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MPSI B
21 janvier 2017
Énoncé
On se propose de montrer que A est semblable à
On pose

0 α
N = 0 0
0 0
Dans tout le problème 1 , E est un R-espace vectoriel de dimension 3.
On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matrices A et B de M3 (R), on dira que la matrice A est semblable à la matrice
B s'il existe une matrice P ∈ GL3 (R) telle que
et soit P ∈ GL3 (R) telle que
B = P −1 AP
On notera A ∼ B lorsque la matrice A est semblable à la matrice B .
L'objet de ce problème est d'étudier des exemples de matrices semblables à leur inverse.

β
γ 
0
P −1 AP = T = I3 + N
1. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.
2. Calculer N 3 et montrer que
Partie A
P −1 A−1 P = I3 − N + N 2
1. Montrer que la relation ∼ est une relation d'équivalence sur M3 (R).
2. Montrer que deux matrices de déterminants diérents ne sont pas semblables.
3. Soit u un endomorphisme de E et i, j deux entiers naturels. On considère l'application
w de ker ui+j vers E dénie par :
3. On suppose dans cette question que N = 0. Montrer alors que les matrices A et A−1
sont semblables.
4. On suppose dans cette question que rg(N ) = 2. On pose M = N 2 − N .
a. Montrer que la matrice N est semblable à

0 1
 0 0
0 0
w(x) = uj (x)
a. Montrer que Im w ⊂ ker ui .
b. En déduire que
dim(ker ui+j ) ≤ dim(ker ui ) + dim(ker uj )
b. Calculer M 3 et déterminer rg(M ).
4. Soit u un endomorphisme de E vériant u = 0 et rg u = 2.
a. Montrer que dim(ker u2 ) = 2.
b. Montrer qu'il existe un vecteur a tel que u3 (a) 6= 0 et que la famille (u2 (a), u(a), a)
est alors une base de E .
c. Écrire la matrice U de u et la matrice V de v = u2 − u dans cette base.
c. Montrer que les matrices M et N sont semblables.
d. Montrer que les matrices A et A−1 sont semblables.
5. On suppose dans cette question que rg(N ) = 1. On pose M = N 2 − N . Montrer que
les matrices A et A−1 sont semblables.
6. Exemple. Soit la matrice
Partie B
Dans la suite de ce problème, la matrice A de
type

1 α
T = 0 1
0 0

1
A= 0
0
M3 (R) est semblable à une matrice du

β
γ 
1
0
0
1

0
−1 
2
On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans cette
base.
a. Montrer que ker(u − IdE ) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont
on donnera une base (e1 , e2 ).
Mines Albi,Alès,... 2002 MPSI
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
la matrice

0
1 
0
et en déduire une matrice semblable à la matrice M .
3
1 d'après
son inverse A−1 .
1
Rémy Nicolai Aalglin12
MPSI B
21 janvier 2017
Corrigé
b. Justier que la famille (e1 , e2 , c) est une base de E et écrire la matrice de u dans
cette base.
Partie A
c. Montrer que les matrices A et A−1 sont semblables.
d. Réciproquement, soit

1
T = 0
0
α
1
0
1. Pour montrer que ∼ est une relation d'équivalence, on doit montrer que la relation est
réexive, symétrique est transitive.
Réexive. A ∼ A car on peut choisir P = I (matrice unité).
Symétrique. Si ∼ B , il existe P inversible telle que

β
γ 
1
B = P −1 AP ⇒ A = Q−1 BQ
Toute matrice de M3 (R) semblable à son inverse est-elle semblable à une matrice
de la forme T ?
avec Q = P −1 inversible donc B ∼ A.
Transitive. Si A ∼ B et B ∼ C , il existe des matrices inversibles P et Q telles que
)
B =P −1 AP
⇒ C = (Q)−1 (P )−1 A(P Q) = (P Q)−1 A(P Q)
C =Q−1 BQ
donc C ∼ A car P Q est inversible.
2. Il s'agit en fait de montrer que deux matrices semblables ont le même déterminant.
Cela résulte de ce que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants.
B = P −1 AP ⇒ det(B) = det(P −1 AP ) = det(P −1 ) det(A) det(P )
= det(A) det(P ) det(P −1 ) = det(A) det(P P −1 ) = det(A)
3.
a. Si x ∈ Im w, il existe y ∈ ker(ui+j ) tel que
x = w(y) = uj (y) ⇒ ui (x) = ui+j (y) = 0E
donc x ∈ ker ui . Ceci prouve
Im w ⊂ ker ui
b. Appliquons à w le théorème du rang :
dim(ker ui+j ) = dim(ker w) + dim(Im w)
avec
ker w = ker ui+j ∩ ker uj = ker uj
et Im w ⊂ ker ui . On en déduit
dim(ker ui+j )‘ dim(ker ui ) + dim(ker uj )
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2
Rémy Nicolai Aalglin12
MPSI B
4.
21 janvier 2017
a. Soit u un endomorphisme de rang 2 tel que u3 = O. Comme la dimension de E
est 3, son noyau est de dimension 1. D'après l'inégalité de la question précédente
dim(ker u2 ) ≤
3 = dim(ker u3 ) ≤
4.
2 dim(ker u) = 2
dim(ker u2 ) + dim(ker u) ≤ dim(ker u2 ) + 1
On en déduit les ideux inégalités prouvant dim(ker u2 ) = 2.
donc M est semblable

0
− 0
0
b. Comme dim(ker u2 ) = 2, l'endomorphisme u2 n'est pas identiquement nul. Il
existe donc un vecteur a tel que u2 (a) 6= 0E . À fortiori u(a) et a sont non nuls.
Pour montrer que la famille (u2 (a), u(a), a) est une base, il sut de prouver qu'elle
est libre.
On considère une combinaison nulle et on compose par u2 . On en déduit la nullité
du coecient de a. En composant ensuite par u on obtient la nullité du coecient
de u(a). Il ne reste plus qu'un coecient qui est forcément nul.
1. Deux matrices semblables ont le même déterminant donc det A = det T = 1 car T est
triangulaire avec des 1 sur la diagonale. Les deux matrices sont donc inversibles.
 
0
0
1 + 0
0
0
0
0
0
 
1
0
0 = 0
0
0
−1
0
0

1
−1
0
de M est clairement 2.
1
0
0
 
0
0
1 , 0
0
0
−1
0
0

1
−1
0
A−1 ∼ (I + N )−1 = I − N + N 2 = I + M ∼ A
2. Le calcul montre que N 3 est la matrice nulle. On en déduit que
5. On a ici rg(A) = 1 et M = N 2 − N . Notons n l'endomorphisme dont la matrice dans
la base canonique est N . Comme il est de rang 1 avec n3 = 0 (immédiat à vérier) son
noyau est de dimension 2 avec


 Im n ⊂ ker n
ou


Im n et ker n supplémentaires
3
(I3 + N )(I3 − N + N ) = I3 − N = I3
Les deux matrices sont donc inversibles et inverses l'une de l'autre. On en déduit
(P −1 AP )−1 = I3 − N + N 2
(P −1 AP )−1 = P −1 A−1 P
La deuxième proposition est incompatible avec le caractère nilpotent. Il existerait en
eet un vecteur a non nul tel que n(a) = λa (l'image est une droite stable) avec λ non
nul (l'intersection noyau -image est réduite au vecteur nul). Mais alors
3. Dans cette question N = 0, donc A est semblable à I . Comme I commute avec P , A
est égal à I . Les matrices A et A−1 sont donc plus que semblables, elles sont égales et
égales à I .
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
0
0
sont-elles semblables ?
Car on peut appliquer à l'endomorphisme représenté par M et par la deuxième
matrice la question 4.b. de la partie A. (il est de rang 2 et sa puissance d'ordre 3
est nulle, il existe alors une "bonne base")
d. Si M et N sont semblables, alors I + M et I + N sont aussi semblables. Or
A ∼ I + N et
Partie B
avec
à
b. Par le calcul, M 3 = 0, le rang
c. Pourquoi les matrices

0
0
0
c. Pour v = u2 − u, on désigne par U la matrice de u et par V celle de v dans la
base (u2 (a), u(a), a). On obtient :






0 −1 1
0 0 1
0 1 0
U = 0 0 1 , U 2 = 0 0 0 , V = 0 0 −1
0 0
0
0 0 0
0 0 0
2
a. On a ici rg(A) = 2 et M = N 2 − N . Comme N 3 = 0, on peut appliquer la
question 4. de la partie A. Il existe une "bonne base" dans laquelle la matrice de
l'endomorphisme représenté par N est


0 1 0
0 0 1
0 0 0
n3 (a) = λ3 a 6= 0
3
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On doit donc avoir
c. Les matrices A et A−1 sont semblables car on se trouve dans le cas de la question
5 avec A semblable à une matrice I + N avec N de rang 1.
Im n ⊂ ker n
Considérons alors une base (a, b, c) avec
matrice de n dans une telle base est

0
0
0
d. Toute matrice semblable à son
La réponse est non. Exemple :

1
A = 0
0

1
A−1 = 0
0
(c) base de Im n et (a, b) base de ker n. La
0
0
0

1
0
0
On en déduit N = 0, M = −N . De plus on a alors :
2
2
−1
(I + N )
=I −N
Donc
0
2
0

0
0  = Mat u
0

0
0 = Mat u−1 = Mat u
(a,b,c)
(a,c,b)
2
1
2
0
1
2
(a,b,c)
La matrice A est bien semblable à son inverse.
Pourquoi n'est-elle pas semblable à une matrice de la forme T ?
Car deux matrices semblables ont la même trace alors que
A−1 ∼ I − N
A∼I +N
inverse est-elle de la forme T ?
Pourquoi les deux matrices I + N et I − N sont-elles semblables ?
Car, si N est la matrice de n dans (a, b, c), alors −N est la matrice de n dans (−a, b, c).
Ceci prouve encore que
A ∼ A−1
tr A = 1 + 2 +
1
6= tr T = 3
2
.
6.
a. On forme la matrice de u − IdE dans la base (a, b, c) de l'énoncé.


0 0
0
A = 0 −1 −1
0 1
1
Son rang est 1 donc dim(ker(u − IdE )) = 2.
On lit facilement sur la matrice que
(e1 , e2 ) = (a, b − c)
est une base de ker(u − IdE ) et que (b − c) est une base de Im(u − IdE ).
b. La famille (a, b − c, c) est une base car elle contient trois vecteurs et engendre E .
En eet les vecteurs de (a, b, c) s'expriment en fonction de (a, b − c, c).
a = a,
b = (b − c) + c,
c=c
De plus u(c) = −b + 2c = −(b − c) + c. La matrice de u dans (a, b − c, c) est donc


1 0 0
0 1 −1
0 0 1
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