"Logique et théorie axiomatiques". JL Krivine

Logique et Théorie Axiomatiques
J.L. Krivine

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années 1970, et distribué sous sa forme originale jusqu’à très récemment.
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EX en août 2004 par Raphaël Giromini.
Compléments et corrections (de la copie) des chapitres 1 à 5, par Jean-Louis Krivine, Yves Legrand-
gérard, Paul Rozière.
Ne pas diffuser les chapitres 6 à 8, qui ne sont corrigés que partiellement.
État :
chap 6 : première relecture (superficielle sur les algèbres de Boole)
chap 7 : passage au correcteur orthographique (uniquement lexical)
chap 8 : passage du correcteur orthographique (uniquement lexical)
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Table des matières
I Éléments de Théorie des Ensembles. 5
1 Théorie intuitive des ensembles 7
1.1 Axiomes de Zermelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Quelques notions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Couple ordonné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ensemble produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Relations binaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Applications composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.6 Familles d’ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Entiers Naturels. 13
2.1 Définition des entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Relation d’ordre sur les entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Fonction sur les entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 L’addition des entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Le produit de deux entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Exponentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Ensembles finis et dénombrables. 19
3.1 Ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Équipotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Ensembles dénombrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Comparaison des ensembles infinis 23
4.1 Axiome du choix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Ensembles non dénombrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Le théorème de Zorn. 29
5.1 Théorème de Zorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Démonstration du théorème de Zorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Applications du Théorème de Zorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II Éléments du calcul des prédicats. 33
6 Calcul propositionnel et algèbres de Boole. 37
6.1 Syntaxe................................................... 37
6.2 Valeur d’une formule pour une distribution de valeurs de vérité. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Formes normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Algèbre de Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Algèbre de Boole du calcul propositionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5.1 Isomorphismes d’anneaux de Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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4 TABLE DES MATIÈRES
6.6 Théorème de compacité du calcul propositionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.7 Règles de déduction pour le calcul propositionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Usage des connecteurs propositionnels et des quantificateurs. 49
7.1 Énonces sans quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2 Énoncés avec quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3 Règle d’emploi des quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 Forme prénexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.5 Formes de Skolem et de Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5.1 Formes de Skolem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5.2 Formes de Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8 Calcul des prédicats. 57
8.1 Formules et modèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Formules universellement valides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3 Introduction de symboles de fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.4 Notion de formule avec paramètres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.5 La théorie des ensembles de Zermelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.6 Le théorème de Lowenhein-Skolem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.6.1 Le paradoxe de Skolem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.7 Théorèmes de compacité des prédicats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.8 Théorème de complétude du calcul des prédicats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Première partie
Éléments de Théorie des Ensembles.
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