Ch 01 - Compléments d`algèbre générale

1. Compléments d’algèbre générale
II - Compléments sur les groupes
Dans tout le paragraphe, (G, .)désigne un groupe (souvent désigné simplement par la lettre G) et eson
élément neutre.
1) Parties génératrices d’un groupe
Propriété : l’intersection d’une famille de sous-groupes de Gest un sous-groupe de G.
Théorème et définition : étant donnée une partie Ade G, l’intersection Hdes sous-groupes de G
contenant Aest le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de G
contenant A.
Si A=∅, alors H={e}, sinon Hest l’ensemble des produits (finis !)
d’éléments de Aet d’inverses d’éléments de A.
Hest appelé le sous-groupe de Gengendré par A, noté Gr A.
Exemple : un élément ade Gétant fixé, Gr {a}est aussi appelé le sous-groupe engendré par aet noté
Gr a; c’est {a
n
, n ∈Z}, parfois noté a
Z
; en notation additive, pour un groupe abélien
(G, +), le sous-groupe engendré par aest noté Za={na, n ∈Z}.
Définition : on dit qu’une partie Ade Gengendre Gsi et seulement si Gr A=G.
On dit que Gest un groupe monogène si et seulement si Gest engendré par un singleton.
On dit que Gest un groupe cyclique si et seulement si Gest monogène et fini.
Le cardinal d’un groupe fini Gest aussi appelé ordre de G.
Propriété : tout groupe monogène est commutatif.
Exemples : ∗(Z,+) est monogène, engendré par 1 et par −1;
∗pour tout nde N
∗
, le groupe U
n
des racines n-ièmes de l’unité dans Cest cyclique ;
∗S
n
, groupe symétrique de [[1, n]], est engendré par l’ensemble des transpositions ; il est
cyclique si et seulement si n≤2;
∗si Eest un espace vectoriel euclidien, son groupe orthogonal O(E)est engendré par
l’ensemble des réflexions.
2) Sous-groupes de (Z,+) — Ordre d’un élément d’un groupe
Théorème : les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ,n∈N.
Pour tout sous-groupe Hde (Z,+), il existe un unique nde Ntel que H=nZ.
Définition : soit a∈G;l’ordre de aest le nombre d’éléments du sous-groupe de Gengendré par a
(infini ou entier naturel non nul).
Morphisme k→ a
k
: soit a∈G; l’application ϕ
a
de Zdans Gqui à kassocie a
k
est un morphisme de
groupes, de (Z,+) dans (G, .). Son image est le sous-groupe de Gengendré par a. Son noyau est un
sous-groupe de (Z,+) ; soit donc nl’entier naturel tel que
nZ= Ker ϕ
a
=k∈Z/ a
k
=e.
•Soit n= 0, c’est-à-dire que ϕ
a
est injectif : dans ce cas, l’application k→ a
k
est un isomorphisme
de (Z,+) dans (Gr a, .)et aest d’ordre infini.
•Soit n∈N
∗
: dans ce cas, Gr aest le groupe cyclique e, a, . . . , a
n−1
,aest d’ordre net
∀k∈Za
k
=e⇔k∈nZ.
NB : lorsque aest d’ordre fini n, on a n= min k∈N
∗
/ a
k
=e.
Exemple : ordres des éléments de U
6
, ordres des éléments de S
3
.

1. Compléments d’algèbre générale Page 2
IIII - Idéaux d’un anneau commutatif — Utilisations arithmétiques
1) Morphismes d’anneaux
Définition : soient (A, +,×)et (A
′
,+,×)deux anneaux ; ϕest un morphisme (ou homomorphisme)
d’anneaux de (A, +,×)dans (A
′
,+,×)si et seulement si ϕest une application de Adans
A
′
telle que :
•ϕ(1
A
) = 1
A
′
• ∀(x, y)∈A
2
ϕ(x+y) = ϕ(x) + ϕ(y)
• ∀(x, y)∈A
2
ϕ(x×y) = ϕ(x)×ϕ(y)
Si, de plus, ϕest bijective, on dit que ϕest un isomorphisme.
Si (A
′
,+,×) = (A, +,×)et ϕbijective, on dit que ϕest un automorphisme de (A, +,×).
Propriété : avec les notations précédentes, l’image directe d’un sous-anneau de Aest un sous-anneau
de A
′
; l’image réciproque d’un sous-anneau de A
′
est un sous-anneau de A.
En particulier, l’image de ϕ, à savoir Im ϕ=ϕ(A)est un sous-anneau de A
′
.
Attention ! Le noyau de ϕ, à savoir Ker ϕ=ϕ
−1
({0
A
′
})est un sous-groupe additif de A, mais rarement
un sous-anneau (en fait si et seulement si ϕest l’application nulle !).
Exemple : pour tout anneau (A, +,×), il existe un unique morphisme d’anneaux de Zdans A, qui à
kassocie k1
A
(itéré pour l’addition dans A).
2) Idéaux d’un anneau commutatif
Dans tout ce paragraphe, (A, +,×)désigne un anneau commutatif (souvent désigné simplement par la
lettre A), 0 et 1 les éléments neutres respectifs de +et ×.
Définition : Iest un idéal de Asi et seulement si Iest une partie non vide de Atelle que
∀(x, y)∈ I
2
x+y∈ I (stabilité pour l’addition)
∀λ∈A∀x∈ I λx ∈ I (stabilité forte pour la multiplication) .
Exemple fondamental : pour xdonné dans A, l’ensemble des multiples de x, noté xA, ou encore Ax,
est un idéal de A, appelé idéal engendré par x.
xA est le plus petit idéal de Acontenant x(pour l’inclusion).
Propriété : soient I,Jdeux idéaux de A.
∗ I +J={x+y, (x, y)∈ I × J } est un idéal de A; c’est le plus petit idéal de A
contenant Iet J.
∗ I ∩ J est un idéal de A; c’est le plus grand idéal de Acontenu dans Iet dans J.
3) Divisibilité dans un anneau intègre
Aest toujours un anneau commutatif, supposé en outre intègre.
Définition : étant donnés deux éléments x,yde A, on dit que xdivise y, que xest un diviseur de y
ou encore que yest un multiple de xsi et seulement s’il existe qdans Atel que y=xq.
Si c’est le cas, on note x|y.
Propriété : soient x, y dans A.x|ysi et seulement si yA ⊂xA ;
xA =yA si et seulement s’il existe uinversible dans Atel que y=ux.
Diviseurs communs : soient d,x,ydans A;dest un diviseur commun à xet ysi et seulement si dA
contient à la fois xA et yA,i.e.si et seulement si xA +yA ⊂dA.
Multiples communs : de même, pour m,x,ydans A,mest un multiple commun à xet ysi et seulement
si mA ⊂xA ∩yA.

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4) Idéaux de Z , PGCD — PPCM
Théorème fondamental : les idéaux de Zsont les nZ,n∈N; pour tout idéal Ide Z, il existe un
unique entier naturel ntel que I=nZ.
NB : on dit que (Z,+,×)est un anneau principal (définition hors programme).
Caractérisation du PGCD
Soient a,b,ddans Z; nous avons vu que dest un diviseur commun à aet bsi et seulement si
aZ+bZ⊂dZ, soit si et seulement si d|δ, où δest l’unique entier naturel tel que aZ+bZ=δZ.
δest le plus grand commun diviseur de aet b, noté PGCD (a, b);δest caractérisé par
δ∈Net δZ=aZ+bZ.
Notons que : aZ+bZ=au +bv, (u, v)∈Z
2
.
Définition : deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
Propriété : deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont aucun facteur premier
commun.
Attention ! Ne pas confondre “deux entiers sont premiers entre eux” et “aucun des deux ne divise
l’autre” ! (4 et 6 ne sont pas premiers entre eux tandis qu’aucun des deux ne divise
l’autre...)
Théorème de Bézout : soient a,bdans Z;aet bsont premiers entre eux si et seulement si
∃(u, v)∈Z
2
au +bv = 1.
Théorème de Gauss : soient a,b,cdans Z;
si adivise le produit bc et si aest premier avec b, alors adivise c.
Attention ! Dans l’application du théorème de Gauss, ne pas remplacer l’hypothèse “aest premier
avec b” par “ane divise pas b” : essayer a= 4,b=c= 2 . . .
NB : lorsque aet bsont premiers entre eux, il n’y a pas d’unicité du couple (u, v)vérifiant l’identité
de Bézout au +bv = 1. Si (u
0
, v
0
)en est un, l’ensemble de ces couples est
(u
0
+bq, v
0
−aq), q ∈Z.
Conseil pratique : comme tous ces résultats concernent les entiers premiers entre eux, penser à utiliser
la propriété suivante. . .
Propriété : a,b,δétant trois entiers naturels non nuls, δ= PGCD (a, b)si et seulement s’il existe a
′
et b
′
premiers entre eux tels que a=δa
′
et b=δb
′
.
Algorithme d’Euclide étendu (voir la fonction igcdex de Maple)
Étant donnés deux entiers non nuls a,b, l’algorithme suivant fournit δ= PGCD (a, b)et un couple
(u, v)d’entiers vérifiant l’identité de Bézout au +bv =δ.
{initialisation}
p
0
←a;u
0
←1 ; v
0
←0 ;
p
1
←b;u
1
←0 ; v
1
←1 ;
n←0 ;
{boucle}
tant que p
n+1
= 0 faire
n←n+ 1 ;
q
n
←p
n−1
DIV p
n
;{quotient de la division euclidienne de p
n−1
par p
n
}
p
n+1
←p
n−1
−p
n
q
n
;{c’est le reste de la division précédente}
u
n+1
←u
n−1
−u
n
q
n
;
v
n+1
←v
n−1
−v
n
q
n
;
fin_faire ;
L’algorithme se termine puisqu’à chaque itération p
n+1
< p
n
.
À la sortie de la boucle, p
n+1
est nul et nous disposons des résultats suivants :
p
n
= PGCD (a, b)et au
n
+bv
n
=p
n
.

1. Compléments d’algèbre générale Page 4
Par conséquent, dans le cas où aet bsont premiers entre eux, p
n
= 1 et u=u
n
,v=v
n
sont des entiers
relatifs qui vérifient l’identité de Bézout au +bv = 1.
Dém. : on vérifie facilement par récurrence que, pour tout k≤n,
aZ+bZ=p
k
Z+p
k+1
Zet au
k
+bv
k
=p
k
.
En particulier,
aZ+bZ=p
n
Zet au
n
+bv
n
=p
n
.
Les résultats ci-dessus en résultent.
Exemple : pour a= 2 010 et b= 1 991, j’obtiens :
n p
n
u
n
v
n
q
n
0 2 010 1 0
1 1 991 0 1 1
2 19 1 −1 104
3 15 −104 105 1
4 4 105 −106 3
5 3 −419 423 1
6 1 524 −529 3
2 010 et 1 991 sont donc premiers entre eux et 2 010 ×524 −1 991 ×529 = 1.
Caractérisation du PPCM :
aet bétant deux entiers, l’ensemble des mutiples communs à aet best aZ∩bZ; c’est un idéal de Z,
soit donc µl’unique entier naturel tel que µZ=aZ∩bZ. Les multiples communs à aet bsont ainsi les
multiples de µ.
µest le plus petit commun multiple de aet b, noté PPCM (a, b).
Propriété : pour aet bentiers naturels, on a PGCD (a, b)×PPCM (a, b) = a×b.
NB : dans N, la relation de divisibilité est une relation d’ordre. Dans l’ensemble ordonné (N,|), on a
PGCD (a, b) = inf (a, b)et PPCM (a, b) = sup (a, b).
5) Idéaux de K[X] , PGCD — PPCM
Dans tout ce paragraphe, Kdésigne un sous-corps de C.
Pour alléger, on notera (A) = AK [X]l’ensemble des multiples d’un polynôme A(i.e. l’idéal de K[X]
engendré par A).
Théorème fondamental : les idéaux de K[X]sont les (A),A∈K[X]((K[X],+,×)est un anneau
principal). Pour tout idéal Ide K[X], distinct de {0}, il existe un unique polynôme unitaire Ade
K[X]tel que I= (A).
Dém. (fondamentale aussi !) Soit Iun idéal de K[X]. Si I={0}, alors I= (0) ! Je suppose
dorénavant Inon réduit à {0}et je vais exhiber un élément de degré minimal dans I: l’ensemble
E={deg P , P ∈ I\ {0}} est une partie non vide de N; il admet donc un plus petit élément d= min E
et je dispose de Adans I\ {0}tel que d= deg A(dappartient à E!). Montrons que I= (A).
•Puisque Aest dans I, j’ai (A)⊂ I (stabilité forte de Ipour la multiplication).
•Pour montrer l’autre inclusion, je considère Pélément de Iet j’écris la division euclidienne de P
par A:P=AQ +R;Pet AQ sont dans Idonc R=P−AQ ∈ I ; or deg R < deg A, ainsi R
est nécessairement nul, sinon deg Rserait dans E, d’où une contradiction avec le choix de A! Par
conséquent, P=AQ appartient bien à (A), ceci valant pour tout élément Pde I.
J’ai donc bien trouvé Adans K[X]tel que I= (A).
La dernière assertion du théorème découle de la propriété vue au § 3) et du fait que les éléments
inversibles de K[X]sont les scalaires non nuls. En effet, si Iest un idéal non réduit à {0}, je dispose
d’après ce qui précède de Anon nul dans K[X]tel que I= (A)et les polynômes de K[X]qui engendrent
Isont exactement les αA,α∈K
∗
; or parmi ces polynômes se trouve un et un seul polynôme unitaire
(obtenu lorsque αest l’inverse du coefficient dominant de A).

1. Compléments d’algèbre générale Page 5
Caractérisation du PGCD et du PPCM
Comme dans le paragraphe précédent, la notion d’idéal donne une nouvelle vision. . . Soient A,Bdans
K[X].
•PGCD (A, B)est l’unique polynôme ∆nul ou unitaire tel que (∆) = (A) + (B)
•PPCM (A, B)est l’unique polynôme Mnul ou unitaire tel que (M) = (A)∩(B)
Définition : deux polynômes A, B de K[X]sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD
vaut 1 (c’est-à-dire si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont les constantes
non nulles).
Propriété : soient A, B dans K[X]; les assertions suivantes sont équivalentes :
a) Aet Bsont premiers entre eux
b) Aet Bn’ont aucun facteur irréductible commun
c) Aet Bn’ont aucune racine commune dans C.
Attention ! X
2
+1 et XX
2
+ 1n’ont aucune racine commune dans R, mais ils ne sont pas premiers
entre eux.
Exemple : deux polynômes irréductibles et unitaires distincts sont premiers entre eux, notamment
X−aet X−bsi a=b.
Attention ! Ne pas confondre “deux polynômes sont premiers entre eux” et “aucun des deux ne
divise l’autre” ! (1 et Xsont premiers entre eux alors que 1 divise X;X(X−1) et
X(X−2) ne sont pas premiers entre eux alors qu’aucun des deux ne divise l’autre. . . )
Théorème de Bézout : soient A, B dans K[X];Aet Bsont premiers entre eux si et seulement si
∃(U, V )∈K[X]
2
AU +BV = 1.
Théorème de Gauss : soient A, B, C dans K[X];
si Adivise le produit BC et si Aest premier avec B, alors Adivise C.
Attention ! Dans l’application du théorème de Gauss, ne pas remplacer l’hypothèse “Aest premier
avec B” par “Ane divise pas B” : essayer A=X
2
,B=C=X . . .
NB : il n’y a pas d’unicité du couple (U, V )vérifiant l’identité de Bézout AU +BV = 1, lorsque Aet
Bsont premiers entre eux. Si (U
0
, V
0
)en est un, l’ensemble de ces couples est
(U
0
+BQ, V
0
−AQ), Q ∈K[X].
Obtention pratique d’un couple (U, V )(voir la fonction gcdex de Maple)
•Penser à utiliser la formule sur binôme, notamment pour développer [(X−a)−(X−b)]
n
(qui vaut
par ailleurs (b−a)
n
!). Par exemple, pour trouver (U, V )tel que (X+ 1)
3
U+ (X−1)
2
V= 1,
développer [(X+ 1) −(X−1)]
4
:
[(X+ 1) −(X−1)]
4
=
4
k=0
(−1)
k
4
k
(X+ 1)
4−k
(X−1)
k
.
Dans les deux premiers termes, je peux mettre (X+ 1)
3
en facteur et, dans les trois derniers,
(X−1)
2
:
2
4
= (X+ 1)
3
(X+ 1) −4 (X−1) + (X−1)
2
6 (X+ 1)
2
−4 (X+ 1) (X−1) + (X−1)
2
On en déduit une solution :
U=1
16 (−3X+ 5) ; V=1 16 3X
2
+ 10X+ 11.
•Algorithme d’Euclide étendu : cf. le paragraphe précédent.