Champs produits par des circuits simples

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme VIII - 1
Champs produits par des circuits simples
A. Symétries et notion de vecteur axial
Comme en électrostatique l’utilisation d’éventuelles symétries et/ou invariances de la
distribution de courants peut simplifier la détermination du champ magnétique. Nous devons
cependant avoir conscience de la nature particulière du champ magnétique.
Revenons à la loi de Biot et Savart. Considérons le champ  créé en un point M par un
élément de courant filiforme  passant par un point P. Comme indiqué sur la figure
suivante, intéressons-nous à la situation symétrique par rapport à un plan (Π). Les points P′,
M′ et l’élément  représentent les symétriques. Par contre le champ magnétique   est
obtenu par un produit vectoriel : 
Nous constatons facilement sur la figure (et cela se vérifie par calcul) que celui-ci est en fait
égal à l’opposé du symétrique du vecteur  , noté  .
Le champ magnétique est un vecteur antisymétrique, un pseudo-vecteur ou encore un vecteur
axial. Il a le même comportement qu’un vecteur rotation  en mécanique.
Fig. 1 : Symétrie par rapport à un plan du champ magnétique créé par un élément de courant.
Ainsi s’il existe un plan de symétrie dans la distribution de courants le champ magnétique est
antisymétrique par rapport à ce plan. Au point M′ symétrique de M le champ magnétique est

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme VIII - 2
opposé au symétrique du champ en M. En particulier en tout point du plan de symétrie le
champ magnétique, devant être son propre antisymétrique, est normal au plan.
D’autre part, s’il existe un plan d’antisymétrie dans la distribution de courants le champ
magnétique est symétrique par rapport à ce plan. En particulier en tout point du plan
d’antisymétrie le champ magnétique, devant être son propre symétrique, est tangent au plan.
B. Courants à distribution circulaire ou cylindrique
B.1. Champ magnétique sur l’axe d’une spire
Considérons une spire plane, de rayon R, conductrice filiforme parcourue par un courant
(fig. 2). Nous choisissons une orientation de la spire et nous notons i la valeur algébrique de
l’intensité du courant parcourant celle-ci. Soit Oz l’axe passant par le centre O de la spire et
orienté en conformité avec la spire (tire-bouchon). Nous cherchons à calculer le champ
magnétique créé par la spire en un point M de cet axe.
Fig. 2 : Spire parcourue par un courant.
Tout plan contenant l’axe Oz est plan d’antisymétrie pour le courant. Le champ magnétique se
situe donc dans ce plan. L’axe Oz étant l’intersection de deux de ces plans, le champ
magnétique est porté par l’axe.
Calculons la projection sur l’axe Oz du champ magnétique créé par un élément de courant
. Pour cela nous nous plaçons dans le plan contenant l’axe et le point P. Les variables
utilisées sont explicitées sur la figure 3.
Fig. 3 : Spire parcourue par un courant.
En valeur algébrique nous avons : 

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où r représente la distance PM.
Si nous sommons la contribution de l’ensemble de la spire il vient :
L’angle θ est défini par : 
Ce qui nous donne : 
Nous pouvons exprimer la distance r en fonction du rayon de la spire et de la coordonnée z du
point M : 
Nous avons donc pour l’expression du champ magnétique en fonction de z :
La courbe présentée sur la figure suivante indique l’allure de cette fonction.
Fig. 4 : Allure de l’intensité du champ magnétique créé par une spire.
Déterminons les positions du maximum et des points d’inflexion. Pour simplifier le calcul des
dérivées nous pouvons écrire : 
Reprenons l’expression de B en fonction de la distance r :

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Nous avons pour sa dérivée : 
D’autre part nous avons : 
Ce qui nous donne : 
Nous pouvons donc calculer la dérivée du champ magnétique par rapport à la variable z :
Le champ magnétique est maximum en z = 0 :
Pour la dérivée seconde il vient :
Celle-ci s’annule pour : 
La courbe de la figure 4 présente deux points d’inflexion pour :
B.2. Bobines de Helmholtz
Considérons deux spires identiques, de rayon R, parcourues par des courants de même sens et
de même intensité i. Nous disposons ces deux spires normalement à un axe Oz de telle sorte
que leurs centres se situent sur cet axe (fig. 5). Nous choisissons l’origine O au milieu du
segment joignant les deux centres. Nous notons d la longueur de ce segment.
D’après le principe de superposition le champ magnétique créé par ces deux spires est la
somme des champs induits par chacune des spires :

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme VIII - 5
Pour un point M d’abscisse z sur l’axe Oz nous avons donc :
où B
1
et B
2
représentent le champ magnétique créé par une spire, calculé au paragraphe
précédent, et avec : 
Fig. 5 : Bobines de Helmholtz.
Sur la figure 6 nous avons tracé l’allure de cette somme pour deux situations assez différentes.
A droite les deux spires sont côte-à-côte (d = 0), la courbe est évidemment similaire à celle
d’une seule spire, avec une amplitude du champ double. A gauche les deux spires sont
relativement écartées. On observe un minimum en O et des maxima au niveau des deux
centres.
Fig. 6 : Champ créé par des bobines de Helmholtz très proches (à droite)
ou assez éloignées (à gauche).
Considérons la courbure de ces courbes en z = 0. Celle-ci est négative pour la courbe de droite
et positive pour la courbe de gauche. Il doit donc exister une situation pour laquelle la
courbure à l’origine s’annule. Déterminons quelle est alors la distance entre les deux bobines.
La courbure est déterminée par la dérivée seconde :