Exercices de probabilité conditionnelle et loi binomiale Terminale S

Exercices de probabilité conditionnelle et loi binomiale
Terminale S
Exercice 1 En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les
intentions de vote de futurs électeurs.
Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et
les autres pour le candidat B.
Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 %
des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le
candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :
• A l’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
• B l’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
• V l’évènement « La personne interrogée dit la vérité ».
1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
2.
a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter
pour le candidat A.
3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0, 529.
4. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications
par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0, 4.
L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
Exercice 2 Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est
demandée.
Un joueur doit tirer au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes.
Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.
Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.
Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits
des gains répartis comme suit :
1
• sur de la roue le gain est de 100 (,
8
1
• sur de la roue le gain est de 20 euros,
4
• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.
On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».
On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».
On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ».
1. Quelques calculs.
a) Calculer les probabilités P (V) et P (J) des évènements respectifs V et J.
b) On note P V (R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules
vertes. Déterminer P V (R) puis P (R ∩ V).
c) Calculer P (R).
d) Calculer la probabilité de gagner les 100 (, puis la probabilité de gagner les 20 ( de la roue.
2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est- à-dire la différence entre
les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m.
a) Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X .
b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
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140 − 51m
.
80
d) L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale
faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?
c) Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est E(X ) =
3. Un joueur se présente et décide de jouer 5 fois, quelque soit les résultats obtenus. . On appelle Y la
variable aléatoire égale au nombre de fois où le joueur gagne.
a) Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Donner les valeurs possibles de Y .
c) Dresser la loi de probabilité de Y sous forme de tableau.
d) Donner l’espérance de Y et interpréter le résultat.
4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner
quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne
mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose
n > 1. Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.
Exercice 3 Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note
D 1 l’évènement « le composant 1 est défaillant avant un an » et on note D 2 l’évènement « le composant 2 est
défaillant avant un an ».
On suppose que les deux événements D 1 et D 2 sont indépendants et que P (D 1 ) = (D 2 ) = 0, 39.
Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :
1
1
2
2
Circuit en parallèle A
Circuit en série B
1. Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les
deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant
avant un an.
2. Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l’un au moins
des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
Exercice 4 Arthur possède une poche de 2100 billes.Il y en a de plusieurs couleurs, transparentes ou non. Il y
a précisément 140 billes rouges et 30 billes transparentes.
On tire au hasard dans le sac ;on appelle R l’événement « la bille est rouge » et T , « la bille est transparente ».
Combien de boules rouges doivent être transparentes pour que les événements R et T soient indépendants ?
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