DIVISEURS, MULTIPLES, PGCD 1) Diviseurs d`un entier a et k sont

DIVISEURS, MULTIPLES, PGCD
1) Diviseurs d'un entier
a
est un entier naturel, k est un diviseur de a.
k
On dit aussi que a est un multiple de k ou encore que a est divisible par k.
a et k sont deux entiers naturels tels que k ≠ 0 . Lorsque
Exemple : 18 est un multiple de 6, 18 est divisible par 6 et 6 est un diviseur de 18.
Rappel : Un nombre est divisible par 3 (ou par 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou par 9).
2) Entiers premiers entre eux
Si deux entiers naturels ont pour seul diviseur commun 1, on dit qu'ils sont premiers entre eux.
Exemples :
• 12 et 7 ont pour seul diviseur commun 1, ils sont premiers entre eux.
• 42 et 35 sont divisibles par 7, en effet 42 = 7 × 6 et 35 = 7 × 5.
Les nombres entiers 42 et 35 ne sont pas premiers entre eux.
3) PGCD
PGCD(a ; b) désigne le plus grand diviseur commun aux nombres a et b.
a) Méthode par soustractions successives
On prend les deux nombres et on les soustrait. On prend les deux plus petits et on recommence.
On s'arrête lorsqu'on obtient zéro. Le PGCD est l’avant-dernier résultat.
Exemple : cherchons PGCD(261 ; 203)
2 0 3
2 6 1
1 4 5
8 7
5 8
2 9
5 8 - 2 0 3 5 8 - 5 8 - 2 9 – 2 9
1 4 5
5 8
8 7
2 9
2 9
0
PGCD (261 ; 203) = 29.
b) Méthode de la division dite de l'algorithme d'Euclide
On divise le plus grand nombre par le plus petit. On prend le diviseur et le reste de la division précédente,
puis on recommence. On s'arrête lorsque le reste est nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple : cherchons PGCD(261 ; 203)
2 6 1
- 2 0 3
5 8
2 0 3
1
2 0 3
- 1 7 4
2 9
5 8
3
5 8
- 5 8
0
2 9
2
PGCD (261 ; 203) = 29.
c) Utilisation du PGCD
Pour rendre une fraction irréductible, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD.
261 29×9 9
=
= FI
On calcule le PGCD de 261 et 203 comme précédemment et on écrit
203 29×7 7
• Si le PGCD du numérateur et du dénominateur d’une fraction est égale à 1, alors cette fraction est
irréductible.
•
•
Si PGCD(a ; b) = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
•
Problème : Pierre a gagné 261 sucettes et 207 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très
peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le
même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
1) Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces
personnes) ? On calcule le PGCD de 261 et 203 comme précédemment et on trouve :
PGCD(261 ; 203) = 29 donc 29 personnes pourront bénéficier de ces friandises.
2) Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
261 = 29×9 et 203 = 29×7
Donc chaque personne aura 9 sucettes et 7 bonbons.