Théorie descriptive des groupes

Théorie descriptive des groupes
Julien Melleray
Lyon, Semestre d’automne 2009-2010

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Avant-propos.
Ce texte a servi de support pour un cours de M2 au semestre d’automne
2009-2010 à Lyon. Il traite de théorie descriptive des ensembles, avec un
intérêt particulier pour les groupes polonais, leurs actions et les relations
d’équivalence engendrées.
Dans les premiers chapitres sont regroupés quelques rappels de théorie des
ensembles et de topologie ; ensuite on passe à la théorie descriptive des en-
sembles proprement dite. A la fin de chaque chapitre, le lecteur trouvera de
brèves références bibliographiques. Les exercices qu’on trouve dans le corps
du texte sont à faire absolument pour vérifier qu’on a compris ce qui se passe.
Les exercices en fin de chapitre sont là pour permettre au lecteur intéressé
d’approfondir un peu les notions vues précédemment ; il est bien sûr recom-
mandé d’essayer de les faire, mais certains (marqués d’une étoile) sont plus
difficiles ou nécessitent d’employer des notions qui ne sont pas présentées
dans le cours.

Table des matières
1 Ordinaux, Cardinaux, Axiome du Choix 1
1.1 Bons ordres et ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Cardinaux et axiome du choix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Un exemple: le théorème d’Erdös-Rado . . . . . . . . . . . . . 19
2 Rappels de topologie 27
2.1 Espaces compacts, complets, séparables... . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Espace de Baire, espace de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Espaces polonais 37
3.1 Définition et caractérisation des espaces polonais; lemme de
Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Ensembles Baire-mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Groupes polonais 47
4.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Distances invariantes à gauche et groupe complété . . . . . . . 50
4.3 Quotients et continuité automatique . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Continuité des opérations de groupe. . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Ensembles boréliens, analytiques, coanalytiques 61
5.1 Schémas et théorèmes de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 La tribu borélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Raffinement de topologies polonaises . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Ensembles analytiques; le théorème de séparation . . . . . . . 69
5.5 Boréliens standard; fonctions boréliennes . . . . . . . . . . . . 73
6 Actions et relations 77
6.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Actions, orbites, stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
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iv TABLE DES MATIÈRES
6.3 Bref retour sur les ensembles analytiques et Baire-mesurables. 84
6.4 G0-dichotomie : applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 G0-dichotomie: preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5.1 Quelques lemmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5.2 Fin de la preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A Les axiomes de Zermelo-Fraenkel 101
B Filtres, ultrafiltres, ultraproduits 107

Chapitre 1
Ordinaux, Cardinaux, Axiome du
Choix
On va se placer dans le cadre général de la théorie dite de Zermelo-Fraenkel
(ZF), dont on ne sortira pas dans ce cours. Il est très vraisemblable qu’il
s’agisse du cadre axiomatique que vous avez toujours utilisé, même sans le
savoir, pour faire des mathématiques.
Si vous êtes curieux(se), vous êtes invité(e) à consulter l’annexe A pour la liste
des axiomes de cette théorie et une discussion rapide de leur signification, et à
vous reporter à la bibliographie en fin de chapitre pour des sources plus com-
plètes. Nous n’allons pas rentrer dans des discussions métamathématiques,
ou essayer de fournir une introduction complète à la théorie des ensembles
(c’est un sujet à part entière, qu’on ne peut pas traiter correctement sans y
passer du temps !), mais simplement essayer de fournir une "boîte à outils"
de théorie des ensembles, regroupant quelques notions que tout mathémati-
cien devrait connaître. La présentation sera par moments un peu informelle,
en particulier lors de l’introduction des ordinaux ; il me semble qu’on peut
apprendre à manipuler les ordinaux sans savoir les définir précisément.
Commençons par apprendre à compter... Il est facile de compter le nombre
d’éléments d’un ensemble fini : on énumère les éléments, et on s’arrête quand
il n’y en a plus. On associe ainsi à chaque ensemble fini un entier, qui est
son nombre d’éléments. Mais comment faire quand on considère un ensemble
infini ? Il n’est pas clair qu’on puisse l’énumérer ; plutôt que de considérer tous
les ensembles, on va considérer des ensembles munis d’un ordre permettant
une énumération.
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