Champs produits par des circuits simples

Champs produits par des circuits simples
A. Symétries et notion de vecteur axial
Comme en électrostatique l’utilisation d’éventuelles symétries et/ou invariances de la
distribution de courants peut simplifier la détermination du champ magnétique. Nous devons
cependant avoir conscience de la nature particulière du champ magnétique.
créé en un point M par un
Revenons à la loi de Biot et Savart. Considérons le champ dB
élément de courant filiforme i dl passant par un point P. Comme indiqué sur la figure
suivante, intéressons-nous à la situation symétrique par rapport à un plan (Π). Les points P′,
′ est
M′ et l’élément i dl′ représentent les symétriques. Par contre le champ magnétique dB
obtenu par un produit vectoriel :
i dl' ∧ u'
' = K
dB
r2
Nous constatons facilement sur la figure (et cela se vérifie par calcul) que celui-ci est en fait
, noté dB
".
égal à l’opposé du symétrique du vecteur dB
Le champ magnétique est un vecteur antisymétrique, un pseudo-vecteur ou encore un vecteur
en mécanique.
axial. Il a le même comportement qu’un vecteur rotation Ω
Fig. 1 : Symétrie par rapport à un plan du champ magnétique créé par un élément de courant.
Ainsi s’il existe un plan de symétrie dans la distribution de courants le champ magnétique est
antisymétrique par rapport à ce plan. Au point M′ symétrique de M le champ magnétique est
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VIII - 1
opposé au symétrique du champ en M. En particulier en tout point du plan de symétrie le
champ magnétique, devant être son propre antisymétrique, est normal au plan.
D’autre part, s’il existe un plan d’antisymétrie dans la distribution de courants le champ
magnétique est symétrique par rapport à ce plan. En particulier en tout point du plan
d’antisymétrie le champ magnétique, devant être son propre symétrique, est tangent au plan.
B. Courants à distribution circulaire ou cylindrique
B.1. Champ magnétique sur l’axe d’une spire
Considérons une spire plane, de rayon R, conductrice filiforme parcourue par un courant
(fig. 2). Nous choisissons une orientation de la spire et nous notons i la valeur algébrique de
l’intensité du courant parcourant celle-ci. Soit Oz l’axe passant par le centre O de la spire et
orienté en conformité avec la spire (tire-bouchon). Nous cherchons à calculer le champ
magnétique créé par la spire en un point M de cet axe.
Fig. 2 : Spire parcourue par un courant.
Tout plan contenant l’axe Oz est plan d’antisymétrie pour le courant. Le champ magnétique se
situe donc dans ce plan. L’axe Oz étant l’intersection de deux de ces plans, le champ
magnétique est porté par l’axe.
Calculons la projection sur l’axe Oz du champ magnétique créé par un élément de courant
i dl. Pour cela nous nous plaçons dans le plan contenant l’axe et le point P. Les variables
utilisées sont explicitées sur la figure 3.
Fig. 3 : Spire parcourue par un courant.
En valeur algébrique nous avons :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
dBz =
μ0 i dl
sin θ
4 π r2
VIII - 2
où r représente la distance PM.
Si nous sommons la contribution de l’ensemble de la spire il vient :
B=
L’angle θ est défini par :
Ce qui nous donne :
μ0 i 2 π R
sin θ
4 π r2
sin θ =
B=
R
r
μ0 i R2
2 r3
Nous pouvons exprimer la distance r en fonction du rayon de la spire et de la coordonnée z du
point M :
r2
z2
r 2 = R2 + z 2
⇒
=
1
+
R2
R2
Nous avons donc pour l’expression du champ magnétique en fonction de z :
μ0 i
z2
B(z) =
!1 + 2 "
2R
R
#$/&
La courbe présentée sur la figure suivante indique l’allure de cette fonction.
Fig. 4 : Allure de l’intensité du champ magnétique créé par une spire.
Déterminons les positions du maximum et des points d’inflexion. Pour simplifier le calcul des
dérivées nous pouvons écrire :
'B 'B 'r
=
'z 'r 'z
Reprenons l’expression de B en fonction de la distance r :
μ0 i R2
B=
= A r -3
3
2 r
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VIII - 3
'B
= −3 A r -4
'r
Nous avons pour sa dérivée :
D’autre part nous avons :
Ce qui nous donne :
r 2 = R2 + z 2
⇒
'r z
=
'z r
2 r dr = 2 z dz
Nous pouvons donc calculer la dérivée du champ magnétique par rapport à la variable z :
'B
z
= −3 A r -4 = −3 A r -5 z
'z
r
Le champ magnétique est maximum en z = 0 :
B0 =
Pour la dérivée seconde il vient :
μ0 i
2R
'&B
'r
= −3 A ,−5 r -6
z + r -5 .
2
'z
'z
'& B
z
= −3 A /−5 r -6 z + r -5 0
2
'z
r
Celle-ci s’annule pour :
'&B
= 3 A r -7 (5 z 2 − r 2 )
'z 2
5z =r =R +z
2
2
2
⇒
2
R2
z =
4
2
La courbe de la figure 4 présente deux points d’inflexion pour :
z=±
B.2. Bobines de Helmholtz
R
2
Considérons deux spires identiques, de rayon R, parcourues par des courants de même sens et
de même intensité i. Nous disposons ces deux spires normalement à un axe Oz de telle sorte
que leurs centres se situent sur cet axe (fig. 5). Nous choisissons l’origine O au milieu du
segment joignant les deux centres. Nous notons d la longueur de ce segment.
D’après le principe de superposition le champ magnétique créé par ces deux spires est la
somme des champs induits par chacune des spires :
(M) = B
1 (M) + B
2 (M)
B
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VIII - 4
Pour un point M d’abscisse z sur l’axe Oz nous avons donc :
B(z) = B1 (z1 ) + B2 (z2 )
où B1 et B2 représentent le champ magnétique créé par une spire, calculé au paragraphe
précédent, et avec :
d
d
z1 = z+
et z2 = z2
2
Fig. 5 : Bobines de Helmholtz.
Sur la figure 6 nous avons tracé l’allure de cette somme pour deux situations assez différentes.
A droite les deux spires sont côte-à-côte (d = 0), la courbe est évidemment similaire à celle
d’une seule spire, avec une amplitude du champ double. A gauche les deux spires sont
relativement écartées. On observe un minimum en O et des maxima au niveau des deux
centres.
Fig. 6 : Champ créé par des bobines de Helmholtz très proches (à droite)
ou assez éloignées (à gauche).
Considérons la courbure de ces courbes en z = 0. Celle-ci est négative pour la courbe de droite
et positive pour la courbe de gauche. Il doit donc exister une situation pour laquelle la
courbure à l’origine s’annule. Déterminons quelle est alors la distance entre les deux bobines.
La courbure est déterminée par la dérivée seconde :
' & B1
' & B2
'&B
(z)
(z
)
B
=
+
'z 2 1
'z 2 2
'z 2
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VIII - 5
Avec les notations du paragraphe précédent nous pouvons écrire :
' & B1
(z ) = 3 A r1 -7 (5 z1 2 − r1 2 )
'z 2 1
Et :
Pour z = 0 nous avons :
Nous pouvons donc écrire :
' & B2
(z ) = 3 A r2 -7 (5 z2 2 − r2 2 )
'z 2 2
z1 =
d
d
et z2 = −
2
2
⇒
r1 = r2
'&B
(0) = 6 A r1 -7 (5 z1 2 − r1 2 )
'z 2
Nous avons vu que cette expression s’annule pour :
z1 = ±
R
2
La courbure en z = 0 de la courbe représentant le champ magnétique créé par les deux spires
est donc nulle pour d = R. C’est ce que nous pouvons constater sur la figure 7. Dans cette
situation les bobines créent un champ magnétique uniforme dans un volume assez grand
autour de O.
Fig. 7 : Champ créé par des bobines de Helmholtz en position optimale.
B.3. Solénoïde
Un solénoïde à spires jointives (fig. 8) constitue la réalisation pratique d’une nappe de courant
cylindrique. Si nous notons n le nombre de spires par unité de longueur nous avons pour la
densité surfacique de courant équivalente :
jS = n i
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VIII - 6
Nous cherchons à calculer le champ magnétique en un point M situé sur l’axe du solénoïde.
Celui-ci étant axe d’antisymétrie pour la distribution de courants, le champ est porté par l’axe.
Commençons par considérer le champ élémentaire créé par une tranche du solénoïde. Pour ce
calcul nous choisissons le point M comme origine sur l’axe z. L’orientation du courant dans le
solénoïde définit celle de l’axe. Nous notons z l’abscisse du centre de la tranche et dz son
épaisseur infinitésimale.
Fig. 8 : Calcul du champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde.
Nous pouvons assimiler cette tranche de solénoïde à une spire de rayon R ayant pour
contribution au champ magnétique en M :
μ0 I R2
dB(z) =
2 r3
L’intensité I du courant circulant dans cette spire est proportionnelle à l’épaisseur de la
tranche :
I = jS dz = n i dz
La longueur r et l’angle θ (fig. 8) sont directement reliés à l’abscisse z de la spire et à son
rayon R :
R
r=
sin θ
z = r cos θ =
R
tan θ
La largeur dz de la tranche correspond à un angle dθ :
'z
R
=− 2
'θ
sin θ
⇒
dz = −
R dθ
sin2 θ
En reportant les expressions de r et dz, nous pouvons écrire pour le magnétique en M :
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VIII - 7
Soit en simplifiant :
dB(θ) = −
μ0 n i R dθ R2 sin$ θ
2 sin2 θ
R3
dB(θ) = −
μ0 n i
sin θ dθ
2
Le champ magnétique créé par l’ensemble du solénoïde correspond à la superposition des
contributions de toutes les tranches. Ce qui nous donne :
z2
θ2
B(M) = < dB(x) = < dB(θ)
z1
θ1
où z1 et z2 (θ1 et θ2) désignent les abscisses des deux extrémités du solénoïde par rapport au
point M, comme indiqué sur la figure 8. L’intégration par rapport à θ nous conduit à :
B(M) =
μ0 n i
(cos θ2 − cos θ1 )
2
La figure suivant illustre l’allure du champ magnétique le long de l’axe Oz d’un solénoïde de
longueur L.
Fig. 9 : Champ le long de l’axe d’un solénoïde de longueur L.
Au centre O du solénoïde nous avons :
B0 = μ0 n i cos θ
avec pour un solénoïde de rayon R et de longueur L :
tan θ =
2R
L
Pour un solénoïde infini (θ = 0) le champ est constant :
B = μ0 n i
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VIII - 8
C. Champ produit par un tore
Un tore de révolution désigne la surface obtenue par la rotation d’une courbe plane fermée (la
section du tore)) autour d’une droite située dans le plan de la courbe.. Par exemple la figure 10
présente le tore obtenu par rotation d’un cercle vertical autour d’une droite verticale située à
une distance auu centre du cercle supérieure à son rayon.
Fig. 10 : Tore de révolution de section circulaire.
Considérons un tore de section quelconque sur lequel sont enroulées N spires jointives
traversées par un courant d’intensité i.
i. Etant donnée la symétrie cylindrique du tore nous
pouvons affirmer que les lignes de champ sont des cercles orthogonaux à l’axe de révolution
et centrés sur celui-ci.
Appliquons le théorème d’Ampère le long d’un
d’ de ces cercles de rayon
ayon r. Nous avons pour la
circulation du champ magnétique :
? B dl = 2 π r B(r)
(Γ)
ci est proportionnelle à l’intensité enlacée I. Nous devons distinguer deux situations :
Celle-ci
- le cercle se situe à l’extérieur du tore : I = 0 ;
- le cercle se situe à l’intérieur du tore : I = N i.
Le champ magnétique est donc nul à l’extérieur du tore. A l’intérieur du tore il a pour
module :
μ0 N i
B(r) =
2πr
où r représente la distance à l’axe de symétrie du tore.
Si R représente le rayon de la trajectoire du barycentre
barycentre de la section nous pouvons écrire :
B(R) =
μ0 N i
= μ0 n i
2πR
oùù n représente le nombre de spires par unité de longueur. Le champ médian du tore a une
expression similaire à celui d’un solénoïde de longueur infinie.
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VIII - 9
D. Dipôle magnétique
Au début de ce chapitre nous avons évalué le champ magnétique créé par une spire le long de
son axe. Nous intéressons ici au champ magnétique induit en un point quelconque situé à
grande distance de la spire.
Fig. 11 : Calcul du potentiel vecteur induit par une spire.
Commençons par évaluer le potentiel vecteur. Pour un circuit linéique (orienté) traversé par
un courant d’intensité i (algébrique), en utilisant la jauge de Coulomb, nous avons au point
M:
μ i
dl
A(M) = 0 ?
4π P r
le point P circulant sur la spire dans le sens positif. Pour alléger les expressions la variable r
représente ici la distance PM.
Plaçons nous dans un repère orthonormé (O, ex , ey , ez ) avec O pris au barycentre de la spire
(celle-ci n’est pas nécessairement plane). Considérons une des composantes du potentiel
vecteur, par exemple Ax :
μ i
e
ex = 0 ? x dl
Ax = A
4π P r
e
Cette expression fait apparaître la circulation d’un vecteur x le long du circuit. Le théorème
r
de Stokes nous permet de transformer cette circulation en un flux :
ex
e
P ! x " dS
dl = G rot
r
(F) r
(H)
?
où (Σ) est une surface orientée s’appuyant sur la spire (Γ). Comme la distance r dépend de M
et de P, l’indice P indique que le rotationnel porte sur les coordonnées de P (pour M fixe).
D’autre part nous avons :
ex
1
1
P , . ∧ ex
P ex + grad
rot P ! " = rot
r
r
r
Le vecteur ex étant fixe il reste :
e
1
P ! x " = rot
gradP , . ∧ ex
r
r
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VIII - 10
Dans le paragraphe D.2 du chapitre précédent nous avons trouvé que :
1
1
J , . =
grad
u
r
r2 P
où uP est le vecteur unitaire dirigé de P vers M. Reportons ce résultat dans l’expression de la
composante du potentiel vecteur. Nous obtenons :
Ax =
μ0 i
uP
G ! 2 ∧ ex " dS
4 π (H) r
En utilisant l’invariance du produit mixte par permutation circulaire il vient :
Ax =
μ0 i
uP
G !dS ∧ 2 " ex
4 π (H)
r
En suivant la même démarche pour les deux autres composantes nous aurions obtenu des
résultats similaires. Nous pouvons donc écrire pour le potentiel vecteur :
A(M) =
Ce résultat est valable pour tout point M.
μ0 i
uP
G dS ∧ 2
4 π (H)
r
Considérons un point situé à grande distance de la spire (r grand devant les dimensions de la
spire) nous pouvons considérer qu’au premier ordre :
PM ≈ OM = r u
où r représente cette fois la distance OM et u le vecteur unitaire dirigé de O vers M. Nous
pouvons donc considérer cette distance et ce vecteur constant dans l’intégration. Ce qui nous
permet d’écrire :
μ m
∧ u
μ0 m
∧ r
A(r) = 0
=
4 π r2
4 π r3
avec :
m
= i G dS
(H)
Cette expression du potentiel vecteur est similaire à celle obtenue pour le potentiel
électrostatique d’un dipôle. Pour cette raison la spire est également appelée dipôle magnétique
et la quantité m
représente son moment magnétique. Pour une spire plane nous avons :
m
= i S
Dans le système international d’unités le moment magnétique s’exprime en A⋅m2.
Remarque : La surface de la spire peut s’écrire :
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VIII - 11
S =
1
? OP ∧ dl
2 (Γ)
La figure suivante illustre le potentiel vecteur pour une telle spire.
Fig. 12 : Potentiel vecteur en un point éloigné de la spire.
Connaissant le potentiel vecteur nous pouvons évaluer le champ magnétique créé par un
dipôle magnétique en utilisant la relation :
= rot
M A
B
Pour plus de clarté par rapport à la discussion précédente, nous avons introduit un indice M
pour rappeler que le rotationnel ici est à calculer par rapport aux coordonnées du point M.
Pour simplifier le calcul nous utilisons des coordonnées sphériques prises par rapport à un
repère orthonormé direct (O, ex , ey , ez ) avec le vecteur unitaire ez choisi parallèle au moment
magnétique :
m
= m ez
Fig. 13 : Coordonnées polaires dans le plan défini
par le moment magnétique et le point M.
Nous avons alors :
m
∧ u = m ez ∧ u = m sin θ eφ
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VIII - 12
Le potentiel vecteur s’écrit donc :
A(r) =
μ0 m sin θ
eφ
4 π r2
Par rapport repère (er , eθ , eφ ) seule sa troisième composante Aφ est non nulle.
En coordonnées sphériques le rotationnel a pour expression :
A
rot
1
P
PQθ
O (sin θ Aφ ) −
R
r sin θ Pθ
Pφ
N
1 1 PAr P
U
O
− Sr Aφ TR
r sin θ Pφ Pr
N
PAr
1 P
O (r Aθ ) −
R
Pθ
r Pr
L’expression du champ magnétique se limite donc à :
1 P
Br =
B
(sin θ Aφ )
r
sin
θ
Pθ
N
1P
U
Sr Aφ T
Bθ = −
r Pr
N
Bφ = 0
La troisième composante étant nulle le champ magnétique se trouve dans le plan défini par le
et le point M.
moment magnétique m
Partant de :
Il vient :
sin θ Aφ =
μ0 m sin& θ
4π
r2
Aφ =
⇒
μ0 m sin θ
4 π r2
P
μ0 2 m sin θ cos θ
(sin θ Aφ ) =
Pθ
4π
r2
Ce qui nous donne pour la première composante du champ magnétique :
Br =
Ce que nous pouvons encore écrire :
μ0 2 m cos θ
4π
r3
Br =
D’autre part :
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μ0 2 m
u
4 π r3
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r Aφ =
μ0 m sin θ
r
4π
⇒
P
μ0 m sin θ
Sr Aφ T = −
Pr
4 π r2
Ce qui nous donne pour la seconde composante du champ magnétique :
Bθ =
μ0 m sin θ
4 π r3
Nous obtenons pour le champ magnétique créé par un dipôle magnétique des composantes
similaires à ce que nous avions pour le dipôle électrostatique.
Les études des lignes de champs d’un dipôle électrostatique sont donc transposables aux
lignes de champ magnétique. Par exemple la figure suivante visualise ces lignes de champ
pour un moment magnétique vertical (matérialisé par le vecteur).
Fig. 14 : Lignes d’induction magnétique d’un dipôle.
Un barreau aimanté (aimant permanent) à grande distance peut être assimilé à un dipôle
magnétique dont le moment magnétique est dirigé du Sud vers le Nord de l’aimant. Les lignes
de champ magnétique (à l’extérieur du barreau) sont orientées du Nord vers le Sud. Par
analogie nous pouvons définir des pôles pour des circuits. La figure suivante illustre ces pôles
pour une spire en fonction du sens du courant. Le tire-bouchon s’enfonce du Sud vers le Nord.
Fig. 15 : Pôles Sud et Nord d’une spire.
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