DS T°STI2D Probabilités

Date : / / Classe de T°STI2D Corrigé
Contrôle de Mathématiques
PROBABILITÉS : Loi exponentielle (1 heure)
Les résultats devront être donnés
en valeur exacte simplifiée et en valeur arrondie avec 4 chiffres significatifs.
Problème : (10 points = 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 5)
Mana a installé 10 bornes lumineuses pour baliser le chemin d'entrée de l'hôtel.
Chaque borne est équipée d'une ampoule halogène de 35 W. Leur durée de vie en
heures T suit la loi exponentielle de paramètre 10-4.
1) Quelle est la durée de vie moyenne d'une ampoule ?
E(X)= 1
λ=1
10−4=10 000.
2) Quelle est la probabilité qu'une ampoule fonctionne encore après 20 000
heures d'utilisation ?
p(X>20000)=e−20 000×10−4=e−2≈0,1353=13,53 %.
3) L'ampoule est garantie 3 mois. Quelle est la probabilité qu'elle lâche avant
la fin de la garantie ?
3×12×30,5=1098.
p(X<1098)=1−e−1098×10−4 ≈0,1040=10,4 %.
On supposera une utilisation de 12 heures par jour et on posera 1 mois =
30,5 jours.
Rai explique à Mana qu'il vaut mieux acheter des ampoules de nouvelle génération,
ne consommant que 1 W et dont la durée de vie moyenne est donnée pour 80 000
heures. Leur durée de vie en heures t suit une loi exponentielle de paramètre m.
1) Calculer la valeur exacte de m.
Comme E(X)= 1
m, on aura m=1 E(X)=1 80000 .
2) Quelle est la probabilité arrondie au millième pour que une de ces
nouvelles ampoules fonctionne encore après 20 000 heures ?
p(X>20000)=e−20000
80000 =e−0,25 ≈0,7788=77,88%.
3) L’entreprise qui fabrique ces ampoules désire offrir une garantie pour
encourager les gens à acheter ce nouveau modèle.
Quelle durée de garantie peut-elle offrir sans que cela lui coûte plus de 2%
des ampoules vendues ?
On considérera que ce coût est égal au prix de vente fois le nombre
d'ampoules à remplacer sous garantie.
Il faut avoir p(X<x)<2% soit 1−e
−x
80000<0,02 <=> −e
−x
80000<−0,98
<=> −x
80000>ln(0,98) <=> x<−80000ln(0,98)≈1616heures,
soit, en gardant 12h par jour et 30,5 jours par mois, x<1616
366 ≈4,4 mois .
On peut donc proposer sans grand risque une garantie de 4 mois.