Ch 01 - Compléments d`algèbre générale

1. Compléments d’algèbre générale
I - Compléments sur les groupes
Dans tout le paragraphe, (G, .) désigne un groupe (souvent désigné simplement par la lettre G) et e son
élément neutre.
1) Parties génératrices d’un groupe
Propriété : l’intersection d’une famille de sous-groupes de G est un sous-groupe de G.
Théorème et définition : étant donnée une partie A de G, l’intersection H des sous-groupes de G
contenant A est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de G
contenant A.
Si A = ∅, alors H = {e}, sinon H est l’ensemble des produits (finis !)
d’éléments de A et d’inverses d’éléments de A.
H est appelé le sous-groupe de G engendré par A, noté Gr A.
Exemple : un élément a de G étant fixé, Gr {a} est aussi appelé le sous-groupe engendré par a et noté
Gr a ; c’est {an , n ∈ Z}, parfois noté aZ ; en notation additive, pour un groupe abélien
(G, +), le sous-groupe engendré par a est noté Za = {na, n ∈ Z}.
Définition : on dit qu’une partie A de G engendre G si et seulement si Gr A = G.
On dit que G est un groupe monogène si et seulement si G est engendré par un singleton.
On dit que G est un groupe cyclique si et seulement si G est monogène et fini.
Le cardinal d’un groupe fini G est aussi appelé ordre de G.
Propriété : tout groupe monogène est commutatif.
Exemples : ∗ (Z, +) est monogène, engendré par 1 et par −1 ;
∗ pour tout n de N∗ , le groupe Un des racines n-ièmes de l’unité dans C est cyclique ;
∗ Sn , groupe symétrique de [[1, n]], est engendré par l’ensemble des transpositions ; il est
cyclique si et seulement si n ≤ 2 ;
∗ si E est un espace vectoriel euclidien, son groupe orthogonal O (E) est engendré par
l’ensemble des réflexions.
2) Sous-groupes de (Z, +) — Ordre d’un élément d’un groupe
Théorème : les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ, n ∈ N.
Pour tout sous-groupe H de (Z, +), il existe un unique n de N tel que H = nZ.
Définition : soit a ∈ G ; l’ordre de a est le nombre d’éléments du sous-groupe de G engendré par a
(infini ou entier naturel non nul).
Morphisme k → ak : soit a ∈ G ; l’application ϕa de Z dans G qui à k associe ak est un morphisme de
groupes, de (Z, +) dans (G, .). Son image est le sous-groupe de G engendré par a. Son noyau est un
sous-groupe de (Z, +) ; soit donc n l’entier naturel tel que
nZ = Ker ϕa = k ∈ Z / ak = e .
• Soit n = 0, c’est-à-dire que ϕa est injectif : dans ce cas, l’application k → ak est un isomorphisme
de (Z, +) dans (Gr a, .) et a est d’ordre infini.
• Soit n ∈ N∗ : dans ce cas, Gr a est le groupe cyclique e, a, . . . , an−1 , a est d’ordre n et
∀k ∈ Z ak = e ⇔ k ∈ nZ.
NB : lorsque a est d’ordre fini n, on a n = min k ∈ N∗ / ak = e .
Exemple : ordres des éléments de U6 , ordres des éléments de S3 .
1. Compléments d’algèbre générale
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II - Idéaux d’un anneau commutatif — Utilisations arithmétiques
1) Morphismes d’anneaux
Définition : soient (A, +, ×) et (A′ , +, ×) deux anneaux ; ϕ est un morphisme (ou homomorphisme)
d’anneaux de (A, +, ×) dans (A′ , +, ×) si et seulement si ϕ est une application de A dans
A′ telle que :
• ϕ(1A ) = 1A′
• ∀(x, y) ∈ A2 ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)
• ∀(x, y) ∈ A2 ϕ(x × y) = ϕ(x) × ϕ(y)
Si, de plus, ϕ est bijective, on dit que ϕ est un isomorphisme.
Si (A′ , +, ×) = (A, +, ×) et ϕ bijective, on dit que ϕ est un automorphisme de (A, +, ×).
Propriété : avec les notations précédentes, l’image directe d’un sous-anneau de A est un sous-anneau
de A′ ; l’image réciproque d’un sous-anneau de A′ est un sous-anneau de A.
En particulier, l’image de ϕ, à savoir Im ϕ = ϕ (A) est un sous-anneau de A′ .
Attention ! Le noyau de ϕ, à savoir Ker ϕ = ϕ−1 ({0A′ }) est un sous-groupe additif de A, mais rarement
un sous-anneau (en fait si et seulement si ϕ est l’application nulle !).
Exemple : pour tout anneau (A, +, ×), il existe un unique morphisme d’anneaux de Z dans A, qui à
k associe k1A (itéré pour l’addition dans A).
2) Idéaux d’un anneau commutatif
Dans tout ce paragraphe, (A, +, ×) désigne un anneau commutatif (souvent désigné simplement par la
lettre A), 0 et 1 les éléments neutres respectifs de + et ×.
Définition : I est un idéal de A si et seulement si I est une partie non vide de A telle que
∀ (x, y) ∈ I 2 x + y ∈ I
(stabilité pour l’addition)
.
∀λ ∈ A ∀x ∈ I λx ∈ I (stabilité forte pour la multiplication)
Exemple fondamental : pour x donné dans A, l’ensemble des multiples de x, noté xA, ou encore Ax,
est un idéal de A, appelé idéal engendré par x.
xA est le plus petit idéal de A contenant x (pour l’inclusion).
Propriété : soient I, J deux idéaux de A.
∗ I + J = {x + y, (x, y) ∈ I × J } est un idéal de A ; c’est le plus petit idéal de A
contenant I et J .
∗ I ∩ J est un idéal de A ; c’est le plus grand idéal de A contenu dans I et dans J .
3) Divisibilité dans un anneau intègre
A est toujours un anneau commutatif, supposé en outre intègre.
Définition : étant donnés deux éléments x, y de A, on dit que x divise y, que x est un diviseur de y
ou encore que y est un multiple de x si et seulement s’il existe q dans A tel que y = xq.
Si c’est le cas, on note x|y.
Propriété : soient x, y dans A. x|y si et seulement si yA ⊂ xA ;
xA = yA si et seulement s’il existe u inversible dans A tel que y = ux.
Diviseurs communs : soient d, x, y dans A ; d est un diviseur commun à x et y si et seulement si dA
contient à la fois xA et yA, i.e.si et seulement si xA + yA ⊂ dA.
Multiples communs : de même, pour m, x, y dans A, m est un multiple commun à x et y si et seulement
si mA ⊂ xA ∩ yA.
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4) Idéaux de Z, PGCD — PPCM
Théorème fondamental : les idéaux de Z sont les nZ, n ∈ N ; pour tout idéal I de Z, il existe un
unique entier naturel n tel que I = nZ.
NB : on dit que (Z, +, ×) est un anneau principal (définition hors programme).
Caractérisation du PGCD
Soient a, b, d dans Z ; nous avons vu que d est un diviseur commun à a et b si et seulement si
aZ + bZ ⊂ dZ, soit si et seulement si d|δ, où δ est l’unique entier naturel tel que aZ + bZ = δZ.
δ est le plus grand commun diviseur de a et b, noté PGCD (a, b) ; δ est caractérisé par
δ ∈ N et δZ = aZ + bZ.
Notons que : aZ + bZ = au + bv, (u, v) ∈ Z2 .
Définition : deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
Propriété : deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont aucun facteur premier
commun.
Attention ! Ne pas confondre “deux entiers sont premiers entre eux” et “aucun des deux ne divise
l’autre” ! (4 et 6 ne sont pas premiers entre eux tandis qu’aucun des deux ne divise
l’autre. . . )
Théorème de Bézout :
soient a, b dans Z ; a et b sont premiers entre eux si et seulement si
∃ (u, v) ∈ Z2 au + bv = 1.
Théorème de Gauss :
soient a, b, c dans Z ;
si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
Attention ! Dans l’application du théorème de Gauss, ne pas remplacer l’hypothèse “a est premier
avec b” par “a ne divise pas b” : essayer a = 4, b = c = 2 . . .
NB : lorsque a et b sont premiers entre eux, il n’y a pas d’unicité du couple (u, v) vérifiant l’identité
de Bézout au + bv = 1. Si (u0 , v0 ) en est un, l’ensemble de ces couples est
(u0 + bq, v0 − aq) , q ∈ Z .
Conseil pratique : comme tous ces résultats concernent les entiers premiers entre eux, penser à utiliser
la propriété suivante. . .
Propriété : a, b, δ étant trois entiers naturels non nuls, δ = PGCD (a, b) si et seulement s’il existe a′
et b′ premiers entre eux tels que a = δa′ et b = δb′ .
Algorithme d’Euclide étendu (voir la fonction igcdex de Maple)
Étant donnés deux entiers non nuls a, b, l’algorithme suivant fournit δ = PGCD (a, b) et un couple
(u, v) d’entiers vérifiant l’identité de Bézout au + bv = δ.
{initialisation}
p0 ← a ; u0 ← 1 ; v0 ← 0 ;
p1 ← b ; u1 ← 0 ; v1 ← 1 ;
n←0;
{boucle}
tant que pn+1 = 0 faire
n←n+1;
qn ← pn−1 DIV pn ; {quotient de la division euclidienne de pn−1 par pn }
pn+1 ← pn−1 − pn qn ; {c’est le reste de la division précédente}
un+1 ← un−1 − un qn ;
vn+1 ← vn−1 − vn qn ;
fin_faire ;
L’algorithme se termine puisqu’à chaque itération pn+1 < pn .
À la sortie de la boucle, pn+1 est nul et nous disposons des résultats suivants :
pn = PGCD (a, b)
et aun + bvn = pn .
1. Compléments d’algèbre générale
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Par conséquent, dans le cas où a et b sont premiers entre eux, pn = 1 et u = un , v = vn sont des entiers
relatifs qui vérifient l’identité de Bézout au + bv = 1.
Dém. : on vérifie facilement par récurrence que, pour tout k ≤ n,
aZ + bZ = pk Z + pk+1 Z et auk + bvk = pk .
En particulier,
aZ + bZ = pn Z et aun + bvn = pn .
Les résultats ci-dessus en résultent.
Exemple : pour a = 2 010 et b = 1 991, j’obtiens :
n
0
1
2
3
4
5
6
pn
2 010
1 991
19
15
4
3
1
un
1
0
1
−104
105
−419
524
vn
0
1
−1
105
−106
423
−529
qn
1
104
1
3
1
3
2 010 et 1 991 sont donc premiers entre eux et 2 010 × 524 − 1 991 × 529 = 1.
Caractérisation du PPCM :
a et b étant deux entiers, l’ensemble des mutiples communs à a et b est aZ ∩ bZ ; c’est un idéal de Z,
soit donc µ l’unique entier naturel tel que µZ = aZ ∩ bZ. Les multiples communs à a et b sont ainsi les
multiples de µ.
µ est le plus petit commun multiple de a et b, noté PPCM (a, b).
Propriété : pour a et b entiers naturels, on a PGCD (a, b) × PPCM (a, b) = a × b.
NB : dans N, la relation de divisibilité est une relation d’ordre. Dans l’ensemble ordonné (N, |), on a
PGCD (a, b) = inf (a, b)
et
PPCM (a, b) = sup (a, b) .
5) Idéaux de K [X], PGCD — PPCM
Dans tout ce paragraphe, K désigne un sous-corps de C.
Pour alléger, on notera (A) = AK [X] l’ensemble des multiples d’un polynôme A (i.e. l’idéal de K [X]
engendré par A).
Théorème fondamental : les idéaux de K [X] sont les (A), A ∈ K [X] ((K [X] , +, ×) est un anneau
principal ). Pour tout idéal I de K [X], distinct de {0}, il existe un unique polynôme unitaire A de
K [X] tel que I = (A).
Dém. (fondamentale aussi !) Soit I un idéal de K [X]. Si I = {0}, alors I = (0) ! Je suppose
dorénavant I non réduit à {0} et je vais exhiber un élément de degré minimal dans I : l’ensemble
E = {deg P , P ∈ I\ {0}} est une partie non vide de N ; il admet donc un plus petit élément d = min E
et je dispose de A dans I\ {0} tel que d = deg A (d appartient à E !). Montrons que I = (A).
• Puisque A est dans I, j’ai (A) ⊂ I (stabilité forte de I pour la multiplication).
• Pour montrer l’autre inclusion, je considère P élément de I et j’écris la division euclidienne de P
par A : P = AQ + R ; P et AQ sont dans I donc R = P − AQ ∈ I ; or deg R < deg A, ainsi R
est nécessairement nul, sinon deg R serait dans E, d’où une contradiction avec le choix de A ! Par
conséquent, P = AQ appartient bien à (A), ceci valant pour tout élément P de I.
J’ai donc bien trouvé A dans K [X] tel que I = (A).
La dernière assertion du théorème découle de la propriété vue au § 3) et du fait que les éléments
inversibles de K [X] sont les scalaires non nuls. En effet, si I est un idéal non réduit à {0}, je dispose
d’après ce qui précède de A non nul dans K [X] tel que I = (A) et les polynômes de K [X] qui engendrent
I sont exactement les αA, α ∈ K ∗ ; or parmi ces polynômes se trouve un et un seul polynôme unitaire
(obtenu lorsque α est l’inverse du coefficient dominant de A).
1. Compléments d’algèbre générale
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Caractérisation du PGCD et du PPCM
Comme dans le paragraphe précédent, la notion d’idéal donne une nouvelle vision. . . Soient A, B dans
K [X].
• PGCD (A, B) est l’unique polynôme ∆ nul ou unitaire tel que (∆) = (A) + (B)
• PPCM (A, B) est l’unique polynôme M nul ou unitaire tel que (M) = (A) ∩ (B)
Définition : deux polynômes A, B de K [X] sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD
vaut 1 (c’est-à-dire si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont les constantes
non nulles).
Propriété : soient A, B dans K [X] ; les assertions suivantes sont équivalentes :
a) A et B sont premiers entre eux
b) A et B n’ont aucun facteur irréductible commun
c) A et B n’ont aucune racine commune dans C.
Attention ! X 2 + 1 et X X 2 + 1 n’ont aucune racine commune dans R, mais ils ne sont pas premiers
entre eux.
Exemple : deux polynômes irréductibles et unitaires distincts sont premiers entre eux, notamment
X − a et X − b si a = b.
Attention ! Ne pas confondre “deux polynômes sont premiers entre eux” et “aucun des deux ne
divise l’autre” ! (1 et X sont premiers entre eux alors que 1 divise X ; X (X − 1) et
X (X − 2) ne sont pas premiers entre eux alors qu’aucun des deux ne divise l’autre. . . )
Théorème de Bézout :
soient A, B dans K [X] ; A et B sont premiers entre eux si et seulement si
∃ (U, V ) ∈ K [X]2 AU + BV = 1.
Théorème de Gauss :
soient A, B, C dans K [X] ;
si A divise le produit BC et si A est premier avec B, alors A divise C.
Attention ! Dans l’application du théorème de Gauss, ne pas remplacer l’hypothèse “A est premier
avec B” par “A ne divise pas B” : essayer A = X 2 , B = C = X . . .
NB : il n’y a pas d’unicité du couple (U, V ) vérifiant l’identité de Bézout AU + BV = 1, lorsque A et
B sont premiers entre eux. Si (U0 , V0 ) en est un, l’ensemble de ces couples est
(U0 + BQ, V0 − AQ) , Q ∈ K [X] .
Obtention pratique d’un couple (U, V ) (voir la fonction gcdex de Maple)
• Penser à utiliser la formule sur binôme, notamment pour développer [(X − a) − (X − b)]n (qui vaut
par ailleurs (b − a)n !). Par exemple, pour trouver (U, V ) tel que (X + 1)3 U + (X − 1)2 V = 1,
développer [(X + 1) − (X − 1)]4 :
4
[(X + 1) − (X − 1)] =
4
k=0
(−1)k
4 k
(X + 1)4−k (X − 1)k .
Dans les deux premiers termes, je peux mettre (X + 1)3 en facteur et, dans les trois derniers,
(X − 1)2 :
24 = (X + 1)3 (X + 1) − 4 (X − 1) + (X − 1)2 6 (X + 1)2 − 4 (X + 1) (X − 1) + (X − 1)2
On en déduit une solution :
1 2
1
(−3X + 5) ; V =
3X + 10X + 11 .
U=
16
16
• Algorithme d’Euclide étendu : cf. le paragraphe précédent.
1. Compléments d’algèbre générale
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III - Congruences, anneaux Z/nZ
Dans tout le paragraphe, n est fixé dans N∗ .
1) Relation de congruence modulo un entier n > 0
Définition : soient a, b dans Z ; on dit que a est congru à b modulo n si et seulement si a − b est un
multiple de n. On note dans ce cas a ≡ b modulo n (ou encore a ≡ b mod n).
Propriétés : la relation de congruence modulo n est
∗ réflexive : ∀a ∈ Z a ≡ a mod n
∗ symétrique : ∀ (a, b) ∈ Z2
∗ transitive : ∀ (a, b, c) ∈ Z3
a ≡ b mod n ⇒ b ≡ a mod n
a ≡ b mod n et b ≡ c mod n ⇒ a ≡ c mod n
On dit que c’est une relation d’équivalence (définition hors programme).
Définition : soit a dans Z ; la classe de congruence de a modulo n est l’ensemble des entiers relatifs
congrus à a modulo n. C’est l’ensemble
a + nZ = {a + nq, q ∈ Z}
souvent noté πn (a) ou a s’il n’y pas d’ambiguïté.
Théorème et définition : il existe exactement n classes de congruence modulo n ; elles constituent
l’ensemble quotient Z/nZ et l’on a
Z/nZ = r, r ∈ [[0, n − 1]] = 0, 1, . . . , n − 1 .
2) Compatibilité avec les opérations, anneau Z/nZ
Propriété : la relation de congruence modulo n est
• compatible avec l’addition : si a ≡ a′ mod n et b ≡ b′ mod n, alors a + b ≡ a′ + b′ mod n
• compatible avec la multiplication : si a ≡ a′ mod n et b ≡ b′ mod n, alors ab ≡ a′ b′ mod n
Corollaire : pour x, y éléments de Z/nZ, on dispose de a et b dans Z tels que x = a et y = b.
De plus les classes de congruence a + b et ab sont indépendantes du choix de a et de b tels
que x = a et y = b. On peut donc poser x + y = a + b et x × y = ab. On a ainsi
∀ (a, b) ∈ Z2
a + b = a + b et a × b = ab
Théorème : avec les opérations + et × définies ci-dessus, (Z/nZ, +, ×) est un anneau commutatif.
Le morphisme d’anneaux πn : k → k est appelé morphisme canonique de Z dans Z/nZ.
Exemples : Z/2Z est un corps, mais Z/4Z n’est pas intègre. . .
3) (Z/nZ, +) et les groupes cycliques
Théorème et définition : (Z/nZ, +) est un groupe cyclique d’ordre n ; ses générateurs sont les k où
k est un entier premier avec n.
Théorème : soit (G, .) un groupe cyclique d’ordre n. (G, .) est isomorphe à (Z/nZ, +)
Plus précisément, soit ω un générateur de G. Le morphisme φ : k → ω k de (Z, +) dans
(G, .) a pour noyau nZ et se factorise en φ = ψ ◦ πn , où ψ : k → ω k est un isomorphisme
de (Z/nZ, +) dans (G, .).
En particulier, les générateurs de G sont les ω k où k est premier avec n.
Exemple : les générateurs du groupe (Un , ×) sont les e2ikπ/n où k est premier avec n.
4) Éléments inversibles de (Z/nZ, +, ×)
Théorème : les éléments inversibles de l’anneau Z/nZ sont les k, où k est un entier premier avec n.
Corollaire : l’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
1. Compléments d’algèbre générale
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5) Indicatrice d’Euler
Définition : on note ϕ(n) le cardinal de {r ∈ [[0, n − 1]] / PGCD (r, n) = 1}.
C’est le nombre de générateurs du groupe additif (Z/nZ, +), ainsi que le nombre d’éléments
inversibles de l’anneau (Z/nZ, +, ×).
L’application ϕ ainsi définie de N∗ dans N∗ est appelée indicatrice d’Euler.
Exemple : si p est premier, ϕ (p) = p − 1 ; si en outre α ∈ N∗ , ϕ (pα ) = pα − pα−1 .
Lemme chinois
Si m et n dans N∗ sont premiers entre eux, alors les anneaux Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ sont isomorphes.
Plus précisément, πmn (k) → (πm (k), πn (k)) définit un isomorphisme de Z/mnZ dans Z/mZ × Z/nZ.
En particulier, si m et n dans N∗ sont premiers entre eux, alors ϕ (mn) = ϕ (m) ϕ (n).
Attention ! Résultat faux si m et n ne sont pas premiers entre eux : les groupes additifs ne sont déjà
pas isomorphes, puisque(Z/mnZ, +) contient un élément d’ordre mn tandis que l’ordre
d’un élément de (Z/mZ × Z/nZ, +) est au maximum PPCM (m, n) . . .
j
j 1
pαi i est la décomposition de n en facteurs premiers, alors ϕ (n) = n
Corollaire : si n =
1−
pi
i=1
i=1
∗
(avec les pi premiers distincts deux à deux et les αi dans N ).
6) Caractéristique d’un corps
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif, 0A (resp. 1A ) l’élément neutre de la loi + (resp. ×).
Le morphisme d’anneaux φ : k → k.1A de Z dans A a pour noyau un idéal de Z.
Définition : la caractéristique de A est l’entier naturel n tel que nZ = {k ∈ Z / k.1A = 0A }.
Exemples : tout sous-anneau de C est de caractéristique nulle ; Z/nZ est de caractéristique n.
• Si A est un anneau de caractéristique nulle, φ est injectif et définit donc un isomorphisme entre Z
et φ (Z), sous-anneau de A. En particulier, A est infini !
• Si A est un anneau de caractéristique n ∈ N∗ , φ se factorise en φ = ψ ◦ πn , où ψ : k → k.1K est un
isomorphisme entre Z/nZ et ψ (Z/nZ), sous-anneau de A.
Propriété : la caractéristique d’un corps est un nombre premier.
NB : pour p premier, Z/pZ est l’archétype de corps fini de caractéristique p, mais il existe aussi des
corps infinis de caractéristique p, par exemple le corps des fractions rationnelles à coefficients
dans Z/pZ.