Un aperçu des lois de probabilité continues

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Une idée d'orang-outan pour comprendre
Dans son zoo, un orang-outan
s'amuse à jeter des noix en l'air de
façon à ce qu'elles retombent dans
un bassin circulaire de 7 mètres de
rayon rempli d'eau. Il est si adroit
qu'il ne rate jamais sa cible.
L'orang-outan ne visant jamais, la
noix peut retomber partout dans le
bassin avec la même probabilité.
Son cousin le gardien décide
d'étudier cette expérience aléatoire.
Lorsque l'orang-outan jette une noix, il appelle X la distance exprimée en mètres qui
sépare le point d'impact de la noix du centre du bassin.
La variable aléatoire X peut prendre toutes les valeurs réelles comprises entre 0 et 7. Elle
peut être égale à 2,63 comme à
5
. La seule chose certaine est que X appartient à
[
]
0;7
.
Pour cette raison, on dit que la variable aléatoire X est continue.
Parce que X peut prendre une infinité de valeurs, il est illusoire de vouloir calculer la
probabilité qu'une noix tombe à 4 mètres du centre du bassin, c'est-à-dire que
X 4
=
.
Imaginons qu'elle tombe à 3,99 mètres du centre. Faut-t-il en tenir compte pour
X 4
=
?
Il est beaucoup plus sensé de chercher la probabilité qu'une noix tombe entre 3 et 5 mètres
du centre du bassin, c'est-à-dire que X appartienne à l'intervalle
[
]
3;5
.
La probabilité que X appartienne à l'intervalle [a ; b]
Soient a et b deux réels de l'intervalle
[
]
0; 7
tels que
a b
<
.
Quelle est la probabilité que la variable aléatoire X
appartienne à cet intervalle
[
]
a; b
?
Autrement formulé, quelle la probabilité que la noix tombe
entre a et b mètres du centre du bassin ?
Pour que X appartienne à l'intervalle
[
]
a; b
, il faut et il suffit
que la noix tombe dans la couronne délimitée par les cercles
de centre O et, de rayons a et b.
La surface de cette couronne est
(
)
2 2 2 2
Disque extérieur Disque intérieur
.b .a . b a
−
π − π = π −
Comme l'orang-outan jette ses noix au hasard sans viser et qu'elles peuvent retomber
partout dans le bassin avec la même probabilité alors nous avons :
[ ]
( )
Cas favorables Surface de la couronne
p X a; b Tous les cas Surface du bassin
π
∈ = = =
(
)
2 2
. b a−
π
2 2
2
b a
49
7
−
=
×
Les lois de probabilité continues...d'un point de vue théorique
D'un point de vue mathématique, la loi de probabilité d'une variable aléatoire continue est
définie comme étant l'intégrale d'une fonction appelée densité de probabilité.
Définition d'une densité de probabilité sur l'intervalle I
Dire que la fonction f est une densité de probabilité sur l'intervalle I signifie que :
( )
Pour pouvoir calculer une intégrale...
I
f est positive (ou nulle) et continue (sauf éventuellement en quelques endroits)
sur I
f x .dx 1
=
∫
La notation
( )
I
f x .dx
∫ se lit : "intégrale sur l'intervalle I de f(x) dx". Mais que signifie-t-
elle ?
 Si I est un intervalle borné comme
[
]
a; b
ou
]
[
a; b
, alors
( ) ( )
b
Ia
C'est l'intégrale "classique"
f x .dx f x .dx
=
∫ ∫
 Si I est un intervalle non borné comme
[
[
a;
+∞
ou
]
[
a;
+∞
, alors l'intégrale
( )
I
f x .dx
∫
est la limite lorsque T tend vers
+∞
de la fonction
( ) ( )
T
a
g T f x .dx
=∫
Inclure ou non les bornes dans l'intervalle ne change en aucun cas la valeur de l'intégrale.
Définition de la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue
X est une variable aléatoire continue pouvant prendre toutes les valeurs d'un intervalle I et
f une densité de probabilité sur ce même intervalle I.
Dire que la loi de probabilité de X a pour densité de probabilité f signifie que
En fait, tout sous-intervalle de I
pour tous réels a et b de l'intervalle I
tels que a b
≤
, on a :
[ ]
( )
b
a
p X a; b f (x).dx
∈ = ∫
Par conséquent, la probabilité que X soit égale à la seule valeur a est nulle. En effet :
( ) ( )
a
a
p X a f x .dx 0
= = =
∫
De plus :
] [
( )
[ [
( )
] ]
( )
[ ]
( )
b
a
p X a; b p X a; b p X a; b p X a; b f (x).dx
∈ = ∈ = ∈ = ∈ = ∫
O
Impact
X
7
O
Impact
7
a
b
X

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Revenons à notre orang-outan qui jette ses noix dans le bassin. Quelle est la densité de
probabilité f de la variable aléatoire X ? Ici l'intervalle I est le fermé borné
[
]
0;7
.
Cette densité f est une fonction positive ou nulle vérifiant :
b
2 2
a
b a
f (x).dx
49
−
=
∫
.
La fonction
( )
2.x
f x
49
= est une bonne candidate à ce poste de densité de probabilité de X.
Vérifions cela !
 f est positive et continue sur
[
]
0;7
. De plus :
( )
7
72
0
0
x 49 0
f x .dx 1
49 49 0
= = − =
∫
Donc f est une densité de probabilité sur
[
]
I 0;7
= . Mais l'est-elle pour X ?
 Pour tous réels a et b de l'intervalle
[
]
0;7
tels que
a b
≤
, nous pouvons écrire :
[ ]
( )
b
b2 2 2 2 2
a
a
x b a b a
f (x).dx p x a; b
49 49 49 49
  −
= = − = = ∈
∫
Conclusion : la densité de X sur l'intervalle
[
]
0;7
est la fonction
( )
2.x
f x
49
= .
Et si l'orang-outan jetait ses noix dans l'ensemble des réels ?
Certains vous diront que notre variable aléatoire continue X ne prend pas ses valeurs dans
l'intervalle
[
]
0;7
mais qu'elle les prend dans . Ce faisant, il faut une nouvelle densité.
La densité de probabilité de X est alors la fonction f définie sur  par morceaux par :
[ ]
( )
] [ ] [
( )
2.x
Si x 0;7 alors f x
49
Si x ;0 7; alors f x 0
∈ =
∈ −∞ ∪ +∞ =
Sa courbe est la suivante :
Cette nouvelle densité f est continue partout sauf en
x 7
=
.
En fait, on a repris la densité précédente sur
[
]
0;7
et on l'a étendue en disant qu'elle était
nulle en dehors de l'intervalle
[
]
0;7
.
On pourrait se demander si cette nouvelle vision de la variable aléatoire X est entièrement
compatible avec la précédente. La réponse est oui.
Par exemple, calculons la probabilité que la noix tombe entre 5 et 12 mètres du centre.
Autrement dit, on cherche la probabilité que la variable aléatoire X appartienne à
[
]
5;12
.
[ ]
( )
( )
[ ]
[ ]
( )
On dissocie car la fonction f est définie
en deux morceaux sur l'intervalle 5;12
12 7 12
5 5 7
Ce résultat était prévisible car le bassin ne f
2.x 24
p x 5;12 f x .dx .dx 0.dx p x 5; 7 0
49 49
∈ = = + = ∈ + =
∫ ∫ ∫
ait que 7 mètres de rayon...
A propos des fonctions de répartition
Définition de la fonction de répartition d'une variable aléatoire définie sur 
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans  et de densité de probabilité f.
La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur  et à valeurs dans
[
]
0;1
par :
Pour tout réel A,
( ) ( )
] ]
( )
( )
A
F A p X A p X ;A f x .dx
−∞
= ≤ = ∈ −∞ =
∫
Revenons à notre orang-outan et déterminons la fonction de répartition de la variable
aléatoire X. Comme la densité de probabilité f est définie en trois morceaux sur , alors
nous allons devoir envisager trois cas suivant les valeurs de A.
 Si
]
[
A ;0
∈ −∞ alors
( )
] ]
( )
A
F A p X ; A 0.dx 0
−∞
= ∈ −∞ = =
∫.
 Si
[
]
A 0;7
∈ alors
( ) ( )
] ]
A
A 0 A
2 2
0
0
f a deux morceaux sur ;A
2.x x A
F A f x .dx 0.dx .dx 0
49 49 49
−∞ −∞
−∞
= = + = + =
∫ ∫ ∫
 Si
A 7
>
alors
( )
] ]
7
0 7 A 2
0
0 0
f a trois morceaux sur ;A
2.x x 49
F A 0.dx .dx 0.dx 0 0 1
49 49 49
−∞
−∞
= + + = + + = =
∫ ∫ ∫
.
Il est clair que cette fonction de répartition F n'a d'intérêt que sur l'intervalle initial
[
]
0;7
.
-
4
-
2
2
4
6
8
10
12
0,5
(
)
f
C
Distance
en mètres
Probabilité

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La fonction de répartition F d'une variable aléatoire continue X est elle aussi continue.
Là où la fonction de répartition F est dérivable, sa dérivée est la densité de probabilité f.
La fonction de répartition permet de calculer la probabilité associée à chaque intervalle.
Théorème : la probabilité d'un intervalle par la fonction de répartition
Si F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue X de densité de
probabilité f, alors la probabilité affectée à l'intervalle
[
]
a; b
est donnée par :
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
] ] [ ] ] ]
( ) ( )
b b a
a
car ;a a;b ;b
p x a; b f x .dx f x .dx f x .dx F b F a
−∞ −∞
−∞ ∪ = −∞
∈ = = − = −
∫ ∫ ∫
Un exemple de loi uniforme : le bond de l'orang-outan
Outre jeter des noix dans le bassin, un des grands plaisirs de notre orang-outan est de
bondir. Tous ses bonds ont une longueur comprise entre 2 et 5 mètres.
On appelle L la variable aléatoire continue qui mesure la longueur d'un bond.
Calculons la probabilité que son bond fasse entre 3 et 4 mètres c'est-à-dire que
[
]
L 3; 4
∈ .
Comme notre orang-outan saute au hasard sans trop se poser de question, alors la variable
aléatoire L peut être supposée uniformément distribuée sur l'intervalle
[
]
2;5
. Ainsi :
[ ]
( )
Longueur favorable 4 3 1
p L 3;4
Longueur possible 5 2 3
−
∈ = = =
−
De manière générale, on établit que pour tous réels α et β de
[
]
2;5
tels que
α ≤ β
, on a :
[ ]
( )
p L ;
5 2 3
β − α β − α
∈ α β = =
−
La densité de probabilité de L semble être la fonction f définie sur l'intervalle
[
]
2;5
par :
( )
1 1
f x
5 2 3
= =
−
Prouvons-le ! D'abord remarquons que f est une fonction positive et continue sur
[
]
2;5
.
Ensuite, pour tous réels α et β de
[
]
2;5
tels que
α ≤ β
, nous pouvons écrire :
( )
[ ]
( )
1 x
f x .dx .dx p L ;
3 3 3 3 3
β β β
α
α α
β α β − α
= = = − = = ∈ α β
∫ ∫
Donc en particulier :
( )
[ ]
2;5
5 2
f x .dx 1
3
−
= =
∫.
Conclusion : la fonction f est la densité de probabilité de variable aléatoire continue L.
Et comme précédemment, on peut décréter que la variable aléatoire L prend ses valeurs
dans . On étend alors la densité f sur  en disant qu'elle est nulle en dehors de
[
]
2;5
.
Loi uniforme : la théorie
Définition d'une variable aléatoire continue uniformément distribuée
Dire que la variable aléatoire continue X est uniformément distribuée sur l'intervalle
[
]
a;b
signifie que sa densité f est définie par :
[ ]
( )
] [ ] [
( )
1
Si x a; b alors f x
b a
Si x ;a b; alors f x 0
∈ =
−
∈ −∞ ∪ +∞ =
Pour prouver que f est une densité de probabilité, deux choses sont à établir :
 f a-t-elle les qualités requises : positivité et intégrabilité ?
D'abord, comme
a b
<
alors la fonction f est positive ou nulle. Ensuite, comme ses
discontinuités sur  se limitent à a et b alors nous pouvons y envisager son intégrale.
 L'intégrale de f sur est-elle égale à 1 ?
( ) ( )
a b
a b
Car f est définie par trois morceaux...
b
a
1
f x .dx f x .dx 0.dx .dx 0.dx
b a
x b a b a
0 0
b a b a b a
+∞ +∞
−∞ −∞
= = + +
−
−
= + + = − =
− − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b a−
1
=
Loi exponentielle : la théorie
Définition d'une variable aléatoire continue exponentielle
Dire que la variable aléatoire continue X est exponentielle de paramètre
0
λ >
signifie que
sa densité de probabilité f est définie par :
]
[
(
)
[ [
( )
.x
Si x ;0 alors f x 0
Si x 0; alors f x .e
−λ
∈ −∞ =
∈ +∞ = λ
-
2
-
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,5
(
)
f
C
[
]
(
)
Aire p L 3; 4
= ∈
Longueur en mètres
Probabi
lité
La loi de probabilité de L est
la loi uniforme sur
[
]
2;5

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Pour prouver que f est une densité de probabilité, deux choses sont à établir :
 f a-t-elle les qualités requises : positivité et intégrabilité ?
D'abord, comme λ est un réel strictement positif alors la fonction f est clairement positive
ou nulle sur .
Maintenant, intéressons-nous à la continuité de la fonction f sur .
De par ses expressions, il est clair que f est définie sur les intervalles
]
[
;0
−∞ et
[
[
0;
+∞
.
Reste savoir si elle l'est à gauche de 0 ?
Comme
[
[
0 0;
∈ +∞
alors
( )
0
f 0 .e 1
−λ×
= λ = λ× = λ
.
Or
(
)
(
)
x 0 x 0
lim f x lim 0 0 f 0
− −
→ →
= = ≠ λ = . Donc f n'est pas continue à gauche de 0.
Conclusion : la fonction f est continue partout sauf en 0. Même avec cette discontinuité,
nous pouvons envisager le calcul de son intégrale sur .
 L'intégrale de f sur est-elle égale à 1 ?
( ) ( )
0
.x .x
0 0
f est définie par deux morceaux.
f x .dx f x .dx 0.dx .e .dx 0 .e .dx
+∞ +∞ +∞
−λ −λ
−∞ −∞
= = + λ = + λ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
L'intégrale
.x
0
.e .dx
+∞ −λ
λ
∫
est la limite lorsque T tend vers
+∞
de
( )
T
.x
0
g T .e .dx
−λ
= λ
∫
.
Une primitive sur  de
( ) ( )
u
.x .x
e
u
.e 1 e
−λ −λ
′
λ = − × −λ × est la fonction
.x
u
e
e
e
−λ
− . Par suite :
( )
( ) ( )
( )
TT
.x .x .T 0 .T .T
0
0
g T .e .dx e e e e 1 1 e
−λ −λ −λ −λ× −λ −λ
= λ = − = − − − = − − − = −
∫
Quand T tend vers
+∞
,
.T
−λ
s'en va vers
−∞
. Donc
.T
e
−λ
tend vers 0 .
Comme
(
)
T
lim g T 1 0 1
→+∞
= − =
alors
( )
.x
0
f x .dx 0 .e .dx 0 1 1
+∞ −λ
= + λ = + =
∫ ∫
Un exemple de loi exponentielle : la désintégration d'atomes
Parce qu'ils comportent trop de neutrons, certains noyaux d'atomes sont instables. Au bout
d'un certain temps T, ils se brisent ou fissionnent donnant ainsi deux atomes plus petits.
A l'instant
t 0
=
, on dispose d'un atome très radioactif et très instable d'orang-outanium.
On appelle T la variable aléatoire continue mesurant la durée de vie exprimée en secondes
de cet atome. T étant un réel positif ou nul, nous travaillerons dans l'intervalle
[
[
0;
+∞
.
A l'instar de ce qui se passe avec les autres atomes radioactifs, la loi de probabilité de T est
une loi exponentielle de paramètre λ .
Ce paramètre
λ est ce que l'on appelle la constante de désintégration par unité de temps.
Pour un atome d'orang-outanium, cette constante λ est de 7 désintégrations par seconde.
Donc la densité de probabilité de T est la fonction f définie sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
par :
( )
7.t
f t 7 e
−
= ×
 Déterminons l'expression de la fonction de répartition F de la variable aléatoire T.
Pour tout réel
[
[
A 0;
∈ +∞
, nous avons :
( ) ( )
( )
( )
AA
7.t 7.t 7.A 7.A
0
0
F A p T A 7.e .dt e e 1 1 e
− − − −
= ≤ = = − = − − − = −
∫
Connaissant la fonction de répartition, nous pouvons calculer quelques probabilités.
 Calculons la probabilité que la durée de vie T d'un atome d'orang-outanium soit
comprise entre 0,2 et 1 seconde. Autrement dit, on cherche la probabilité que
[
]
T 0, 2;1
∈ .
[ ]
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
7 1 7 0,2 1,4 7
p T 0, 2;1 F 1 F 0, 2 1 e 1 e e e 0, 246
− × − × − −
∈ = − = − − − = − ≈
 Calculons la probabilité qu'un atome d'orang-outanium vive plus de 2 secondes.
[ [
( )
[ [
( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
7 2 7 0 14 7
Evénement contraire.... F 2 F 0
p T 2; 1 p T 0;2 1 1 e 1 e e 8,3 10
− × − × − −
−
∈ +∞ = − ∈ = − − − − = ≈ ×
En procédant comme dans les deux précédents calculs, on établit :
[
]
(
)
7.a 7.b
p T a; b e e
− −
∈ = −
[
[
(
)
7.a
p T a; e
−
∈ +∞ =
Pourquoi les lois exponentielles sont-elles des lois de durée de vie sans vieillissement ?
Prenons un atome d'orang-outanium dont on sait qu'il a une durée de vie d'au moins 3
secondes. Quelle est la probabilité qu'alors il vive au moins deux secondes de plus, c'est-à-
dire que sa durée de vie T soit supérieure à 5 secondes ?
Pour cela, calculons la probabilité conditionnelle "
[
[
T 5;
∈ +∞
sachant que
[
[
T 3;
∈ +∞
".
[ [ [ [
( )
[
[
[
[
(
)
[ [
( )
[
[
(
)
[ [
( )
[ [
( )
35 14 7 2
21
p T 5; 3; p T 5;
p T 5; sachant T 3; p T 3; p T 3;
e
= e e p T 2;
e
−− − ×
−
∈ +∞ ∩ +∞ ∈ +∞
∈ +∞ ∈ +∞ = =
∈ +∞ ∈ +∞
= = = ∈ +∞
Ainsi la probabilité qu'un atome orang-outanium vieux de 3 secondes ait une espérance de
vie d'au moins encore 2 secondes est la même que celle d'un atome "plus jeune".
Quelque soit l'âge, l'espérance de vie relative reste la même.
C'est pour cela que les lois exponentielles sont aussi appelées lois de durée de vie sans
vieillissement. Car ce dernier n'a aucune prise sur l'espérance de vie.