Nombres premiers Exercice 1. pgcd × ppcm Exercice 2. pgcd

#23
Nombres premiers
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Exercice 1.
pgcd
×
ppcm
Exercice 2.
pgcd
×
ppcm
Soient a, b, c ∈ N∗ . Quand a-t-on pgcd(a, b, c) × ppcm(a, b, c) = abc ?
Soient a1 , . . . , an ∈ N∗ et bi =
Q
aj .
j6=i
Montrer que : pgcd(a1 , . . . , an ) × ppcm(b1 , . . . , bn ) = ppcm(a1 , . . . , an ) × pgcd(b1 , . . . , bn ) =
Exercice 3. ab
Q
ai .
est un carré parfait
Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux tels que ab est un carré parfait. Montrer que a et b sont des carrés
parfaits.
Exercice 4. an = bm
Soient a, b ∈ N∗ et m, n premiers entre eux tels que an = bm . Montrer qu'il existe c ∈ N∗ tel que
a = cm et b = cn .
Exercice 5.
n
Valuation 2-adique de
52 − 1
Montrer que la plus grande puissance de 2 divisant 5(2 ) − 1 est 2n+2 .
Exercice 6. ar − 1
n
premier ?
On suppose que ar − 1 est un nombre premier. Montrez que r est premier, puis que a vaut 2. Réciproque ?
Exercice 7.
Nombres de Mersenne
On note Mn = 2n − 1 (n-ième nombre de Mersenne).
1) Montrer que : Mn est premier ⇒ n est premier.
2) Vérier que M11 n'est pas premier.
Exercice 8. an + 1
est premier
Soient a, n ∈ N tels que a ≥ 2, n ≥ 1, et an + 1 est premier. Montrer que n est une puissance de 2.
Exercice 9.
Nombre de diviseurs d'un nombre entier
Pour n ∈ N∗ , on note dn le nombre de diviseurs positifs de n.
1) Montrer que si n = ab avec a ∧ b = 1, alors dn = da db .
2) Montrer que n est un carré parfait si et seulement si dn est impair.
Q
√ d
3) Montrer que :
d = n n.
d|n
Exercice 10.
Nombres premiers congrus à 3 modulo 4
Exercice 11.
Nombres premiers congrus à 1 modulo 4
Exercice 12.
Intervalle sans nombres premiers
Montrer qu'il y a une innité de nombres premiers p tels que p ≡ −1 [4].
On rappelle que si p est premier et n ∧ p = 1, alors np−1 ≡ 1 [p].
1) Soit n ∈ N et p ≥ 3 un diviseur premier de n2 + 1. Montrer que p ≡ 1 [4].
2) En déduire qu'il y a une innité de nombres premiers de la forme 4k + 1.
14 septembre 2015
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Thierry Sageaux
Nombres premiers
Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.
Exercice 13.
Factorisation de
1000!
Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant 1000 ! ?
Exercice 14. 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n
n'est pas entier
1
1
1
p
Soit n ∈ N, n ≥ 2. Montrer que xn = 1 + + + · · · + est de la forme : n avec pn , qn ∈ N∗ et
2 3
n
2qn
pn impair.
Exercice 15.
(Olympiades 2014)
Exercice 16.
(CG1991 - Ex 4)
On dit qu'un nombre entier naturel n est abondant si la somme de tous les diviseurs est supérieure
ou égale à 2n. Lorsque cette somme est strictement inférieure à 2n, on dit que n est décient.
On dit qu'un entier naturel n est sphénique s'il est produit de trois nombres premiers diérents.
1) 2014 est-il sphénique ? abondant ?
2) Montrer que 1309, 1310 et 1311 sont sphéniques.
3) Montrer qu'il ne peut pas exister quatre nombres sphéniques consécutifs.
4) Combien y a-t-il de diviseurs à un nombre sphénique ?
5) Montrer que n = pqr est abondant si et seulement si (1 + p1 )(1 + 1q )(1 + 1r ) > 2.
6) Montrer que si p ≥ 3, alors n est décient.
7) Déterminer tous les nombres sphéniques abondants.
Soit p un nombre entier naturel et n = 2p . On considère les parties A de l'ensemble [[1, n]] possédant
la propriété suivante : si x ∈ a, alors 2x ∈/ A.
Déterminer le nombre maximal d'éléments de A.
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Thierry Sageaux
Nombres premiers
Solutions des exercices
Exercice 1.
a, b, c 2 à 2 premiers entre eux.
Exercice 2.
Décomposer en facteurs premiers.
Exercice 5.
Récurrence.
Exercice 6.
On suppose a, r entiers supérieurs ou égaux à 2.
a − 1 | ar − 1 donc a = 2. Si r = pq alors 2p − 1 | 2r − 1 donc r est premier.
La réciproque est fausse, 211 − 1 = 23 × 89.
Exercice 7.
2) M11 = 23 × 89.
Exercice 11.
1) (−1)(p−1)/2 ≡ 1 [p].
Exercice 13.
498.
Exercice 14.
Hn ⇒ H2n ⇒ H2n+1 .
Exercice 15.
1) 2014 = 2 × 19 × 53 et la somme des diviseurs est 3233. Ce nombre est donc sphénique
2) 1309 = 7 × 11 × 17, 1310 = 2 × 5 × 131 et 1309 = 3 × 19 × 23.
3) L'un d'eux est divisible par 4 = 22 .
4) Si n = pqr , il y en a huit : {1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr}.
5) On utilise la somme des diviseurs qui est (1 + p)(1 + q)(1 + r).
64
< 2.
6) On a 1 + p1 ≤ 43 , 1 + 1q ≤ 56 et 1 + 1r ≤ 87 . Et (1 + p1 )(1 + 1q )(1 + 1r ) ≤ 35
7) Si p = 2, alors on trouve que q > 5 ne peut pas être solution.
et décient.
Donc q = 3 et r est quelconque.
Si q = 5, on trouve r = 7.
Les nombres sphéniques abondants sont donc {2 × 3 × r, 2 × 5 × 7}.
Exercice 16.
On utilise dans un premier temps un crible type Eratosthène pour trouer un ensemble convenable :
N1 = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, etc}. On remarque qu'il s'agit des nombres qui ont une valuation
2-adique paire.
On fait l'intersection [[1, n]] ∩ N1 . Cet ensemble n'est pas nécessairement celui qui est maximal pour le
nombre d'éléments. En eet, pour n = 4, on trouve {1, 3, 4, 5, 7}, mais aussi {1, 5, 6, 7, 8}.
Vérions que le nombre d'éléments ne peut cependant pas être plus grand : Soit A une partie satisfaisant la condition et telle qu'il existe x ∈ A\N1 . On remplace x par x2 et ainsi de suite jusqu'à ne plus
pouvoir le faire. On obtient alors [[1, n]] ∩ N1 qui a bien le même nombre d'éléments.
Les éléments de A = [[1, n]] ∩ N1 sont de la forme 22k × (2l + 1). Jusqu'à 2p , il y en a xp = 2p−1 +
p−3
2
+ · · · + 1.
2p+1 + 1
2p+1 − 1
Si p est pair, on a 4xp = xp + 1 + 2p+1 ⇔ xp =
. Et si p est impair, xp =
.
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Thierry Sageaux