nombres complexes - IREM de Lorraine

IREM DE LORRAINE
NOMBRES COMPLEXES
Groupe “Liaison Lycée - Université”
30 avril 2009
Introduction
Le présent chapitre présente un caractère bien particulier au sein de l’entreprise que le groupe tente
de mener pour renouveler l’enseignement du premier semestre universitaire. C’est en effet une double
ambition de mise au point qui va préluder à l’orientation de son contenu.
Il avait, d’abord, à l’occasion d’un retour sur les nombres complexes, une occasion rêvée d’asseoir les
bases du calcul, aussi bien numérique que littéral, sans donner le sentiment de se livrer à de fastidieuses
répétitions. Il s’agit bien ici d’asseoir plutôt que de consolider, tant les lacunes que manifestent les étudiants
de première année se révèlent d’insondables gouffres.
Il y avait, ensuite, la possibilité de mettre en place, à peu de frais, un modèle mathématique rigoureux de la
géométrie euclidienne plane, prenant la suite de la présentation sans grande cohérence donnée aujourd’hui
au collège et au lycée, laquelle hésite entre la pertinence d’une approche expérimentale inspirée d’Euclide,
entre l’illusion d’une transposition lointaine du programme d’Erlangen et entre le dogmatisme du recours
aux artefacts logiciels.
Le point de départ du travail du groupe était éminemment modeste. Il s’agissait d’opérer un tri, dans les
listes d’exercices classiquement distribuées sur le sujet, pour clarifier la fonction de chacun. Il en va en
effet rapidement des fiches d’exercices comme des greniers où les objets s’entassent, passant au fil des ans
d’un premier plan à un coin reculé, réapparaissant ou disparaissant définitivement . . .
Le tri commençant à se mettre en place, sur la base du déroulement linéaire d’un cours traditionnel, il
est vite apparu que c’étaient aux exercices eux-mêmes qu’il incombait de rythmer les apprentissages, le
cours se limitant alors à un petit résumé introductif ou à des commentaires en conclusion. La stratégie
n’est pas nouvelle, mais son usage est peu répandu à l’université. Les polycopiés de cours et les fiches de
travaux dirigés sont le plus souvent des documents séparés. Quand un lien existe entre eux, c’est toujours
celui de la subordination des exercices aux cours.
Maintenant, à côté des commentaires donnés en conclusion sur un thème, le groupe s’est imposé un travail
de commentaire à propos de chaque exercice. Cela l’a souvent amené à en repenser la formulation en tenant
compte d’obstacles prévisibles. Il va de soi que c’est à la lumière de l’usage, devant les étudiants et sur la
durée, qu’il conviendra d’apporter tous les correctifs nécessaires.
1
Calculs algébriques dans C
Il existe plusieurs façons de construire le corps des nombres complexes. Elles visent toutes à une
extension, la plus petite possible, du corps des nombres réels dans laquelle l’équation
x2 = −1
admet au moins une solution i.
Cette équation admet alors exactement deux solutions i et −i, comme le montre la factorisation de
x2 + 1 sous la forme (x + i)(x − i).
Une fois choisi un nombre i parmi ces deux racines carrées de −1, ce corps se laisse décrire comme
l’ensemble des nombres de la forme
a + ib
où a et b sont des nombres réels, avec les règles usuelles de calcul, sachant que l’on peut remplacer i2
par −1.
Par exemple, on a la suite d’égalités
(a + ib)(a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2 .
Ceci montre d’abord que le nombre complexe a + ib est nul si et seulement si a = 0 et b = 0 ; il en
résulte aussitôt que si a, a′ , b, b′ sont quatre nombres réels, l’égalité
a + ib = a′ + ib′
a lieu si et seulement si
a = a′
et b = b′ .
(On appellera respectivement a et b la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
z = a + ib).
Ceci montre aussi que, pour deux nombres réels a et b, non tous deux nuls,
(a + ib)−1 =
a − ib
.
a2 + b2
Maintenant, substituer −i à i dans le nombre complexe z = a + ib a pour effet de le changer en
z̄ = a − ib
qui est le nombre complexe conjugué du précédent.
On vérifie que
z + z′ = z + z′ ,
z z′ = z z′
et pour z non nul
On a également
1
1
= .
z
z
z=z
et la relation z = z a lieu si et seulement si z est réel.
2
Le terme « calculer » est employé plusieurs fois dans l’exercice suivant. Il va sans dire (et tous les étudiants le comprennent d’emblée) qu’il s’agit de réduire le nombre complexe à la forme x + iy, dite forme
cartésienne, où x et y sont deux nombres réels.
Exercice 1 :
a) Calculer
i3
i4
;
i39
;
;
i−1
i−2009
;
et, plus généralement, pour tout nombre entier relatif p,
i4p
;
i4p+1
;
i4p+2
;
i4p+3 .
Commentaires
C’est l’occasion de rappeler les règles de calcul sur les puissances.
Déjà i4 peut se calculer de deux manières différentes selon qu’on le voit comme i3 × i ou comme
(i2 )2 .
La relation i3 × i = 1 fournit de suite i−1 = i3 = −i, mais on peut aussi, pour obtenir 1i , multiplier
numérateur et dénominateur par i.
Il est intéressant de demander plusieurs calculs différents pour i−2009 .
Par exemple, en faisant intervenir la division euclidienne par 4,
i−2009 = i−1 × i−2008
= (−i) × (i4 )−502
= −i
ou bien
i−2009 = i × i−2010
= i × (i2 )−1005
= i × (−1)−1005
et l’expérience montre qu’il n’est pas inutile de revenir sur le calcul de (−1)n où n est un nombre
entier relatif.
b) Calculer
(1 + i)(−1 + 2i)(4 − 3i) ;
(3i − 5)(1 − i)(5 + 3i) .
Commentaires
Comme dans R, le calcul d’un produit de plusieurs termes s’opère de proche en proche, mais le
deuxième exemple est là pour montrer qu’il peut y avoir intérêt à réfléchir à l’ordre des regroupements.
c) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
Z = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 )(a3 + ib3 )
3
où a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 sont des nombres réels.
Commentaires
On observera la petite variation dans la façon de poser la question par rapport à b). On imagine
facilement que, joint à la présence des lettres, elle conduise, pour certains, aux trop belles formules
de commutation abusives
Re Z = a1 a2 a3 ; Im Z = b1 b2 b3 .
Le retour à ce qui a été fait dans le calcul numérique b) devrait permettre de recadrer le travail.
Au moment de la correction, on privilégiera un calcul structuré prévoyant, sur les huit termes
du produit, ceux qui apportent une contribution réelle et ceux qui apportent une contribution
imaginaire.
On pourra tester l’appropriation de cette démarche en étendant la question à un produit de quatre
nombres complexes.
d) On se donne deux nombres réels a et b. Calculer
(a + ib)3 .
Commentaires
Permet d’identifier différentes stratégies de calcul dans la classe.
- utiliser l’identité remarquable sur le carré d’une somme pour calculer (a + bj)2 , puis multiplier le
résultat obtenu par a + bj ;
- utiliser directement l’identité remarquable sur le cube d’une somme, mémorisée ou retrouvée à
partir de la troisième ligne du triangle de Pascal ;
- reconnaître qu’il s’agit d’un cas particulier du calcul mené en c) obtenu en substituant a aux ai
et b aux bi .
e) Calculer
2−i
2+i
1
;
;
.
2+i
3 + 2i
3 − 2i
Plus généralement, calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
Z=
a + ib
c + id
où a, b, c, d, sont des nombres réels donnés, c et d étant non tous deux nuls.
Commentaires
Tous ces calculs sont en général bien acceptés et rappellent à certains les transformations d’expressions contenant des racines carrées pour lever l’indétermination dans les calculs de limites. Il y a
même des chances pour que, tout à la « joie » des calculs, beaucoup passent à côté de la conjugaison
entre le deuxième et le troisième résultat.
f) Calculer
1+i
.
1−i
4
Pour tout nombre entier relatif n, on pose
an =
(1 + i)n
(1 − i)n−1
;
bn =
(1 + i)n
(1 − i)n
+
.
(1 − i)n−1 (1 + i)n−1
Montrer que
an = in−1 (1 + i)
et utiliser a) pour donner, selon les valeurs de l’entier relatif n, la forme cartésienne des
nombres complexes an et bn .
Commentaires
Encore une occasion d’avaliser les commutations valides
- puissance d’un quotient vaut quotient des puissances,
- conjugué d’un quotient vaut quotient des conjugués.
g) Calculer
1 + i + i2 + i3 .
Pour tout entier naturel n, on pose
Sn =
n
X
ik .
k=0
Calculer
S10
;
S21
;
S1515 .
Plus généralement, donner la forme cartésienne de Sn suivant les valeurs de n.
Retrouver les résultats obtenus en simplifiant d’abord
Sn − iSn
puis en utilisant les résultats de la question a).
Commentaires
Les premières questions invitent à mettre en œuvre une sommation par paquets.
La fin est faite pour réactiver l’identité remarquable qui est à la base du calcul de la somme des
termes d’une suite géométrique vu en terminale.
h) Soit a et b deux nombres réels et n un nombre entier relatif. On pose
An = (a + ib)n + (a − ib)n .
Comparer An et Ān . En déduire que An est un nombre réel.
Montrer à l’aide de la formule du binôme que, lorsque n est positif,
X
n
q n−2q 2q
.
An = 2
(−1) a
b
2q
2q≤n
On suppose maintenant que a et b sont non tous deux nuls et que n est négatif. En remarquant
que l’on a alors
5
An =
montrer que
1
1
+
−n
(a + ib)
(a − ib)−n
An =
(a2
A−n
.
+ b2 )−n
Commentaires
On utilise ici la commutation de la conjugaison à la somme et aux puissances.
La formule du binôme est vue en terminale mais peu utilisée. C’est l’occasion de la rappeler, avec la
signification des coefficients binomiaux. Appliquée à (a + ib)n , il faut ensuite comprendre comment
se séparent, dans la somme obtenue, la partie réelle et la partie imaginaire de ce nombre : un travail
semblable a été fait aux questions c) et d).
X
Ici, il faut de plus s’habituer aux conventions d’écriture sur le signe somme :la notation
signifie
2q≤n
que la somme est étendue à tous les entiers naturels q tels que 2q ≤ n.
Toutes les questions de l’exercice suivant reprennent des savoir-faire commentés dans l’exercice 1.
Exercice 2 :
√
1
3
On pose j = − + i
.
2
2
a) Comparer j 2 et j̄. Calculer j 3 et en déduire que j −1 = j 2 . Calculer 1 + j + j 2 .
Commentaires
Le calcul de 1 + j + j 2 est facilité si l’on observe que j + j 2 = 2 Re j.
On exploitera la première égalité de la question b) pour comprendre la raison de la nullité de cette
somme.
b) Soit a un nombre complexe. Montrer que
(a − 1)(a − j)(a − j 2 ) = a3 − 1
(a + 1)(a + j)(a + j 2 ) = a3 + 1 .
c) Soit a et b deux nombres complexes. Montrer, en substituant
lorsque b est non nul, que
a
b
à a dans la formule précédente
a3 + b3 = (a + b)(aj + bj 2 )(aj 2 + bj)
et en déduire la formule
(a + bj + cj 2 )3 + (a + bj 2 + cj)3 = (2a − b − c)(2b − c − a)(2c − a − b) .
6
d) Soit a, b, c trois nombres complexes. On pose
x=a+b+c ;
y = a + bj + cj 2
;
z = a + bj 2 + cj .
Montrer que
x3 + y 3 + z 3 = 3(a3 + b3 + c3 + 6abc) .
Commentaires
Les questions b), c), d) prennent prétexte de j pour retrouver une certaine habilité au calcul littéral,
celle qui faisait partie des ambitions de la classe de quatrième dans le programme de 1938.
On mettra de plus en valeur l’importance de l’action de substitution dans l’économie d’un calcul.
C’est ainsi que
b) substituer −a à a dans la première formule conduit à la deuxième formule, au signe près.
c) Outre la substitution indiquée, substituer a + bj + cj 2 à a et a + bj 2 + cj à b dans la première
égalité conduit à la deuxième égalité, pour peu que l’on tienne compte du fait que 1+j +j 2 = 0.
d) Le seul calcul à faire est celui de (a + b + c)3 . Les autres s’en déduisent par substitution de bj
(resp. bj 2 ) à b et de cj (resp. cj 2 ) à c.
Encore suffit-il de passer en revue la contribution de chaque type de termes, ceux en a3 (resp.
b3 , c3 ) apportent sur x + y + z une contribution de 3(a3 + b3 + c3 ) car j 3 = j 6 = 1 ; ceux en abc,
au nombre de 6 dans x, donnent lieu à 3 × 6abc car j 3 = 1, et ceux en a2 b (resp. a2 c, b2 c,. . . )
conduisent à une somme nulle dans x + y + z car 1 + j + j 2 = 0.
e) Soit p un nombre naturel.
Calculer j 3p .
Développer, à l’aide de la formule du binôme
√ !3p
1
3
− +i
.
2
2
Déduire de ce qui précède que
X
3p
2k
= (−1)p 23p
3p
2k + 1
= 0.
k
(−1) 3
2k≤3p
X
k
(−1) 3
2k+1≤3p
k
k
Vérifier ces formules dans le cas p = 2 en utilisant le triangle de Pascal.
Commentaires
La question e) poursuit l’objectif de familiarisation au calcul de sommes abordé dans l’exercice 1c).
7
Racines carrées d’un nombre complexe. Equation du second degré
Tout nombre complexe non nul z admet deux racines carrées opposées w et −w.
Posant z = α + iβ et w = x + iy (α, β, x, y nombres réels), l’égalité
w2 = z
conduit au système
x2 − y 2 = α
2xy = β
qui admet toujours deux solutions (cf. ex. 3e).
Il en résulte qu’une équation du second degré
az 2 + bz + c = 0
où a, b, c sont trois nombres complexes donnés, avec a 6= 0, admet deux racines distinctes ou une
racine double.
Comme dans le cas réel, en mettant le trinôme sous forme canonique, on obtient pour racines
−b ± δ
2a
où δ est une racine carrée de
∆ = b2 − 4ac .
8
Exercice 3 :
a) Soit z un nombre complexe non nul et u une racine carrée de z. Quelles sont les racines
carrées de z̄ ?, de −z ?
Commentaires
Force la traduction de l’expression « u est une racine carrée de z » en l’égalité
u2 = z .
b) Calculer (1 + i)2 . En déduire les racines carrées de i.
√
1
3
c) On rappelle (cf. ex. 2) que le nombre complexe j := − + i
vérifie les relations
2
2
j3 = 1 ;
1 + j + j2 = 0 .
Calculer j 4 . En déduire les racines carrées de j.
Déterminer les racines carrées de 1 + j.
Commentaires
Les questions b) et c) obligent à tirer parti d’une relation du type
v 2 = λz
où λ est un nombre réel, pour déterminer les racines carrées de z.
√
d) Soit a un√
nombre réel non nul. S’il est positif, sa racine carrée positive est notée a, et donc
l’autre − a.
√
On suppose maintenant que le nombre réel a est négatif. Exprimer, à l’aide du symbole
,
ses deux racines carrées complexes.
Commentaires
√
C’est l’occasion de mettre en évidence le fait que a désigne un unique nombre lorsque a est un
√
nombre réel positif et l’ambiguïté qu’il y aurait à utiliser encore le symbole a dans le cas où a est
un nombre complexe quelconque.
La réponse à la question posée est moins facile qu’il n’y paraît. Elle participe de ce tour de main
déjà travaillé dans l’exercice 1h) consistant à ramener un problème sur les nombres négatifs à un
problème sur les nombres positifs via le changement de variable a′ = −a, explicité ou non (et alors
c’est l’égalité a = −(−a) qui est exploitée).
e) Calculer les racines carrées de 1 + i, de 1 − i.
Plus généralement, exprimer en fonction de a et b les deux racines carrées du nombre complexe z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels et b 6= 0.
9
Commentaires
Bien sûr, rajouter au système
x2 − y 2 = a
l’information
x2 + y 2 =
;
p
2xy = b
a2 + b2
facilite sa résolution. Mais est-il pertinent de l’enseigner ?
Il ne s’agit pas d’un tour de main fondamental comme le précédent.
La réponse est donc non. On se limitera à la stratégie naturellement employée par les étudiants :
b
lorsque b est non nul, remplacer y par 2x
dans la première et résoudre l’équation bicarrée qui en
résulte.
f) Résoudre les équations du second degré
z 2 − 4 = 0 ; z 2 + 9 = 0 ; (3 + i)z 2 + (1 − i)z = 0
z 2 + 2iz − 5 = 0 ; z 2 + (4 − 2i)z − i = 0
z 2 − 2(1 + ia2 )z + 1 − a4 = 0 où a est un nombre complexe donné.
Commentaires
Noter la graduation des équations posées. La quatrième équation fait intervenir une racine carrée
de 1 − i, déjà calculée en e).
10
Géométrie dans C
Les nombres complexes sont susceptibles d’être additionnés entre eux ou d’être multipliés par les
nombres réels, avec des règles de calcul qui sont celles du calcul vectoriel.
De plus, tout nombre complexe s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients réels
des deux nombres 1 et i.
On exprime cela en disant que C est un plan vectoriel réel et, dans la suite, on parlera aussi bien du
vecteur z que du nombre complexe z.
Maintenant, on pourra aussi considérer les nombres complexes comme des points : le vecteur z ′ − z
est le vecteur qui fait passer du point z au point z ′ .
On exprime cela en disant que C est un plan affine réel.
En utilisant les décompositions cartésiennes z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′ , on pose
< z, z ′ >:= Re(z̄z ′ ) = xx′ + yy ′ .
On définit ainsi ce qui va être un produit scalaire√sur le plan.
La norme du nombre complexe z, définie par < z, z >, est appelée module de z et notée |z|.
Constatons que
|z|2 = z̄ z = x2 + y 2 .
On vérifie que, pour deux nombres complexes quelconques,
|zz ′ | = |z| |z ′ | .
En particulier, si le nombre complexe z est non nul,
1
= 1 .
z |z|
On a également l’inégalité triangulaire
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ | .
La distance entre les nombres complexes z et z ′ est donnée par
d(z, z ′ ) = |z ′ − z| .
L’orthogonalité de z et z ′ est donnée par la condition
< z, z ′ >= 0
et on constate que 1 et i sont de norme 1 et orthogonaux, autrement dit, que (1, i) est une base
orthonormée.
On exprime tout ce qui précède en disant que C est un plan affine euclidien, qu’on appelle souvent
plan d’Argand-Cauchy.
Le dessin ci-dessous montre comment on représente le plan d’Argand-Cauchy.
11
axe imaginaire
a + bi
bi
i
axe réel
0
a
1
Voici représentée la somme de deux nombres complexes considérés comme vecteurs, selon la règle
classique du parallélogramme,
>
z + z′
z
i
1
0
z′
1
et voici représentée l’action de translation du vecteur z ′ sur le point z.
1
z
i
1
0
1
12
z′
z + z′
Exercice 4 :
On reprend les notations et les résultats de l’exercice 2a).
a) Calculer le module de j. En déduire une construction géométrique des nombres complexes j
et j 2 sur le graphique ci-dessous.
i
0
1
Comparer les nombres réels suivantes
|j − 1| ;
|j 2 − j| ;
|1 − j 2 | .
Qu’en déduit-on pour le triangle de sommets 1, j et j 2 ?
Vérifier graphiquement que
1 + j + j2 = 0 .
Commentaires
Travail d’interprétation géométrique du module. La construction géométrique demandée exige de
percevoir une intersection de deux lieux.
La comparaison est en général faite par calcul direct des trois nombres ; une transformation des deux
derniers nombres en utilisant la commutation du module au produit (et j 3 = 1) permet de distinguer les étudiants qui commencent à maîtriser toutes les facettes du calcul sur les nombres complexes.
La fin contrôle la pratique géométrique de l’addition des vecteurs.
b) Soit a et b deux nombres réels.
Calculer le module du nombre complexe a + bj.
Vérifier graphiquement la formule obtenue dans le cas où a = 3 et b = −2.
Montrer que le nombre complexe a + bj est nul si et seulement si a et b sont tous deux nuls.
Montrer que si a et b sont tous deux non nuls, on peut trouver deux nombres réels A et B
(que l’on exprimera en fonction de a et b) tels que
(a + bj)−1 = A + Bj .
13
Faire de même pour le produit (α + βj)(α′ + β ′ j) où α, β, α′ , β ′ sont des nombres réels.
Commentaires
La question de la vérification graphique étend l’objectif précédent aux combinaisons linéaires de
vecteurs.
La prégnance de la formule |a + ib| =
temps.
√
a2 + b2 en égare encore un certain nombre dans un premier
La question de la nullité de a + bj trouble, tant est grande l’évidence graphique du résultat.
Il faut encore éviter d’étendre malencontreusement la formule a + bi = a − bi pour le calcul de
(a + bj)−1 .
Exercice 5 :
a) On se donne deux nombres complexes a et u, que l’on a représentés sur le graphique cidessous.
i
a
u
0
1
Représenter les nombres complexes −u, 21 u, 2u, puis l’ensemble de tous les nombres complexes de la forme tu, où t est un nombre réel.
Représenter les nombres complexes a − u, a + 21 u, a + 2u, puis l’ensemble de tous les nombres
complexes de la forme a + tu, où t est un nombre réel.
b) On se donne deux nombres complexes a et b, que l’on a représentés ci-dessous.
14
i
a
0
1
b
Placer sur ce graphique les nombres complexes ta + (1 − t)b pour les valeurs suivantes de t :
−1 ;
1
2
;
2.
Vérifier l’égalité
ta + (1 − t)b = b + t(a − b) .
En déduire la représentation de l’ensemble de tous les nombres complexes de la forme
ta + (1 − t)b, où t est un nombre réel compris entre 0 et 1 (resp. un nombre réel négatif, resp. un nombre réel).
Commentaires
Les questions a) et b) ont pour objet de rendre naturelle la définition d’une droite du plan des
nombres complexes comme partie de la forme a + Ru (u 6= 0) : on s’appuie pour cela sur la visualisation graphique de ces ensembles.
c) On se donne trois nombres complexes a, b, c que l’on a représentés ci-dessous.
a
c
i
0
1
b
Démontrer que le nombre complexe a+b
est sur la droite passant par a et b, et à égale distance
2
a+b
de a et b, autrement dit que 2 est le milieu du segment [ a b ].
15
Vérifier l’égalité
a+b 1
a+b+c
=
+
3
2
3
a+b
c−
.
2
Placer aussi le nombre complexe a+b+c
sur le dessin ci-dessus.
3
Sur quelle droite remarquable du triangle abc se situe-t-il ?
est encore situé sur deux autres
Produire deux autres égalités justifiant que le point a+b+c
3
droites remarquables du triangle abc.
Commentaires
Ce n’est pas une perte de temps que de s’attarder sur l’interprétation géométrique de a+b
2 et de
a+b+c
3 , qui repose sur une transformation de ces expressions, activité algébrique par excellence.
d) On se donne trois nombres complexes a, b, c que l’on a représentés ci-dessous.
i
b
c
0
1
a
Montrer qu’il existe un et un seul triplet (α, β, γ) de nombres complexes tel que

 α + β = 2a
β + γ = 2b
 γ + α = 2c
et représenter ces nombres α, β et γ.
Quel lien y a-t-il entre les triangles abc et αβγ ?
e) Soit a, b, c et d quatre nombres complexes. On cherche tous les quadruplets (α, β, γ, δ) de
nombres complexes tels que


 α + β = 2a

β + γ = 2b
.
γ + δ = 2c


 δ + α = 2d
Montrer que ce système n’a pas de solution si
a − b + c − d 6= 0
16
et que, dans le cas contraire, il en a une infinité.
On suppose que a, b, c, d sont tels que
a−b+c−d =0
et on a représenté ci-dessous les nombres complexes a, b et c.
i
a
c
0
1
b
Représenter le nombre complexe d ainsi que les quatre nombres complexes α, β, γ et δ qui
vérifient le système ci-dessus.
Commentaires
Les questions d) et e) font prendre conscience qu’il n’y a pas de différence technique entre la résolution d’un système linéaire sur R ou sur C.
La réponse à la dernière question de d) s’observe graphiquement. Elle se justifie ensuite en observant
= a, qui traduit le fait que a est le
que la relation α + β = 2a est équivalente à la relation α+β
2
milieu du segment [ α β ].
On pourra alors interpréter le système proposé en e) sous une forme totalement géométrique : un
quadrilatère abcd étant donné, trouver tous les quadrilatères αβγδ dont abcd est le quadrilatère des
milieux.
En traduisant la relation « a est le milieu du segment [ α β ] » en terme dynamique sous la forme « β
est l’image de α par la symétrie centrale de centre a », on remarquera enfin que les systèmes proposés
reviennent à étudier les points fixes de la composée de trois (resp. quatre) symétries centrales.
Exercice 6 :
Soit a un nombre complexe non nul.
A tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z ′ tel que
z′ z .
=
(1)
a
a
17
a) Comment passe-t-on géométriquement de z à z ′ dans le cas particulier où a = 1 ?
Placer z ′ sur le dessin ci-dessous.
z
i
0
1
Quels sont les nombres complexes z tels que z ′ = z ?
Commentaires
Il s’agit de mettre en confiance (l’énoncé est plus abstrait qu’il n’y paraît pour un débutant) et de
provoquer éventuellement une intuition du cas général.
On revient désormais au cas où a est un nombre complexe quelconque, non nul.
b) Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que
z z
=
a
a
et le représenter sur le dessin ci-dessous.
i
a
0
1
En déduire en particulier que si z n’est pas sur la droite (0 a), z ′ est différent de z.
18
Commentaires
Une première difficulté vient de ce qu’il faut traiter comme une entité le rapport az , c’est normalement
préparé par la dernière question de a).
Ensuite il faut arriver à traduire l’information « az est un nombre réel » sous la forme z = λa avec
λ un nombre réel et mobiliser encore des images vectorielles pour reconnaître la droite joignant 0
et a.
La dernière partie de la question est une affaire de logique et prépare la conclusion de la question
suivante.
c) Montrer que pour tout nombre complexe z, on a
|z ′ | = |z| et |z ′ − a| = |z − a| .
En déduire que si z n’est pas sur la droite (0 a), les points 0 et a sont sur la médiatrice du
segment [z z ′ ].
Placer z ′ sur le dessin ci-dessous.
z
i
a
0
1
Commentaires
Pour la première égalité, insister sur les propriétés utilisées. Un bon exercice est de chercher une
version la plus économique possible de la solution. Par exemple :
- prendre le conjugué d’un nombre complexe n’affecte pas son module, donc
′ z z = a
a
- le module d’un quotient est égal au quotient des modules, donc
|z ′ |
|z|
=
|a|
|a|
et le résultat, en multipliant les deux membres de l’égalité par |a|.
Pour la deuxième égalité, il faudra, à un moment ou à un autre, utiliser en plus le fait que la
conjugaison commute aux quotients et aux différences.
19
Enfin, il faut interpréter les égalités obtenues comme des équidistances et mobiliser la propriété
caractéristique de la médiatrice d’un segment . . .
Le dessin demandé prépare évidemment à la question suivante.
d) Déduire de b) et c) la nature géométrique de la transformation de C qui à tout z associe z ′
tel que (1).
Commentaires
Il s’agit de mobiliser la définition du symétrique m′ d’un point m par rapport à une droite d : c’est
m si m est sur la droite, sinon, c’est l’unique point m′ tel que d soit la médiatrice du segment [ m m′ ].
e) Conclure en particulier que, dans C, une symétrie orthogonale par rapport à une droite
passant par l’origine a une formule analytique du type
z ′ = u z̄
où u est un nombre complexe de module 1.
Commentaires
Demande un effort de synthèse qu’il ne faut pas négliger.
f) Donner l’expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à la droite (0 j).
Commentaires
C’est une application numérique, mais qui peut se résoudre de deux façons :
- en s’appuyant sur le résultat d), on écrit directement
z′
z
=
j
j
- en s’appuyant sur le résultat e), on écrit que z ′ est de la forme
z ′ = u z̄
et on traduit que j est fixé par la transformation.
Dans les deux cas, c’est l’occasion de faire des petits calculs autour de j.
L’exercice suivant est l’étude de la réciproque de l’énoncé obtenu à la question e) de l’exercice 6.
Pour beaucoup d’étudiants, et jusqu’au niveau de la préparation au CAPES, la difficulté est de comprendre que, sur le plan logique, cette réciproque n’est pas acquise d’emblée.
Exercice 7 :
Soit u un nombre complexe de module 1.
On considère la transformation de C qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe
z ′ tel que
(1)
z ′ = u z̄ .
20
a) Préciser l’image de 1 par cette transformation.
Commentaires
Question très simple (encore que 1̄ trouble. . . ) mais qui sert de manière décisive dans la question c).
b) Soit α une racine carrée du nombre complexe u.
Montrer que la relation (1) est équivalente à
z′ z .
=
α
α
Déduire alors de l’exercice 6 la nature géométrique de la transformation considérée.
Commentaires
Il faut savoir traduire techniquement la phrase « α est une racine carrée de u » par l’égalité
α2 = u .
Ensuite prendre l’initiative de se servir de l’hypothèse |u| = 1 pour obtenir |α|2 = 1 et donc αᾱ = 1.
Puis passer alors de
z ′ = α2 z̄
à la relation demandée.
Tout cela n’est pas rien . . .
c) Utiliser tout ce qui précède pour placer sur le graphique ci-dessous les deux racines carrées
de u.
u
i
0
1
Commentaires
Ici pas de calcul, mais du raisonnement qui utilise a) et b) pour conclure que α est sur la médiatrice
du segment [ 1 u ] et, bien sûr, sur le cercle unité : deux places possibles, symétriques l’une de l’autre
par rapport à 0, et qui sont donc les racines carrées de u, si l’on a bien compris que tout nombre
complexe non nul admet deux racines carrées, opposées l’une de l’autre.
21
Exercice 8 :
On considère la transformation du plan d’Argand-Cauchy qui au point z associe le point z ′ donné
par
z ′ = iz .
a) Montrer que les vecteurs z = x+iy et z ′ = x′ +iy ′ sont de même longueur et perpendiculaires.
b) Quels sont les points z laissés fixes par cette transformation ? Peut-il s’agir d’une symétrie
axiale ?
c) Montrer que la transformation considérée s’obtient en composant la symétrie qui à z associe
z1 = z
et celle qui à z1 associe
z2 = i z 1 .
d) On choisira d’appeler rotation d’angle droit direct la transformation considérée ici. Il est
cependant souhaitable de vérifier la cohérence avec la terminologie utilisée au lycée.
Dans le cadre des connaissances acquises au lycée, évaluer l’angle (0z, 0z ′ ) en se servant du
√ comme racine carrée de i.
c) et l’exercice 7 pour lequel on a pris i+1
2
Exercice 9 :
Soit u un nombre complexe de module 1. On considère la transformation du plan d’Argand-Cauchy
qui au point z associe le point z ′ donné par
z ′ = uz .
a) Montrer que si w ′ est associé à w par cette même transformation, alors
(1)
w ′ z ′ = wz .
En déduire que la transformation conserve le produit scalaire et en particulier les longueurs.
b) Discuter suivant la valeur de u des points fixes de la transformation. Peut-elle être une symétrie axiale ?
c) Montrer que la transformation considérée s’obtient en composant la symétrie qui à z associe
z1 = z
et celle qui à z1 associe
z2 = u z 1 .
22
d) On choisira d’appeler rotation une telle transformation. De même que dans l’exercice précédent, on va vérifier la cohérence avec la terminologie utilisée au lycée.
Dans le cadre des connaissances acquises au lycée, évaluer l’angle (Oz, Oz ′ ) se servant du c)
et l’exercice 7.
Commentaires
Voir page 24 le développement sur les angles.
Exercice 10 :
(à ignorer dans un premier temps, mais sur lequel on pourra revenir à l’occasion de celui, d’un chapitre
ultérieur, sur les transformations linéaires conservant le produit scalaire) .
a) On considère une transformation du plan d’Argand-Cauchy qui vérifie
(1)
w ′ z ′ = wz .
pour tous z, w, où z ′ , w ′ sont leurs transformés.
Montrer que cette transformation est du type étudié dans l’exercice 9, donc une rotation.
b) Montrer que la transformation du plan d’Argand-Cauchy considérée dans l’exercice 7 vérifie
w ′ z ′ = wz
(2)
pour tous z, w, où z ′ , w ′ sont leurs transformés.
Montrer, inversement, que toute transformation vérifiant (2) est du type étudié dans l’exercice 7, donc une symétrie.
Commentaires
L’exercice 10 est assez trivial mais abstrait, cumulant les deux défauts. Il réalise la synthèse
des exercices 6 à 9, mais on peut aussi l’ignorer. Il n’est pas indispensable à la compréhension
de la suite.
23
Angles
Au lycée on définit une rotation (de centre O) par son angle Pour ne pas s’appuyer sur la géométrie
élémentaire et sur tout ce qu’elle comporte d’implicite, on choisit l’option exactement inverse. Les
rotations (de centre 0) du plan d’Argand-Cauchy sont les transformations introduites à l’exercice 9 ;
elles correspondent aux nombres complexes de module 1.
On notera que la composée, dans un ordre quelconque, de la rotation correspondant à u et de celle
correspond à v est la rotation correspondant au produit u · v .
On va maintenant parler des angles. Dans la présentation proposée ici, on définira, très précisément,
un angle comme une rotation, adoptant, une fois de plus, une démarche exactement inverse de celle
de la géométrie élémentaire.
\
Lorsque z et w sont des nombres complexes non nuls, l’angle (z,
w) entre z et w dans cet ordre est,
z
w
par définition, celui de l’unique rotation transformant |z| en |w| .
Cependant on a l’habitude d’ajouter les angles, alors qu’on compose les rotations et qu’on multiplie des
nombres complexes de module 1. Par respect pour cette habitude et par commodité aussi, on choisira
d’écrire additivement la même opération sur les angles.
Le tableau de conversion ci-dessous résume tout cela. Il faut bien comprendre qu’entre la première et
la seconde colonne il n’y a que des vérifications simples et qu’entre la seconde et la troisième il n’y a
rien de plus qu’un changement de conventions.
nombres de module 1
produit u · v
nombre 1
inverse 1/u
rotations
composée r ◦ s
identité
inverse r −1
angles
somme θ + φ
angle 0
opposé −θ
Bien que les termes de rotation et d’angle soient ici synonymes, on prendra bien soin d’en distinguer
l’usage, car ils renvoient à des images, à des notations opératoires et un vocabulaire différents, sans
oublier le fait que d’autres présentations sont aussi défendables. Aussi lorsque θ est un angle, plutôt
que de parler de la rotation θ, parlera-t-on de la rotation d’angle θ et on dira que θ est son angle.
Les conventions précédentes sont aussi résumées dans la notation
eiθ
pour désigner le nombre complexe de module 1 associé à la rotation d’angle θ. La notation exponentielle
est en effet communément utilisée pour transformer une somme en produit. On a notamment
ei(θ+ψ) = eiθ · eiψ
,
ei0 = 1 ,
On a aussi
eiθ = e−iθ .
24
(eiθ )−1 = e−iθ .
Si z est un nombre complexe non nul, il s’écrit, de façon unique, sous la forme
6
z
iθ
|z
|
ρe
où ρ est un nombre strictement positif. Le nombre ρ est son module et l’angle
θ est son argument noté arg z. On parlera de la forme trigonométrique
de z.
I arg z
0
-
Ainsi, l’argument d’un nombre complexe z non nul est l’angle entre 1 et z,
c’est-à-dire l’angle correspondant à z/|z|. On a évidemment la propriété
arg(z · w) = arg z + arg w
,
arg 1 = 0 ,
arg
1
= − arg z
z
pour des nombres complexes z, w non nuls ; cela résulte de la relation
z·w
z
w
=
·
|z · w|
|z| |w|
et des conventions.
L’argument du nombre −1 est l’angle plat, qui est celui la symétrie centrale ; celui du nombre i en est
une moitié, qui définit l’angle droit direct.
Partant de la définition de eiθ , les lignes trigonométriques des angles sont définies par les formules
cos θ = Re(eiθ ) =
eiθ + e−iθ
2
sin θ = Im(eiθ ) =
eiθ − e−iθ
2i
et
d’Euler, de sorte qu’on a
eiθ = cos θ + i sin θ
et donc la formule
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
de Moivre.
Jusqu’ici les angles sont des objets géométriques, pour lesquels on n’a pas eu besoin de faire appel à
la propriété de complétude du corps des nombres réels. Cette dernière intervient lorsqu’on veut parler
de la mesure des angles, question qui demande des considérations plus savantes pour être traitée de
façon rigoureuse. En attendant on s’en tiendra à des arguments empiriques, comme enrouler la droite
réelle sur le cercle trigonométrique ; on dit qu’on mesure les angles en radians.
La notation eit est encore utilisée quand t n’est plus un angle mais un nombre réel qui le mesure.
Cependant t n’est alors défini qu’à un multiple entier de 2π près.
La mesure des angles est un passage obligé pour résoudre les équations Z n = a et plus généralement
pour démontrer le théorème fondamental de l’algèbre.
25
Exercice 11 :
a) Représenter graphiquement et mettre sous forme cartésienne les nombres compplexes suivants
eiπ/6 , eiπ/4 , eiπ/2 , ei2π/3 , ei3π/4 , ei5π/6 , eiπ , ei2π
√ iπ/4
2e
, 2ei5π/6 , 3e−i3π/4 , −2e−iπ/3 , 2e−iπ .
Commentaires
On s’assure ici que le principe naïf de la mesure des angles est acquis.
La forme cartésienne demandée mobilise la connaissance des lignes trigonométriques remarquables.
1+i
b) Calculer √
.
3+i
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes
1+i ,
√
3 + i et
1+i
√
.
3+i
En déduire la forme cartésienne de eiπ/12 .
Représenter les nombres (eiπ/12 )k , pour k variant de 0 à 32.
Commentaires
• La √
« vision » de 1 + i donne immédiatement son module et son argument. Ce n’est plus le cas
pour 3 + i où il convient de passer par la mise en facteur du module pour reconnaître un argument
remarquable.
...
Encore un changement de stratégie pour la mise sous forme trigonométrique de √1+i
3+i
• La représentation demandée prépare ce qui suit. En particulier elle sensibilise à la périodicité de
la suite des puissances de eiπ/12 .
Montrer que
1+i
√
3+i
1515
=
√
2 iπ/3
e
.
2757
1 + i 1515
.
En déduire la forme cartésienne de √
3+i
1 + i 2008
.
Calculer de même √
3+i 1+i n
Plus généralement, calculer √
en discutant suivant la valeur de l’entier relatif n.
3+i
Commentaires
, mais il y a encore tout
• La première question invite à utiliser la forme trigonométrique de √1+i
3+i
un travail de réécriture à faire, qui demande de maîtriser le calcul sur les puissances et d’avoir en
tête l’égalité (eiπ/12 )24 = 1.
26
• Les calculs demandés à la fin se ramènent à ceux des puissances de eiπ/12 . Ils sont facilités par la
représentation géométrique de ces nombres, obtenue précédemment.
c) Soit n un nombre entier relatif.
√
Déterminer pour quelles valeurs de n, le nombre complexe ( 3 − i)n est réel.
Commentaires
La question n’a d’autre but que de tester si tout ce qui précède a eu un effet d’apprentissage.
Exercice 12 :
a) En calculant de deux façons différentes (eiθ )3 , donner l’expression de cos 3θ en fonction de
cos θ et celle de sin 3θ en fonction de sin θ.
Calculer de même sin 5θ en fonction de sin θ.
b) En se servant des formules d’Euler, trouver des constantes A et B telles que
cos3 θ = A cos 3θ + B cos θ .
Trouver de même trois constantes A, B et C telles que
sin4 θ = A cos 4θ + B cos 2θ + C .
Commentaires
On remarquera que les questions posées portent sur les angles et ne nécessitent pas de faire intervenir
leurs mesures. Mais ceci est sans doute trop subtil pour des étudiants sortant de terminale et c’est
volontairement que l’on n’a pas spécifié le statut de θ
27
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Soit n un nombre entier naturel non nul. Dans C, l’équation
zn = 1
admet n racines distinctes
1 , α = ei2π/n , α2 , . . . , αn−1
appelées racines n-ièmes de l’unité.
Les racines n-ièmes de l’unité sont représentées par les sommets d’un polygone régulier à n côtés.
Voici par exemple la représentation des racines cinquièmes de l’unité.
ei2π/5
ei4π/5
0
1
ei6π/5
ei8π/5
Plus généralement, si a est un nombre complexe non nul, l’équation
zn = a
admet n racines distinctes, appelées racines n-ièmes de a.
Elles s’obtiennent toutes en multipliant l’une d’entre elles par les n racines n-ièmes de l’unité.
Si l’écriture trigonométrique de a est ρeit , une racine n-ième de a est
28
√
n ρ eit/n .
Exercice 13 :
a) Représenter les solutions des équations suivantes
z3
z4
z5
z6
=1
=1
=1
=1
z3
z4
z5
z6
= −1
= −1
√
= 16 − 16i 3
= −i
z 3 = −i
z4 = i
Commentaires
Le but recherché est le renforcement de l’image mentale des racines n-ièmes de l’unité et la
compréhension du lien entre celles-ci et les racines de l’équation z n = a, via l’obtention d’une
solution particulière de cette équation.
b) Résoudre dans C l’équation
et en représenter les solutions.
z 8 − 15z 4 − 15 = 0
Commentaires
Une façon classique de faire un retour sur les équations de degré 2. On remarquera que
l’équation proposée admet 8 solutions dans C, autant que son degré. . . , alors qu’elle n’en
admet que 2 dans R.
c) Montrer que si α est une racine n-ième de l’unité distincte de 1, on a
n−1
X
αk = 0 .
k=0
d) Soit m un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel non nul. Montrer que la somme
des puissances m-ièmes des n racines n-ièmes de l’unité est égale à 0 ou à n suivant que m
est ou n’est pas multiple de n.
Commentaires
c) et d) réactivent la somme des termes d’une suite géométrique. La question d) demande
en effet l’écriture en langage mathématique et joue sur l’égalité suivante
(αk )m = (αm )k
utilisée, tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre (pour k = n).
29
Commentaires généraux
1) Le lecteur trouvera dans le chapitre, ainsi présenté, sur les nombres complexes une construction du
modèle de la géométrie euclidienne.
Historiquement la géométrie a été construite par Euclide à partir de l’expérience physique des corps solides. Des notions et des propriétés ont été peu à peu dégagées, permettant d’installer la démarche, dite
hypothético-déductive, qui caractérise la science. Cependant beaucoup d’objets et de propriétés restent
implicites. On ne définit pas ce qu’est une droite : c’est peu à peu, par sa manipulation que le concept se
précise.
Il arrive un moment où il faut partir d’hypothèses explicites pour vérifier la cohérence globale du propos.
Quelles sont les options qui s’offrent pour l’enseignement universitaire à ce sujet ? Les axiomatiques à la
Hilbert sont bien trop lourdes, et éloignées du corpus mathématique de base. Celle de Choquet est trop
astucieuse. Le plus raisonnable est de suivre la démarche du livre de géométrie élémentaire de Dieudonné,
qui fait découler cette dernière de l’algèbre linéaire.
Cependant partir des nombres complexes plutôt que des vecteurs de R2 est nettement plus simple. Les
similitudes sont par exemple déjà là, alors que, dans l’espace euclidien R2 il faut les caractériser par leur
matrice. Le groupe des similitudes est évidemment commutatif dans C ; c’est une petite vérification dans
R2 . Les transformations conservant le produit hermitien se caractérisent trivialement ; pour celles qui
conservent le produit scalaire, mieux vaut les supposer déjà linéaires. etc.
Cela étant, on a tenu à vérifier, à chaque étape, que le modèle obtenu était conforme à la géométrie
heuristique. On l’a fait en invoquant, en parallèle, cette dernière pour justifier le vocabulaire employé.
2) Il y a une petite difficulté avec le corps des nombres complexes. Si on le voit comme une clôture quadratique du corps des nombres réels, il n’est pas unique à isomorphisme unique près. En effet le choix de
l’une des racines carrées de −1 importe.
Chaque fois qu’on construit un modèle du corps des nombres complexes, il lui correspond, sans avoir de
choix à faire, une géométrie et en particulier un groupe des angles.
Cependant les choses se compliquent quand on veut passer d’un modèle à l’autre : il y a deux façons de
le faire.
Pour cette raison, dans le corps des nombres complexes que nous considèrerons, on aura toujours fait le
choix d’une racine carrée de −1. On passe d’un modèle à l’autre de façon unique, en passant de x + iy à
x − iy tout simplement. Ce corps sera orienté par la base (1, i).
3) Si on se donne un plan euclidien P dans lequel on a choisi une base orthonormée, plutôt que d’y
considérer des coordonnées réelles, une abscisse x et une ordonnée y, on peut avoir avantage à considérer
une coordonnée complexe z = x + iy qu’on appelle couramment affixe.
Si notre plan est un plan affine euclidien P , cela veut dire qu’on a un isomorphisme du plan affine euclidien
C sur P ; il n’y a aucun problème.
En attendant nous pouvons considérer un plan de la géométrie heuristique. Les vérifications de compati30
bilité que nous nous sommes imposés permettent de se servir des calculs sur les nombres complexes pour
y faire de la géométrie.
De la même façon que pour le corps C, tout plan affine euclidien possède un groupe des angles. Cependant on ne peut pas identifier complètement ceux de l’un à ceux de l’autre. Il y a toujours la question de
l’orientation à gérer.
4) Un petit détail pour terminer. L’usage moderne a répandu la théorie des ensembles dans les mathématiques. En principe tout objet mathématique est un ensemble et deux ensembles sont égaux s’ils sont
identiques.
Cependant l’usage ne respecte pas toujours ses propres dogmes. Il est même rare qu’un objet mathématique corresponde à un ensemble précis : quel ensemble est donc le nombre 2, la fraction 2/3, le nombre
réel π ? C’est une question qu’on ne se pose pas.
Quand on construit un nouveau corps par exemple, que ce soit Q ou C, on fait souvent un choix : une
fraction est une classe de couples, un nombre complexe est un couple ou une classe de polynômes etc.
Cependant on se garde bien de conserver la mémoire de ce choix, car d’autres auraient été possibles. Ce
sont les propriétés qui comptent. Ainsi ne retiendra-t-on jamais que i est le couple (0, 1) même s’il a fallu
l’écrire momentanément.
Ainsi n’y a-t-il pas que les abus de langage qui font que des objets différents sont écrits et appelés de la
même façon : le nombre complexe a et le polynôme constant a par exemple. Il est également fréquent de
considérer différemment des objets qu’on a introduits comme étant les mêmes.
Bref la théorie des ensembles est une référence . . . à laquelle on se réfère de temps en temps.
31