20ko - Mathématiques

Chapitre 1 Arithmétique
I.
Divisibilité
Activité tirage à faire
Le jeu de Juniper-Green
Règle du jeu : Ce jeu se joue à deux (ou plus) avec les nombres entiers de 1 à 40.
Le premier joueur choisit un nombre entier.
Le deuxième joueur doit en choisir un autre qui doit être soit multiple, soit diviseur de ce premier nombre et
toujours parmi les nombres entiers de 1 à 40.
Le joueur suivant en choisit encore un autre qui doit être soit multiple, soit diviseur du second nombre. Et ainsi de
suite, chaque nombre ne pouvant servir qu'une seule fois !
Le dernier joueur qui a pu choisir un nombre a gagné !
a.
Jouez à ce jeu, en alternant le premier joueur.
b.
Le premier joueur prend 40 comme nombre de départ. Quelle est la liste des nombres
possibles pour le second joueur ? Même question avec 17 ; 9 et 23.
c.
Dans une partie à deux joueurs, quel nombre peut choisir le premier joueur pour être
sûr de l'emporter (s'il joue bien !) ? Trouve toutes les possibilités.
Diviseur
Déf : a et b sont deux entiers positifs avec b non nul. On dit que b est un diviseur de a si le
quotient
𝑎
𝑏
est un entier.
Remarque : si b est un diviseur de a alors il existe un entier n tel que a = b × n
Réciproque : si a = b×n alors b est un diviseur de a ou a est un multiple de b.
Exemple :
II.
Plus grand diviseurs communs
Activité tirage à faire
On veut paver une surface rectangulaire avec des carrés identiques et sans coupe. La longueur
du côté des carrés est un nombre entier de centimètres.
a.
La surface rectangulaire mesure 12 cm par 18 cm. Quelle peut être la longueur du
côté des carrés ? Y a-t-il plusieurs possibilités ? Que représente(nt) ce(s) nombre(s)
pour 12 et 18 ?
Mêmes questions lorsque la surface rectangulaire mesure 49 cm par 63 cm, puis
27 cm par 32 cm et enfin 21 cm par 84 cm.
b.
Cherche les dimensions maximales d'un carré pouvant
paver une surface rectangulaire de 108 cm par 196 cm.
Déf : le plus grand entier qui divise les deux entiers a et b s’appelle le plus grand commun
diviseur. Il se note PGCD (a; b).
Exemple : les diviseurs communs à 48 et 40 sont 1, 2, 4, 8 donc PGDC ( 48 ; 40)= 8
Trouver les diviseurs communs de 18 et 24 donc le PGCD (18 ;24) est 6
Propriétés : PGCD(a ;a)=1
PGCD (a ; b)= PGCD (b ;a)
Si b divise a alors PGCD (a ;b)=b
Exemple
Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions successive :
PGCD(𝑎 ; 𝑏) = PGCD(𝑏 ; 𝑎 − 𝑏) a > 𝑏
Calcul du PGCD de 522 et 398.
522 – 348=174
PGCD (522 ; 348)
348 – 174=174 = PGCD (348 ; 174)=174
174 – 174=0
donc le PGCD (522 ; 348)=174
Calcul le PGDC de 159 et 106
159 – 106=53
PGCD (159 ; 106)=53
106 – 53=53
= PGCD (106 ; 53)
53 – 53=0 donc le PGCD (159 ; 106)=53
Autre exemple
PGCD (530 ; 371)=159
a. Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide. http://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide
(Euclide (mathématicien), (IIIe siècle av. J.-C.), mathématicien grec, auteur du plus
célèbre ouvrage de l’histoire des mathématiques, les Éléments. Euclide se
distingue également en théorie des nombres, démontrant notamment que
l’ensemble des nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer la
division avec le reste, appelée aujourd’hui division euclidienne.)
Proposition :
A=b×𝑞 +r a>𝑏
PGCD (a ; b)= PGCD (b ; r)
Exemple
Le calcul le PGCD de 602 et 3870
Principe : On divise le plus grand par le plus petit puis on divise le diviseur par le reste
…jusqu’à ce que le reste soit nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.
On se sert de la touche t ou ÷ 𝑅
3870 = 602 × 6 + 258
PGCD (3870 ; 602)
602= 258× 2 + 86
=PGCD (602 ; 258)
258=86 × 3 + 0
=PGCD (258 ; 86)=86
86 est un diviseur de 258 donc le PGCD (3870 ; 258)=86
Calculer le PGCD (1360 ; 345)=5
Calculer le PGCD (13 ; 5)=1
III.
Nombre premier :
Définition: Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre
eux (leur seul diviseur commun est 1).
Exemple :
PGCD (1360 ; 345)=5 donc 1360 et 345 ne sont pas premier entre eux.
PGCD (13 ; 5)=1 donc 13 et 5 sont premier entre eux.
IV.
Fraction irréductible :
a.
Voici une liste de fractions :
130
150
i.
ii.
26
42
148
; 30 ; 49 ; 164
91
156
39
52
; 105 ; 180 ; 45 ; 60 .
Construis une nouvelle liste en enlevant les intrus. Explique ta démarche.
Quelle fraction, ayant un numérateur et un dénominateur les plus petits possibles, peut-on
ajouter à cette nouvelle liste ?
iii.
Quel est le PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction trouvée dans la
question b. ?
On dit que ces deux entiers sont premiers entre eux et que la fraction est irréductible.
iv.
Le numérateur et le dénominateur de chacune des fractions de la nouvelle liste sont-ils
premiers entre eux ? Justifie ta réponse.
Def : Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
Exemple :
1360
345
1360 272×5
69×5
n’est pas irréductible car ( 345 =
=
272
69
est irréductible)
𝑎
Proposition 1: si a et b sont deux nombres premiers entre eux alors 𝑏 est irréductible
Exemple :
13
5
est irréductible
9
9 et 8 sont premiers entre eux donc 8 est une fraction irréductible.
𝑎
Proposition2 : Si on simplifie 𝑏 𝑝𝑎𝑟 le PGCD de a et b alors on obtient une fraction irréductible
Exemple:
1360
345
1360 272×5
69×5
n’est pas irréductible car PGCD (1360 ; 345)=5 ( 345 =
=
272
69
est
irréductible)
Remarque : pour simplifier une fraction pour rendre irréductible on peut
 Utiliser une calculatrice touche
 Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombre premiers (on utilise les
critères de divisibilités).
Exemple
60
72
2×2×3×5
5
= 2×2×2×3×3 = 6
Simplifier le PGCD du numérateur et du dénominateur.
657
Exemple : Simplifier la fraction 963 on calcule le PGCD du dénominateur et du dénominateur par
l’algorithme d’Euclide.
963=657× 1 + 306
PGCD (963 ; 657)=
657=306× 2 + 45
=PGCD (657 ; 306)
306=45× 6 + 36
= PGCD (306 ; 45)
45=36× 1 + 9
= PGCD (45 ; 36)
36=9× 4 + 0
=PGCD (9 ; 9) = 9
Donc PGCD (963 ; 657) = 9
657
73 × 9
73
=
=
963 107 × 9 107
Exercice du Brevet :
Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquet
identique, en utilisant toutes les fleurs.
1) Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
2) Quelle sera la composition de chaque bouquet.
Rep : 1. 26 bouquets
2. 7 brins de muguet et 3 roses.