Série 8 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 5 novembre 2015
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 8 (Corrigé)
Notation : Avec Pn(x)on note le polynôme à coefficients sur le corps Kde degré ≤n.
Exercice 1 Vérifiez pour chacun des ensembles de polynômes suivants, si cet ensemble est
linéairement indépendant. Vérifiez également si l’ensemble constitue une base pour l’espace
vectoriel donné.
1. L’ensemble {x2−x, 2x3+ 2x, x3+x2}dans l’espace vectoriel P3(x)sur R.
2. L’ensemble {(x−i)(x+i), x(x2+ 1),1}dans l’espace vectoriel P3(x)sur C.
3. L’ensemble {x+ 1, x2+x+ 1, x3+x, x3+x2}dans l’espace vectoriel P3(x)sur R.
Sol.: Soit Vun espace vectoriel. Un ensemble de polynômes {p1, . . . , pn}est linéairement
dépendant si la combinaison linéaire α1p1+· · ·+αnpn= 0 a une solution α= (α1, . . . , αn)T,
et αn’est pas le vecteur nul. Un ensemble de polynômes {p1, . . . , pn}génère (engendre)
l’espace V, si l’equation α1p1+· · · +αnpn=qa une solution αpour chaque q∈V. Si
l’ensemble est linéairement indépendant et aussi générateur de l’espace V, alors l’ensemble
est une base pour V.
1. L’ensemble est linéairement dépendant et donc n’est pas une base pour P3(x)sur R.
De plus, l’ensemble n’engendre pas l’espace P3(x). L’équation
α1(x2−x) + α2(2x3+ 2x) + α3(x3+x2)=0,
admet, entre autres, la solution α= (2,1,−2)T.
2. L’ensemble est linéairement indépendant mais n’engendre pas l’espace P3(x)sur C,
et donc il n’est pas une base de P3(x). L’équation
α1((x−i)(x+i)) + α2(x(x2+ 1)) + α31=0
⇔α2x3+α1x2+α2x+ (α1+α3)1 = 0x3+ 0x2+ 0x+ 0
admet seulement la solution α1=α2=α3= 0. Mais il est pas possible de trouver
une solution, pour exemple, dans le cas suivant
α2x3+α1x2+α2x+ (α1+α3)1 = 1x3−1x .
3. L’ensemble est linéairement indépendant et aussi générateur de l’espace P3(x)sur R,
et il est donc une base pour P3(x). L’équation
α1(x+ 1) + α2(x2+x+ 1) + α3(x3+x) + α4(x3+x2)=0x3+ 0x2+ 0x+ 0
1

admet seulement la solution α1=α2=α3=α4= 0. Cela peut être vu par une
comparaison des coefficients. Nous devons résoudre le système linéaire
(α3+α4)x3= 0x3
(α2+α4)x2= 0x2
(α1+α2+α3)x= 0x
α1+α2= 0.
On l’écrit sous forme matricielle,
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
0 0 −1 0 0
1 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
.
L’ensemble est aussi générateur de l’espace P3(x), puisque P3(x)est de dimension 4
({1, x, x2, x3}est une base) et notre ensemble est constitué exactement par 4vecteurs
linéairement indépendants. Alternativement, nous pouvons résoudre l’équation
α1(x+ 1) + α2(x2+x+ 1) + α3(x3+x) + α4(x3+x2) = β4x3+β3x2+β2x+β1,
où q=β4x3+β3x2+β1x+β1, avec β= (β1, . . . , β4)T∈R4,q∈ P3(x).
Exercice 2 Nous considérons les trois applications linéaires FA, FB, FC:X→Yque l’on
décrit par les matrices
A=
2 2 1
2 3 2
4 2 2
, B =
1 2
3 4
1 3
, C =
4 2 4
4 2 5
6 3 3
.
On obtient FA:x7→ Ax. Les espaces vectoriels Xet Ysont toujours soit R2soit R3.
1. Déterminer pour les applications linéaires FA,FB,FCsi elles sont surjectives, injec-
tives ou bijectives.
2. Calculer pour les applications linéaires FA,FB,FCune base de le noyau et de l’image.
Sol.:
1. Pour déterminer si les applications linéaires sont surjectives, injectives ou bijectives,
nous calculons la forme échelonné de chaque matrice.
A=
2 2 1
2 3 2
4 2 2
;
221
011
0−2 0
;
2 2 1
0 1 1
0 0 2
.
L’application linéaire FA:X→Y(X=Y=R3) est surjective, puisque rang(A) =
dim(Y) = 3, et est injective car tous les vecteurs colonnes de Asont linéairement
indépendants. Puisque FAest surjective et injective, FAest bijective.
B=
1 2
3 4
1 3
;
1 2
0−2
0 1 
;
1 2
0−2
0 0 
.
2

L’application linéaire FB:X→Y(X=R2, Y =R3) est injective car tous les
vecteurs colonnes de Bsont linéairement indépendants. Mais elle n’est pas surjective
puisque rang(B) = 2 <3 = dim Y. Donc FBn’est pas bijective.
C=
4 2 4
4 2 5
6 3 3
;
4 2 4
0 0 1
0 0 −3
;
4 2 4
0 0 1
0 0 0
.
L’application linéaire FC:X→Y(X=Y=R3) ne est pas surjective ni injective, car
rang(C)=2<3 = dim(Y)et a seulement 2vecteurs colonnes qui sont linéairement
indépendants. Donc FCn’est pas bijective.
2. Les applications FAet FBsont injectives, donc ker(A) = ker(B) = {0}, et par consé-
quent le noyau est de dimension 0et l’ensemble vide ∅est une base pour le noyau de
FAet FB. De plus, les vecteurs colonnes de Aet Bconstituent une base de l’image
de FAet FBrespectivement, puisque ils sont linéairement indépendants. Donc la base
de l’image de FAest
Im(FA) : 
2
2
4
,
2
3
2
,
1
2
2
.
Comme FAest surjective, on peut aussi considérer la base canonique de R3. La base
de l’image de FBest
Im(FB) : 
1
3
1
,
2
4
3
.
La matrice Ca seulement deux vecteurs colonnes qui sont linéairement indépendants,
par exemple les vecteurs colonnes 1et 3, qui forment une base de l’image de FC
Im(FC) : 
4
4
6
,
4
5
3
.
Pour calculer la base du noyau de FCnous utilisons le résultat de la première partie
de l’exercice. Par définition un élément xde le noyau de FCsatisfait Cx = 0. Puisque
la solution de Cx = 0 ne change pas si nous faisons des opérations sur les lignes de
C, nous prenons la forme échelonné de la matrice C. Et donc nous devons résoudre
le système linéaire
(4x1+ 2x2+ 4x3= 0,
x3= 0.
L’une des variables x1ou x2peut être choisi librement, par exemple x2, et donc
x1=−x2/2,x3= 0 et une base de le noyau de FCest donnée par
ker(FC) : 
−1/2
1
0
.
3

Exercice 3 Déterminer une base et la dimension des espaces vectoriels suivants :
1. Les solutions dans R3de le système suivant
x+y−z= 0
3x+y+ 2z= 0
2x+ 3z= 0
.
2. {0}.
3. {(x, y)∈C2|x+iy = 0}comme espace vectoriel sur C.
4. {(x, y)∈C2|x+iy = 0}comme espace vectoriel sur R.
5. L’espace des polynômes harmoniques homogènes de degré 2 avec variable dans R.
Indication : un polynôme homogène de degré 2 dans R3est une fonction de la forme
u(x, y, z) = ax2+by2+cz2+dxy +eyz +fxz, avec a, b, c, d, e, f ∈R.
Une fonction uest appelé harmonique si
∆u:= uxx +uyy +uzz = 0 ,
où uxx est la dérivée seconde de upar rapport à x,uyy est la dérivée seconde de upar
rapport à y, et uzz est la dérivée seconde de upar rapport à z.
Sol.:
1. Nous obtenons un ensemble de solutions pour ce système d’équations donné par V:=
{(−3z/2,5z/2, z)|z∈R}.Vest de dimension 1et une base de Vest donnée par
{(−3,5,2)}.
2. L’espace {0}est engendré par le vecteur 0. L’espace vectoriel {0}n’a pas de base
puisque le vecteur 0est toujours linéairement dépendant avec les autres. Par définition,
la dimension de l’espace {0}est zéro.
3. Soit Vl’espace vectoriel {(x, y)∈C2|x+iy = 0}sur C. Soit (x, y)∈V. Ensuite
x+iy = 0 ⇒y=ix et donc (x, y)=(x, ix) = x(1, i)pour tous (x, y)∈V. Donc,
nous pouvons écrire tous (x, y)∈Vcomme une combinaison linéaire complexe du
vecteur (1, i). Ceci est linéairement indépendant dans Cet donc est une base de V.
La dimension de l’espace vectoriel est donc 1.
4. Nous avons montré que chaque élément de Vpeut être écrit sous la forme x(1, i), x ∈
C. Nous posons x=a+ib,a, b ∈R, et donc x(1, i) = (a+ib)(1, i) = a(1, i)+ib(1, i) =
a(1, i) + b(i, −1). Donc, nous pouvons écrire tous (x, y)∈Vcomme une combinaison
linéaire réelle des vecteurs (1, i)et (i, −1). Le deux vecteurs (1, i)et (i, −1) engendrent
l’espace Vcomme espace vectoriel sur R, et sont linéairement indépendants sur R.
Donc les deux vecteurs sont une base pour Vsur Ret l’espace est de dimension 2.
5. Nous calculons ∆upour le polynôme u(x, y, z) = ax2+by2+cz2+dxy +eyz +fxz,
a, b, c, d, e, f ∈R, et on obtient
∆u(x, y, z)=2a+ 2b+ 2c.
4

Nous considerons le polynôme harmonique solution de ∆u(x, y, z)=0,et donc
a+b+c= 0.(1)
La condition (1) doit être satisfaite par le polynôme
u(x, y, z) = ax2+by2+cz2+dxy +eyz +fxz, a, b, c, d, e, f ∈R.
Donc pour satisfaire (1) nous posons a=−b−c, et donc nous obtenons
u(x, y, z) = b(y2−x2) + c(z2−x2) + dxy +eyz +fxz, b, c, d, e, f ∈R,
L’ensemble des polynômes {y2−x2, z2−x2, xy, yz, xz}engendre l’espace vectoriel.
Cet ensemble est aussi linéairement indépendant puisque
α1(y2−x2) + α2(z2−x2) + α3xy +α4yz +α5xz = 0, α1, α2, α3, α4, α5∈R,
admet comme unique solution
α1=α2=α3=α4=α5= 0.
Pour une vérification nous pouvons faire une comparaison des coefficients. Donc (x2−
y2, y2−z2, xy, yz, xz)est une base de l’espace vectoriel, et la dimension de l’espace
vectoriel est 5.
Exercice 4 Laquelle des applications suivantes sont linéaires ? Sauf indication contraire,
montrer la linéarité sur le corps R.
1. C→C,z7→ z.
2. C→C,z7→ z, (sur le corps C).
3. C0((−2,2)) →R,f7→ f(0) +
1
Z
−1
f(x)ex2dx.
4. C0((0,∞)) →C0((0,∞)),f7→ x7→ x f(1/x).
5. C0(R/2πZ)→R,f7→
f(0)+ π
2
Z
f(0)−π
2
f(2x)dx.
6. (?)P4(x)→ P4(x)sur R,p7→ p0.
7. (?)P3(x)→ P5(x)sur R,p7→ (2 −3x+x2)p.
8. F2
2→F2 2,(x, y)7→ (x+y, x2+y2).
9. C0([0,3]) →R,f7→ 37f(1) + 58
3
Z
2
f(x)dx.
(?)Pour les points 6. et 7. calculer une base de l’image et du noyau, et dire si les applications
sont injectives ou surjectives.
Notation : Pour I⊆R, on denote l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur I
par C0(I). De plus C0(R/2πZ)désigne l’espace vectoriel des fonctions sur Rqui sont 2π-
périodiques.
Sol.: Sauf 2., les applications sont toutes linéaires. On note avec hchaque fonction décrite
dans les points 1. - 9.
5