne plane, prenant la suite de la présentation sans grande cohérence donnée aujourd’hui
au collège et au lycée, laquelle hésite entre la pertinence d’une approche expérimentale inspirée d’Euclide,
entre l’illusion d’une transposition lointaine du programme d’Erlangen et entre le dogmatisme du recours
aux artefacts logiciels.
Le point de départ du travail du groupe était éminemment modeste. Il s’agissait d’opérer un tri, dans les
listes d’exercices classiquement distribuées sur le sujet, pour clarifier la fonction de chacun. Il en va en
effet rapidement des fiches d’exercices comme des greniers où les objets s’entassent, passant au fil des ans
d’un premier plan à un coin reculé, réapparaissant ou disparaissant définitivement ...
Le tri commençant à se mettre en place, sur la base du déroulement linéaire d’un cours traditionnel, il
est vite apparu que c’étaient aux exercices eux-mêmes qu’il incombait de rythmer les apprentissages, le
cours se limitant alors à un petit résumé introductif ou à des commentaires en conclusion. La stratégie
n’est pas nouvelle, mais son usage est peu répandu à l’université. Les polycopiés de cours et les fiches de
travaux dirigés sont le plus souvent des documents séparés. Quand un lien existe entre eux, c’est toujours
celui de la subordination des exercices aux cours.
Maintenant, à côté des commentaires donnés en conclusion sur un thème, le groupe s’est imposé un travail
de commentaire à propos de chaque exercice. Cela l’a souvent amené à en repenser la formulation en tenant
compte d’obstacles prévisibles. Il va de soi que c’est à la lumière de l’usage, devant les étudiants et sur la
durée, qu’il conviendra d’apporter tous les correctifs nécessaires.
1

Calculs algébriques dans C
Il existe plusieurs façons de construire le corps des nombres complexes. Elles visent toutes à une
extension, la plus petite possible, du corps des nombres réels dans laquelle l’équation
x2=−1
admet au moins une solution i.
Cette équation admet alors exactement deux solutions iet −i, comme le montre la factorisation de
x2+ 1 sous la forme (x+i)(x−i).
Une fois choisi un nombre iparmi ces deux racines carrées de −1, ce corps se laisse décrire comme
l’ensemble des nombres de la forme
a+ib
où aet bsont des nombres réels, avec les règles usuelles de calcul, sachant que l’on peut remplacer i2
par −1.
Par exemple, on a la suite d’égalités
(a+ib)(a−ib) = a2−i2b2=a2+b2.
Ceci montre d’abord que le nombre complexe a+ib est nul si et seulement si a= 0 et b= 0 ; il en
résulte aussitôt que si a,a′,b,b′sont quatre nombres réels, l’égalité
a+ib =a′+ib′
a lieu si et seulement si
a=a′et b=b′.
(On appellera respectivement aet bla partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
z=a+ib).
Ceci montre aussi que, pour deux nombres réels aet b, non tous deux nuls,
(a+ib)−1=a−ib
a2+b2.
Maintenant, substituer −iàidans le nombre complexe z=a+ib a pour effet de le changer en
¯z=a−ib
qui est le nombre complexe conjugué du précédent.
On vérifie que
z+z′=z+z′, z z′=z z′
et pour znon nul
1
z=1 z.
On a également
z=z
et la relation z=za lieu si et seulement si zest réel.
2

Le terme « calculer » est employé plusieurs fois dans l’exercice suivant. Il va sans dire (et tous les étu-
diants le comprennent d’emblée) qu’il s’agit de réduire le nombre complexe à la forme x+iy, dite forme
cartésienne, où xet ysont deux nombres réels.
Exercice 1 :
a) Calculer
i3;i4;i39 ;i−1;i−2009
et, plus généralement, pour tout nombre entier relatif p,
i4p;i4p+1 ;i4p+2 ;i4p+3 .
Commentaires
C’est l’occasion de rappeler les règles de calcul sur les puissances.
Déjà i4peut se calculer de deux manières différentes selon qu’on le voit comme i3×iou comme
(i2)2.
La relation i3×i= 1 fournit de suite i−1=i3=−i, mais on peut aussi, pour obtenir 1
i, multiplier
numérateur et dénominateur par i.
Il est intéressant de demander plusieurs calculs différents pour i−2009.
Par exemple, en faisant intervenir la division euclidienne par 4,
i−2009 =i−1×i−2008
= (−i)×(i4)−502
=−i
ou bien
i−2009 =i×i−2010
=i×(i2)−1005
=i×(−1)−1005
et l’expérience montre qu’il n’est pas inutile de revenir sur le calcul de (−1)noù nest un nombre
entier relatif.
b) Calculer
(1 + i)(−1 + 2i)(4 −3i) ; (3i−5)(1 −i)(5 + 3i).
Commentaires
Comme dans R, le calcul d’un produit de plusieurs termes s’opère de proche en proche, mais le
deuxième exemple est là pour montrer qu’il peut y avoir intérêt à réfléchir à l’ordre des regroupe-
ments.
c) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
Z= (a1+ib1)(a2+ib2)(a3+ib3)
3