Diviser pour Régner Divide and Conquer - ACT - fil

Intro Le principe Exemples
Diviser pour R´ egner
Divide and Conquer
ACT
Sophie Tison
Universit´ e Lille 1
Master Informatique S1
Intro Le principe Exemples
RETOUR SUR LE DERNIER COURS
Praticable
Par “convention”, un algorithme est dit praticable si il est
polynomial, c.` a.d. si sa complexit´ e temporelle dans le pire
des cas est polynomiale.
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LES LIMITES DE LA CONVENTION
- Si un algorithme est exponentiel dans le pire des
cas, il peut ˆ etre polynomial en moyenne; si les
pires cas sont exceptionnels, il peut ˆ etre praticable
...en pratique: certains algos impraticables selon la
d´ efinition ci-dessus sont ... pratiqu´ es tous les jours
(comme le simplexe).
-L’ex´ ecution d’un algorithme dont la complexit´ e
moyenne est de l’ordre de grandeur de n5
microsecondes prendrait 30 ans si n=1000.
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MAIS CE N’EST PAS UNE SI MAUVAISE CONVENTION
... Mˆ EME SI ELLE COMMENCE ` Aˆ ETRE DISCUT´ EE
+ En pratique, il s’av` ere que la plupart des
algorithmes polynˆ omiaux ont un comportement
asymptotique ´ equivalent ` a un polynˆ ome de faible
degr´ e, 2 ou 3.
+ De plus, la classe des algorithmes polynomiaux
a de bonnes propri´ et´ es de clˆ oture (par exemple,
une ”s´ equence” de deux algorithmes
polynomiaux est polynomiale).
+ Enfin, et surtout, elle est ind´ ependante du
mod` ele s´ equentiel “classique” choisi: un
algorithme polynˆ omial pour le mod` ele des
machines de Turing, le sera pour une RAM et
vice-versa .

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ORDRES DE GRANDEUR:EXEMPLES
Exemples de temps d’ex´ ecution en fonction de la taille de la
donn´ ee et de la complexit´ e de l’algorithme, si on suppose
qu’une instruction est de l’ordre de la µs;
T.\C. log n n n log n n22n
10 3µs10µs30µs100µs1000µs
100 7µs100µs700µs1/100s1014 si` ecles
1000 10µs1000µs1/100s1s astronomique
10000 13µs1/100s1/7s1,7mn astronomique
100000 17µs1/10s2s2,8h astronomique
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TROIS PARADIGMES D’ALGORITHMES
IRappels
IParadigmes d’algorithme
IComplexit´
e des probl` emes
IAlgorithmique Avanc´
ee
ICalculabilit´
e
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PARADIGME?
DILBERT COMICS
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TROIS PARADIGMES/SCH´ EMAS D’ALGORITHMES
ALGORITHMIC DESIGN PATTERN
IDiviser pour r´
egner
IProgrammation Dynamique
IAlgorithmes Gloutons

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TROIS PARADIGMES/SCH´ EMAS D’ALGORITHMES
ALGORITHMIC DESIGN PATTERN
IDiviser pour r´
egner
IProgrammation Dynamique
IAlgorithmes Gloutons
Intro Le principe Exemples
DIVISER POUR R´ EGNER CALCULER: LE PRINCIPE
DIVIDE AND CONQUER / DIVIDE UT REGNES / DIVIDE ET IMPERA
Icas de base: savoir r´
esoudre les ”petits” probl` emes.
IDiviser le probl`
eme en sous-probl` emes
IR´
esoudre les sous-probl` emes par induction
ICombiner les solutions des sous-probl`
emes
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DIVISER POUR R´ EGNER: LE SCH ´ EMA
DivReg (Probleme P)
si P est "petit"
CasBase(P);
sinon{
Diviser P en P1, ..Pk;
Combiner_Solution(DivReg(P1),
DivReg(P2),...DivReg(Pk)); }
finsi
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Exemples?

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UN PREMIER EXEMPLE:RECHERCHE DICHOTOMIQUE
VERSION R´ ECURSIVE
//T tri´ e croissant
//retourne Vrai Ssi x pr´ esent dans T[g..d]
boolean rechDico(int x, int g, int d){
if (g>d) return false;
else {
int m=(g+d)/2;
if (T[m]==x) return true;
else if (T[m] < x) return rechDicho(x,m+1,d);
else return rechDicho(x,g,m-1); }
}
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UN PREMIER EXEMPLE:RECHERCHE DICHOTOMIQUE
CORRECTION?
//T tri´ e croissant
//retourne Vrai Ssi x pr´ esent dans T[g..d]
boolean rechDico(int x, int g, int d){
if (g>d) return false;
else {
int m=(g+d)/2;
if (T[m]==x) return true;
else if (T[m] < x) return rechDicho(x,m+1,d);
else return rechDicho(x,g,m-1); }
}
Arrˆ et: d−gd´ ecroˆ ıt strictement ` a chaque appel.
Correction: par induction
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UN PREMIER EXEMPLE:RECHERCHE DICHOTOMIQUE
VERSION R´ ECURSIVE BIS
//T tri´ e croissant
//retourne Vrai SSi x pr´ esent dans T[g..d]
//g<=d
boolean rechDico(int x, int g, int d) {
if (g>=d) return (T[g]==x);
else {
int m=(g+d)/2;
if (T[m] < x) return rechDicho(x,m+1,d);
else return rechDicho(x,g,m); }
}
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RECHERCHE DICHOTOMIQUE
VERSION IT ´ ERATIVE
// T tri´ e croissant
// T.length >=1
// retourne Vrai Ssi n pr´ esent dans T
boolean dicho(int x) {
int g=0;
int d=T.length-1;
while (g<d) {
int m=(g+d)/2;
if (T[m] < x) g=m+1; else d=m; }
return (T[g]==x);
}

Intro Le principe Exemples
RECHERCHE DICHOTOMIQUE
CORRECTION?
// T tri´ e croissant
// T.length >=1
// retourne Vrai SSi n pr´ esent dans T
boolean dicho(int x) {
int g=0;
int d=T.length-1;
while (g<d) {
// Invariant: T tri´ e
g <=d et si x est dans T, T[g]<=x<=T[d]
int m=(g+d)/2;
if (T[m] < x) g=m+1; else d=m;}
return (T[g]==x);
}
Arrˆ et: d−gd´ ecroˆ ıt strictement.
Intro Le principe Exemples
LA COMPLEXIT ´ E?
VERSION IT ´ ERATIVE
Soit n=T.length.
Ile nombre de boucles est de l’ordre de log n,
Ichaque boucle est en O(1)
Il’algorithme est en O(log n)
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LA COMPLEXIT ´ E?
VERSION R ´ ECURSIVE
Soit A(n)est le nombre d’appels r´ ecursifs faits pour un tableau
de taille n.
A(1) = 1, A(n) = 1+A(n/2),
L’algorithme est en O(log n)
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Un autre exemple?