Le Monde Perdu

II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs
II. La décomposition d’un nombre entier
en facteurs (premiers)
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 1 / 37

II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs Les critères de divisibilité
I. Les critères de divisibilité
Comment déterminer les diviseurs (premiers) d’un nombre entier naturel
N?
1. Pour commencer . . .
Il suffit de tester la divisibilité de Npar tous les nombres premiers inférieurs
à√N.
→Intérêt d’une table de nombres premiers.
2. Les critères « bien connus »
Divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 25, 125, . . .
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs Les critères de divisibilité
3. La divisibilité par 11
Il est bien connu que, par exemple 572 est un multiple de 11, parce que ( !)
5+2=7.
Et pareillement, 517 est un multiple de 11 parce que ( ! !) 5 +7>10 et
4+7=11.
Quelques expérimentations sur des multiplications « écrites » par 11
permettent de se convaincre du bien-fondé de ces petits trucs. Mais il peut
être utile de disposer d’un critère général.
Question
Enoncer et démontrer un critère de divisibilité par 11, en termes de l’écriture décimale d’un
nombre entier.
Solution. L’écriture décimale du nombre en question doit être telle que la
différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des
chiffres de rang pair soit divisible par 11 (le rang étant compté à partir de
la droite). . .
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs Les critères de divisibilité
4. La divisibilité par 7
Observons !
On a évidemment :
1=M·7+1
Ensuite, par division euclidienne incomplète sur la base de numération :
10 =M·7+3
102=M·7+9=M·7+2
103=M·7+6
104=M·7+4
105=M·7+12 =M·7+5
106=M·7+36 =M·7+1
107=M·7+24 =M·7+3
108=M·7+16 =M·7+2
. . .
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II. La décomposition d’un nombre entier en facteurs Les critères de divisibilité
Les restes se reproduisent périodiquement, et la période (sur l’exposant)
est égale à 6.
106−1 est a priori un multiple de 7
En effet
106−1=103+1·103−1
= (10 +1)·102−10 +1·(10 −1)·102+10 +1
et 102−10 +1=91 =7·13.
Quel que soit l’entier naturel k: 106+k−10kest un multiple de 7
Evident, puisque
106+k−10k=10k·(106−1)
N.B. : c’est quasiment l’idée de la preuve du « petit » théorème de Fermat. . .
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