différentielles

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Résumé 21 : Equations différentielles linéaires
Dans tout ce chapitre, Ksera Rou C.
Iest un intervalle réel, K=Rou C, et Eest un K−espace vectoriel normé
de dimension finie n.
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1LE CADRE
§ 1. Equation différentielle d’ordre 1.— On le définit en toute généralité sur
un espace vectoriel de dimension finie E.
Définition 1.1
On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 1sur Etoute équation tu
type x0=ax +b, où aest une application continue de Idans L(E),bune
application continue de Idans E.
La fonction inconnue est alors t∈I7−→ x(t)∈E. On appelle
Isolution toute fonction ϕ∈D1(I, E)telle que
pour tout t∈I, ϕ0(t) = a(t)ϕ(t)+b(t).
Icourbe intégrale de cette équation toute courbe représentative de toute
solution.
Iéquation homogène associée l’équation x0=ax.
L’équation est homogène lorsque la fonction nulle en est une solution, i.e
lorsque best nulle. Concernant la régularité des solutions,
Proposition 1.2
Toute solution est de classe C1sur I.
Si on se fixe une base B= (e1, . . . , en)de E, et que l’on pose pour tout
t∈I, A(t) = Mat Ba(t), B(t) = Mat Bb(t)et X(t) = Mat Bx(t), alors
l’équation différentielle prend la forme d’un système différentiel linéaire d’ordre
1suivant :
X0=AX +B .
§ 2. Ensembles de solutions.— Leurs structures vont simplifier leur détermi-
nation.
Proposition 1.3 (Principe de superposition)
Soient b1, b2∈C0(I, E)et ϕ1, ϕ2deux solutions de x0=ax+b1et x0=ax+b2.
Alors pour tout α∈K, la fonction b1+αb2est solution de x0=ax +αb1+b2.
EXEMPLES :
Ce théorème permet par exemple de résoudre xx0+x0+x= cos(t), en écrivant cos t=
eit +e−it
2.
Il y a un lien fort entre ces deux ensembles, qui provient de la linéarité de
Ψ : x7−→ a(x), dont SHest le noyau.
Définition 1.4
Nous noterons SE⊂C1(I, E)l’ensemble des solutions de l’équation (E),
et SH⊂C1(I, E)l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée
(H).
Théorème 1.5 (Structure des solutions)
(i) SHest un sous-espace vectoriel de l’ espace vectoriel C1(I, E).
(ii) S(E)est un sous-espace affine de l’ espace vectoriel C1(I, E), dont
l’ensemble des directions est SH. Autrement dit, pour tout ϕ0∈
S(E),S(E)=ϕ0+S(H).
Le (ii) nous dit que pour déterminer les solutions de (E), il faut et il suffit de
déterminer une solution particulière de (E)et toutes les solutions de (H).
§ 3. Problème de Cauchy.— On définit ce qu’est une solution avec condition
initiale.
Définition 1.6
Soit t0∈Iet x0∈E. On dit que ϕest solution du problème de Cauchy
(x0=ax +b(E)
x(t0) = x0
lorsque ϕprend la valeur x0en t0, et est solution de
l’équation différentielle (E).
Puisque ϕest de classe C1, elle est une primitive de sa dérivée, et le problème
de Cauchy peut s’écrire sous forme intégrale :
Pour tout t∈I, ϕ(t) = x0+Zt
t0
a(s)ϕ(s)+b(s)ds.
§ 4. Cas d’une équation linéaire scalaire d’ordre n.— On appelle ainsi toute
équation du type
x(n)(t) +
n−1
X
k=0
ak(t)x(k)(t) = b(t),(En)
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où les aiet bsont des fonctions continues sur Idans K. Une solution est une
fonction scalaire x∈Dk(I, K).
Il est important de noter que ces équations scalaires d’ordre nforment un cas
particulier des équations précédentes, i.e se mettent sous la forme X0+AX =B,
où E=Kn, X = (x, x0, . . . , x(n−1))et A(t)est une matrice compagnon pour tout
t∈I. Le problème de Cauchy devient alors
Définition 1.7
Soient t0∈I, x0, x1, . . . , xn−1∈K. On appelle problème de Cauchy en
(t0, x0, . . . , xn−1)de (En)toute fonction solution de (En)qui vérifie pour tout
k∈[[0, n −1]]x(k)(t0) = xk.
§ 5. Dimension de S(H).— Le théorème suivant est d’une importance primor-
diale dans la théorie des EDL. On reprend les notations et les hypothèses qui
prévalent depuis le chapitre 1 :
Théorème 1.8 (de Cauchy-Lipschitz)
Pour tout (t0, x0)∈I×E, le problème de Cauchy (x0=ax +b(E)
x(t0) = x0
pos-
sède une et une seule solution.
Corollaire 1.9
Pour tout t0∈I, l’application ΨS(H)−→ E
ϕ7−→ ϕ(t0)
est un isomorphisme
de K−espaces vectoriels . Plus précisément, dim S(H)=n .
Pour les équations scalaires d’ordre n, cela donne :
Corollaire 1.10
Pour tout t0∈I, et tout n−uplet (x0, . . . , xn−1)de Kn, il existe une unique
solution de (E)qui vérifie pour tout k∈[[0, n −1]], ϕ(k)(t0) = xk.
REMARQUES :
Pour une EDL scalaire d’ordre 1, cela signifie que deux courbes intégrales ne peuvent se
croiser, et que les courbes intégrales partitionnent I×K.
Pour une EDL scalaire d’ordre 2, cela signifie que deux courbes intégrales distinctes ont
des pentes distinctes aux points où elles se croisent.
§ 6. Système fondamental de solutions de (H).— Considérons un système
X0=AX homogène, où A:t7−→ A(t)∈Mn(K)peut dépendre du temps. On
appelle système fondamental de solutions de (H)toute base (X1, . . . , Xn)de
S(H). Bien noter qu’ici, pour tout entier k, Xk∈C1(I, Kn).
A toute famille de nvecteurs (X1, . . . , Xn)solutions de (H), on associe une
matrice Wronskienne ainsi :
W:t∈I7−→ X1(t), . . . , Xn(t)∈Mn(K).
On appelle Wronskien son déterminant w∈C1(I, C). Alors,
Propriétés 1.11
Soient (X1,...Xn)nfonctions solutions de X0=AX, et wleur Wronskien.
Alors, on a équivalence entre
(i) Pour tout t∈I, X1(t), . . . , Xn(t)est une base de Kn.
(ii) Il existe un réel t∈I, tel que X1(t), . . . , Xn(t)est une base de Kn.
(iii) wn’est pas la fonction nulle.
(iv) wne s’annule pas sur I.
Lorsque Aest diagonalisable, il existe un système fondamental de solutions
qui s’impose :
Proposition 1.12
Soit A∈Mnune matrice DZ et (e1, . . . , en)une base de Knconstituée de
vecteurs propres de A, i.e Aek=λkekpour tout k∈[[1, n]]. Alors, si on pose
pour tout k∈[[1, n]], Xk:t∈I7−→ Xk(t) = eλktek, la famille (X1, . . . , Xn)est
un système fondamental de solutions de X0=AX.
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2EXPONENTIELLE D’UN ENDOMORPHISME
ou d’une matrice.
§ 1. Définition et propriétés.— Elle est basée sur l’existence, dans tout es-
pace vectoriel de dimension finie, d’une norme sous-multiplicative. C’est elle qui
garantit la convergence aboslue, donc normale de la série X
p>0
Ap
p!pour toute
matrice A∈Mn(K). On note alors eA= exp A=
+∞
X
p=0
Ap
p!.
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EXEMPLES :
Il faut savoir calculer l’exponentielle d’un matrice diagonale, d’un matrice triangulaire
nilpotente de petite taille, d’un matrice 2×2. On eut de plus penser à utiliser un polynome
annulateur pour obtenir les puissances de A.
Propriétés 2.1
(i) Pour tout P∈GLn(K),exp P AP −1=P eAP−1.
(ii) exp : Mn(C)→Mn(C)est continue.
(iii) Si AB =BA, alors exp (A+B) = eAeB.
(iv) Pour toute A∈Mn(C), eA∈GLnet eA−1=e−A.
(v) det eA=eTrace A.
(vi) Si Aest anti-symétrique, eA∈SOn.
(vii) ψ:t∈R7−→ etA ∈GLnest dérivable et
pour tout t∈R, ψ0(t) = AetA.
§ 2. Système différentiel linéaire à coefficients constants.— L’exponen-
tielle d’une matrice, dans le cas où celle-ci est à coefficients constants permet,
au moins théoriquement, la résolution des systèmes linéaires associés :
Théorème 2.2
Soit A∈Mn(K)et t0∈I, X0∈Kn. L’unique solution sur Rau problème
de Cauchy en (t0, X0)du système différentiel linéaire à coefficients constants
X0=AX est la fonction t7−→ eA(t−t0)X0.
Ainsi, chaque colonne de la matrice etA est solution de X0=AX, et la famille
de ces ncolonnes forme une base de S(H), i.e un système fondamental de
solutions.
EXEMPLES :
Pour résoudre X0=AX on peut calculer l’exponentielle de tA, mais cela s’avère vite
laborieux, à part lorsque Aest diagonalisée, ou encore nilpotente. On préfèrera souvent,
lorsque Aest DZ écrire A=P DP −1et résoudre Y0=DY où Y=P−1X. Notons
qu’il est ici inutile d’inverser P.
Enfin, si An’est pas DZ, on pourra la trigonaliser et résoudre le système Y0=DY en
commençant par les dernières équations.
Le programme précise que pour les calculs explicites, on se bornera aux deux cas n63
ou Aest diagonalisable.
Résoudre X0= −3 5 −5
−4 6 −5
−4 4 −3!.Ici, χ(X)=(X−1)(X−2)(X+ 3).
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3QUELQUES MÉTHODE DE RÉSOLUTION
§ 1. Cas des équations scalaires d’ordre 1.— du type
(E)x0(t) + a(t)x(t) = b(t)
où aet bsont continues à valeurs complexes sur I. On sait les résoudre par
quadrature. Pour cela, on peut noter Aune primitive de asur Iet utiliser que
(E)⇐⇒ d
dt eA(t)x(t)=b(t)eA(t).
Cette méthode fonctionne à la fois pour les équations homogènes et les équa-
tions complètes.
§ 2. Cas des équations scalaires d’ordre 2à coefficients constants.— On
considère ici l’équation
(H)y00 +ay0+by = 0
où aet bsont des constantes.
On appelle équation caractéristique associée à cette équation différentielle
l’équation en r:r2+ar +b= 0 et ∆ = a2−4bson discriminant.
BCas 1 : Si ∆6= 0, alors (Ec)admet deux solutions disctinctes r1et r2, et
y∈SolH⇐⇒ il existe A, B ∈Ctelles que
y:x∈R7→ Aer1x+Ber2x.
BCas 2 : Si ∆=0, alors (Ec)admet une solution r0, et y∈SH⇐⇒ il existe
A, B ∈Ctelles que
y:x∈R7→ Aer0x+Bxer0x.
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§ 3. Méthode de Laplace.— C’est une méthode permettant de résoudre une
équation scalaire d’ordre 2lorsque l’on connait une solution particulière y0de
l’équation homogène. Pour cela on recherche ysous la forme y:t7→ K(t)y0(t).
On injecte cette expression dans l’équation (E)y00 +a(t)y0+b(t)y=c(t)pour se
ramener à une EDL d’ordre 1en K0.
Cette solution y0peut être donnée, ou au moins la classe de fonctions à la-
quelle elle appartient. Lorsqu’un solution est DSE en 0, on peut chercher son
DSE en l’injectant dans l’EDL, ce qui devrait fournir une relation de récurrence
entre ses coefficients. Il faudra vérifier que le rayon de la SE est non nulle, et
savoir justifier en quoi ce raisonnement est cohérent.
§ 4. Méthode de variation DES constantes.— Elle ne s’applique que lorsque
l’on sait complètement résoudre l’équation homogène associée.
4.1 Cas des systèmes X0=AX +Bdont on connait un système fondamen-
tal de solutions de (EH)
Ici, Apeut ne pas être constante. Soit donc (X1,...Xn)un système fonda-
mental de solutions de X0=AX, et Wleur Wronskienne. Pour toute fonc-
tion X:t7−→ Kn, il existe des fonctions numériques ak:I→Ktelles que
pour tout t∈I, X(t) =
n
X
k=0
ak(t)Xk(t). Ces fonctions sont de classe CAcar
A(t) = W−1X(t).
Une telle fonction Xest alors solution de X0=AX +B⇐⇒ W A0=B, que l’on
sait résoudre par quadrature.
4.2 Cas des équations scalaires d’ordre 2
du type x00 +ax0+bx =c(E).
A toute fonction f, on associe X=f
f0, si bien que
fest solution de (E)⇐⇒ X0=0 1
−b−aX+0 c.
Notons aussi (H) : x00 +ax0+bx = 0 Ici, S(H)est un sous-espace vectoriel de
dimension Ede C2(I, K).
Soient (f1, f2)deux solutions de (H). Le Wronskien de la famille (f1, f2)vaut
w=f1f0
2−f2f0 1.
Nous avons montré que ces deux solutions forment une base ⇐⇒ leur wronskien
ne s’annule pas ⇐⇒ leur wronskien n’est pas la fonction nulle.
Détaillons la méthode de variation des constantes :
Proposition 3.1
Soit (f1, f2)un système fondamental de solutions de (H). Soit fune applica-
tion de classe C2sur I. Alors, il existe deux applications de classe C1sur I
telles que ∀t∈I, f=λf1+µf2
f0=λf0
1+µf0 2
De plus, fest solution de (E)⇐⇒ pour tout t∈I, (λ, µ)est solution du
système
∀t∈I, λ0f1+µ0f2= 0
λ0f0
1+µ0f0 2=c
§ 5. Cas de l’équation de Sturm y00 +qy = 0.— cf TD.
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4QUELQUES EXERCICES CLASSIQUES
EXERCICES :
1. Résoudre x3y0−x2y= 1.
2. Résoudre y00 +y= cos3x.
3. Résoudre x(x+ 1)y00 (x)−y0(x)−2y(x)sur R∗
+sachant que x7→ x2est solution.
4. Résoudre (x0= 2x+ 3y+ 3z
y0= 2y
z0=x.
5. Résoudre nx0=x+ 4y+t
y0=x+y+ 1
6. Savoir rechercher des solutions DSE si on sait qu’il en existe.
7. Savoir appliquer un changement de variable suggéré.
8. Montrer qu’une fonction non nulle vérifiant y00 (x) + q(x)y(x)=0pour tout réel x
s’annule au moins une fois.
9. Savoir retrouver l’expression intégrale en fonction de fdes solutions des deux
équations suivantes :
(a) y0+y=f(cf ex I-6).
(b) y00 +y=f(cf ex III-1).
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