Maths MPSI
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A. Bechata
N. de Granrut
Table des matières
Chapitre 1. Bases mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. Principaux types de raisonnement 1 – 2. Opérations sur les ensembles 3 – 3. Applications 3 – 4. Relation d’équivalence, relation d’ordre 3 – Exercices 5 – Corrigés 9
Chapitre 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1. Écriture cartésienne 19 – 2. Exponentielle d’un imaginaire pur 20 – 3. Écriture exponentielle d’un complexe 20 – 4. Racines n-ièmes d’un complexe 21 – 5. Interprétation
géométrique 22 – 6. Exponentielle d’un complexe 22 – Exercices 23 – Corrigés 27
Chapitre 3. Manipulations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1. Symbole somme et produit 41 – 2. Sommes remarquables 42 – Exercices 45 –
Corrigés 48
Chapitre 4. Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1. Dérivation 55 – 2. Bijections 56 – 3. Fonctions usuelles 57 – 4. Fonctions trigonométriques et réciproques 58 – Exercices 60 – Corrigés 63
Chapitre 5. Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1. Primitives 75 – 2. Équations différentielles linéaires 75 – 3. Résolution des EDL1 76 –
4. Résolution des EDL2 à coefficients constants 77 – Exercices 80 – Corrigés 83
Chapitre 6. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1. Suites usuelles 95 – 2. Limites des suites numériques 96 – 3. Comparaison des suites
usuelles 98 – Exercices 100 – Corrigés 104
Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1. Limite 117 – 2. Continuité 118 – 3. Intervalles et continuité 119 – Exercices 121 –
Corrigés 125
Chapitre 8. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1. Fonctions de classe C n . 137 – 2. Propriétés des fonctions de classe C n 138 – 3. Applications aux suites u n+1 = f (u n ) 140 – Exercices 141 – Corrigés 146
Chapitre 9. Études locales et asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1. Comparaison des fonctions 161 – 2. Comparaison des suites 163 – 3. Développements
limités 163 – Exercices 165 – Corrigés 169
Chapitre 10. Arithmétique des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
1. Divisibilité et division euclidienne 185 – 2. PGCD et algorithme d’Euclide 186 –
3. Nombres premiers entre eux 187 – 4. Nombres premiers 188 – 5. Congruences 189 –
Exercices 190 – Corrigés 194
III
Table des matières
Chapitre 11. Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
1. Loi de composition interne 205 – 2. Groupes 205 – 3. Anneaux 207 – 4. Corps 208 –
Exercices 209 – Corrigés 213
Chapitre 12. Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
1. Propriétés arithmétiques des polynômes 225 – 2. Racines de polynômes 226 –
3. Fractions rationnelles 228 – Exercices 229 – Corrigés 233
Chapitre 13. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 245 – 2. Familles de vecteurs 246 –
3. Applications linéaires 247 – 4. Somme d’un nombre fini de sous-espaces 248 –
5. Endomorphismes remarquables 249 – Exercices 250 – Corrigés 254
Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1. Dimension d’un espace vectoriel 265 – 2. Dimension d’un sous-espace 266 – 3. Théorème du rang 267 – 4. Forme linéaire et hyperplan 267 – Exercices 269 – Corrigés 273
Chapitre 15. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1. Calcul matriciel 283 – 2. Matrices d’applications linéaires 286 – 3. Matrices d’endomorphismes 287 – Exercices 288 – Corrigés 293
Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
1. Opérations élémentaires 305 – 2. Systèmes linéaires 308 – Exercices 310 – Corrigés 313
Chapitre 17. Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
1. Permutation 321 – 2. Déterminant 321 – 3. Développement des déterminants 322 –
4. Formes n-linéaires alternées 323 – 5. Caractérisation des bases, isomorphismes et
des inversibles 324 – Exercices 326 – Corrigés 331
Chapitre 18. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
1. Produit scalaire 345 – 2. Orthogonalité 346 – 3. Bases orthonormales 346 – 4. Projection orthogonale 347 – 5. Groupe orthogonal 348 – Exercices 349 – Corrigés 353
Chapitre 19. Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
1. Intégrale d’une fonction continue par morceaux 365 – 2. Intégration et dérivation 367
– 3. Formules de Taylor 367 – Exercices 368 – Corrigés 372
Chapitre 20. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
1. Généralités 385 – 2. séries à termes positifs 386 – 3. Séries à termes quelconques 388
– Exercices 389 – Corrigés 393
Chapitre 21. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
1. Cardinal 407 – 2. Listes et combinaisons 408 – Exercices 411 – Corrigés 415
IV
Table des matières
Chapitre 22. Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
1. Espaces probabilisés 427 – 2. Probabilités conditionnelles 429 – Exercices 432 –
Corrigés 437
Chapitre 23. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
1. Loi 451 – 2. Indépendance 452 – 3. Espérance 453 – 4. Variance, écart-type 454 –
Exercices 456 – Corrigés 461
Chapitre 24. Problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
Corrigés 483
V
ÉT
M
1. Loi de composition interne
Définition 11.1.
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute application ∗ : E × E → E , c’est-à-dire que :
∀ x , y ∈ E 2, x ∗ y ∈ E .
Si ∗ est une loi de composition interne sur E , on dit :
• que ∗ est associative si : ∀ x , y , z ∈ E 3 , x ∗ y ∗ z = x ∗ y ∗ z ;
• que ∗ est commutative si : ∀ x , y ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x ;
• que e ∈ E est un élément neutre pour ∗ si : ∀x ∈ E , e ∗ x = e = x ∗ e ;
• que x ∈ E est inversible pour la loi ∗ s’il existe y ∈ E tel que y ∗ x = e = x ∗ y ;
• qu’une partie F de E est stable par ∗ si ∀ x , y ∈ F 2 , x ∗ y ∈ F.
Exemple
L’addition sur N est une loi de composition interne, elle est associative et 0 est
l’élément neutre pour ∗. Par contre, aucun élément de N\ {0} ne possède d’inverse
par +, car, si n ¾ 1, alors ∀m ∈ N, n + m ¾ 1 ⇒ n + m 6= 0.
2. Groupes
Définition 11.2.
On appelle groupe tout couple (G , ∗) où G est un ensemble non vide et ∗ une loi
de composition interne sur G . Cette loi ∗ doit être associative, posséder un élément
neutre e G et tout élément de G est inversible. Pour tout x ∈ G , on note x −1 son
unique inverse et, pour tout n ∈ Z, on définit x n par :
· · · ∗ x} si n ∈ N∗
x
| ∗ {z
0
n
x = eG , x =
.
n fois
...
(x −n )−1
si n ∈ Z∗−
205
E
Structures algébriques
D
O
H
11
Chapitre
Maths MPSI
On dit que le groupe (G , ∗) est commutatif si ∗ est une loi commutative. Dans ce
cas, on note plutôt « + » la loi ∗ (sauf si cela prête à confusion). L’élément neutre se
note 0G , l’inverse de tout élément x ∈ G se note −x et, pour tout entier n ∈ Z, on
définit nx par :
0x = 0G , nx =
+ ··· +x
x
| {z }
n fois
− ((−n ) x )
si n ∈ N∗
.
si n ∈ Z∗−
Définition 11.3. : Sous-groupe
Soit (G , ∗) un groupe et H un ensemble. On dit que que H est un sous-groupe de
(G , ∗) si (H ⊂ G et (H , ∗) est un groupe).
Théorème : Caractérisation des sous-groupes
Soit (G , ∗) un groupe et H un ensemble. H est un sous-groupe de (G , ∗) si les
quatre propriétés suivantes sont vérifiées :
H ⊂ G ; e G ∈ H ; ∀ x , y ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H , ∀x ∈ H , x −1 ∈ H .
Théorème : Groupes usuels
Les ensembles suivants sont des groupes commutatifs pour les lois habituelles
d’addition et de multiplication dans les nombres.
• (Z, +) , Q, + , (R, +) , (C, +)
.
• Q, × , Q∗+ , × , (R∗ , ×) , R∗+ , × , (C∗ , ×) .
• (U, ×) , (Un , ×) où l’on a posé U = {z ∈ C, |z | = 1} et Un = {z ∈ C, z n = 1} avec
n ∈ N∗ .
Exemple
Soit n ∈ N, on note nZ = {n a , a ∈ Z}. Montrons que (nZ, +) est un groupe en
prouvant qu’il s’agit d’un sous-groupe de (Z, +) . On a évidemment nZ ⊂ Z et (Z, +)
est un groupe. 0Z = 0 = n0 ∈ nZ . Si x , y ∈ nZ, alors il existe (a ,b ) ∈ Z2 tel que
x = n a et y = nb , donc :
∈Z
∈Z
z }| {
x + y = n (a + b ) ∈ nZ
et
z}|{
− x = n (−a ) ∈ nZ.
Définition 11.4. : Ensemble des permutations
Soit X un ensemble non vide, on note SX l’ensemble des applications f : X → X
qui sont bijectives. Tout élément de SX s’appelle une permutation de X .
206
D
O
H
E
Théorème : Groupe des permutations
L’ensemble (S X , ◦) (ensemble des permutations de X muni de la composition)
est un groupe (non commutatif sauf si X possède un seul élément).
3. Anneaux
Définition 11.5.
On appelle anneau tout triplet (A, +, ×) où A est un ensemble non vide, + et ×
deux lois de compositions internes telles que :
• (A, +) est un groupe (d’élément neutre 0A ) ;
• × est associative sur A, admet un élément neutre noté 1A et est distributive
par rapport à « + », c’est-à-dire que :
∀ x,y,z
∈ A 3 , x × y + z = x × y + (x × z ) ,
y +z ×x =
y × x + (z × x ) .
Si x , y sont deux éléments de A, on dit qu’ils commutent si x × y = y × x .
Si la loi × est commutative, on dit que l’anneau (A, +, ×) est commutatif.
Théorème : Anneaux usuels
Les ensembles (Z, +, ×) , Q, +, × , (R, +, ×) , (C, +, ×) sont des anneaux commutatifs (pour l’addition et la multiplication usuelle).
Exemple
ª
a
(a
,
,
n)
∈
Z
×
N
(ensemble des nombres décimaux). Montrons
10n
que (D, +, ×) est un anneau commutatif. Si x , y ∈ D, il existe (a ,b ) ∈ Z2 et (n, m ) ∈
b
a
N2 tels que x = n et y = m , donc :
10
10
On note D =
ÉT
M
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
§
∈Z
∈Z
z
}|
{
z}|{
a 10m − b 10n
ab
x −y =
∈ D et x y = n +m ∈ D.
n+m
10
10
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de D. Les lois +
et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur D. La distributivité de la
multiplication sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur D. En outre,
on a :
1
0
0R = 0 = 0 ∈ D, 1R = 0 ∈ D.
10
10
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R, et
que ces deux éléments sont dans D, on en déduit de + et × admettent des éléments
neutres dans D. Par conséquent, (D, +, ×) est un anneau commutatif.
207
Maths MPSI
Définition 11.6. : Inversibles d’un anneau
Si (A, +, ×) est un anneau, on note UA l’ensemble des inversibles de A pour la loi
×, c’est-à-dire :
UA = x ∈ A, ∃y ∈ A, x × y = 1A = y × x .
Théorème : Groupe des inversibles d’un anneau
Soit (A, +, ×) un anneau, alors (UA , ×) est un groupe.
Théorème : Formule du binôme
Soit (A, +, ×) un anneau et a ,b ∈ A deux éléments qui commutent, alors, pour
tout entier naturel n, on a :
n X
n k n−k
(a + b )n =
a b
.
k
k =0
Théorème : Formule de Bernoulli
Soit (A, +, ×) un anneau et a ,b ∈ A deux éléments qui commutent, alors pour
tout entier naturel n, on a :
a n − b n = (a − b )
n −1
X
a k b n−1−k .
k =0
4. Corps
Définition 11.7.
On appelle corps tout anneau (K , +, ×) commutatif dont tous les éléments différents de 0A sont inversibles pour la loi ×.
Théorème : Corps usuels
Les ensembles Q, +, × , (R, +, ×) , (C, +, ×) sont des corps (pour l’addition et la
multiplication usuelle).
208
Exercices
Structures algébriques
Exercices guidés
Exercice A
(10 min.)
Soit (G , ∗) un groupe. On pose :
Z (G ) = x ∈ G , ∀y ∈ G , x ∗ y = y ∗ x .
Montrer que (Z (G ) , ∗) est un groupe.
Exercice B
(20 min.)
ª
a
, (a ,b ) ∈ Z × Z∗ avec b un entier impair .
b
1) Montrer que (Z2 , +, ×) est un anneau. Est-ce un corps ?
2) Déterminer les inversibles de Z2 .
On note Z2 =
Exercice C
§
(15 min.)
Soit G un sous-groupe de (C∗ , ×) . On suppose que G = g 1 , ..., g n est un ensemble
fini formé de n éléments distincts.
Y
Y
1) Soit z ∈ G . Montrer que
zg =
g.
2) En déduire que G = Un .
g ∈G
g ∈G
Exercices
Exercice 1
(5 min.)
Soit (G , ∗) un groupe tel que ∀x ∈ G , x 2 = e G . Montrer que ∗ est commutative.
2
Indication : On pourra considérer x ∗ y avec x , y ∈ G .
Exercice 2
(20 min.)
Soit (G , ∗) un groupe. On note :
FG = x ∈ G , ∃n x ∈ N∗ , x n x = e G .
EX
209
ER
CI
CE
S
1) On suppose que (G , ∗) est commutatif. Montrer que (FG , ∗) est un groupe.
Maths MPSI
2) On suppose que G = SR = f : R → R bijective , qui est un groupe pour la composition.
Montrer que (FG , ◦) n’est pas un groupe.
Indication : On pourra utiliser les fonctions :
f 1 : x 7→ −x
Exercice 3
et
f 2 : x 7→ 1 − x .
(20 min.)
Soit (G , ∗) un groupe. Pour tout a ∈ G , on note :
¨
G →
G
Φa :
et
x 7→ a ∗ x ∗ a −1
I G = {Φa , a ∈ G } .
1) Soit (a ,b ) ∈ G 2 . Déterminer c ∈ G tel que Φa ◦ Φb = Φc . En déduire que Φa est une
bijection et expliciter (Φa )−1 .
2) Montrer que (I G , ◦) est un groupe et l’expliciter lorsque (G , ∗) est commutatif.
Exercice 4
(10 min.)
Soit (G , ∗) un groupe fini. On considère une partie H non vide de G , stable par ∗ et
telle que e G ∈ H .
Montrer que H est un sous-groupe de G .
Indication : Pour x ∈ H fixé, on pourra montrer que l’application f : y 7→ y ∗ x est une
bijection de H sur H .
Exercice 5
(10 min.)
Soit P une partie de R3 . On note :
H P = σ ∈ S{1,2,3} , / ∀ (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ P, x σ(1) , x σ(2) , x σ(3) ∈ P .
Montrer que (H P , ◦) est un groupe.
Rappelons que S {1,2,3} désigne les permutations (bijections) de l’ensemble {1, 2, 3} .
Exercice 6
(15 min.)
¦
©
p
On note H = x + y 3, x , y ∈ Z2 / x 2 − 3y 2 = 1 .
1) Justifier que H ⊂ R∗ .
2) Établir que (H , ×) est un sous-groupe de (R∗ , ×) .
Exercice 7
(10 min.)
Soit (G , +) un groupe commutatif. Pour tout élément x de G , on note :
x + A = {x + a , a ∈ A} .
Montrer que H = {x ∈ G , A = x + A} est un sous-groupe de G .
Exercice 8
(20
min.)
Soit j = exp
2πi
3
, on rappelle que 1 + j + j 2 = 0. On note :
©
¦
Z j = a + b j , (a ,b ) ∈ Z2 .
Montrer que Z j , +, × est un anneau commutatif.
210
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 9
(30 min.)
2πi
Soit j = exp
, on note Z j = a + b j , (a ,b ) ∈ Z2 . On admet que Z j , +, ×
3
est un anneau commutatif.
1) Établir que, si z ∈ Z j , alors |z |2 ∈ N.
2) Soit z ∈ Z j . Prouver que |z | = 1 si, et seulement si, z est inversible.
3) Démontrer que Z j possède un nombre fini d’inversibles et les expliciter.
Exercice 10
On note Z
commutatif.
(10 min.)
p ¦
©
p
p
2 = a + b 2, (a ,b ) ∈ Z2 . Montrer que Z 2 , +, × est un anneau
Exercice 11
(10 min.)
On note Z
neau.
p ¦
©
p
p
2 = a + b 2, (a ,b ) ∈ Z2 . On admet que Z 2 , +, × est un an-
p
p
1) Soit z = a +b 2 ∈ Z 2 avec (a ,b ) ∈ Z2 . On suppose que a 2 −2b 2 = ±1. Montrer
p
que z est inversible dans Z 2 .
p
p
2) Expliciter un élément z 6= ±1 inversible dans Z 2 . En déduire que Z 2
admet une infinité d’éléments inversibles.
Exercice 12
(15 min.)
Exercice 13
(15 min.)
p ¦
©
p
p
On note Z 2 = a + b 2, (a ,b ) ∈ Z2 . On admet que Z 2 , +, × est un anneau
commutatif.
p
1) Montrer que, si a + b 2 = 0 avec (a ,b ) ∈ Z2 , alors a = b = 0.
2) Soit (a ,b, c , d ) ∈ Z2 . On pose :
p
p
p
p
z = a + b 2, z 0 = c + d 2, w = a − b 2, w 0 = c − d 2.
p
On suppose que z est inversible dans Z 2 d’inverse z 0 .
a) Justifier que w est inversible et que son inverse est w 0 .
b) En déduire que a 2 − 2b 2 = ±1.
On note Q [i ] = a + b i , (a ,b ) ∈ Q2 . Montrer que Q [i ] , +, × est un corps.
Exercice 14
On note Q
Exercice 15
(15 min.)
p ¦
©
p
p
2 = a + b 2, (a ,b ) ∈ Q2 . Montrer que Q 2 , +, × est un corps.
(15 min.)
p ¦
©
p
p
2 = a + b 2, (a ,b ) ∈ Q2 . On admet que Q 2 , +, × est un corps.
p
Soit K un corps tel que K ⊂ Q 2 .
On note Q
EX
211
ER
CI
CE
S
1) Montrer que Q ⊂ K .
p
2) On suppose que Q =
6 K . Montrer que K = Q 2 .
Maths MPSI
Exercice 16
(10 min.)
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif possédant un nombre fini d’éléments et tel que :
∀ x , y ∈ A 2 , x y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.
Montrer que (A, +, ×) est un corps.
212
Corrigés
Structures algébriques
Corrigés des exercices guidés
Exercice A
Montrons qu’il s’agit d’un sous-groupe de (G , ∗) . Il est immédiat que Z (G ) ⊂ G et que
(G , ∗) est un groupe. e G ∈ Z (G ), car :
∀y ∈ G , e G ∗ y = y = y ∗ e G .
Soit x , x 0 ∈ Z (G ) , on a :
∀y
∈
=
donc x
∗x0
G, x ∗x0 ∗y = x ∗ x0 ∗y 0 = x ∗ y ∗x0
x ∈Z (G )
x ∗y ∗x0 = y ∗x ∗x0 = y ∗ x ∗x0 ,
x ∈Z (G )
∈ Z (G ) . En outre, on a :
∀y
∈
⇔
⇔
G , x ∗ y = y ∗ x ⇒ e G ∗ y = x −1 ∗ y ∗ x
x −1 ∗
−1
y = x ∗ y ∗ x ⇒ y ∗ x −1 = x −1 ∗ y ∗ x ∗ x −1
∗x −1
y ∗x
−1
=x
−1
∗ y ⇒ x −1 ∈ Z (G ) ,
ce qui démontre que Z (G ) est un sous-groupe de (G , ∗), donc (Z (G ) , ∗) est un groupe.
Exercice B
a
a0
1) Soit x , y ∈ Z2 , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 , (b,b 0 ) ∈ (Z∗ )2 tels x = , y = 0 et b,b 0 sont
b
b
des entiers impairs. On a :
∈Z
∈Z
z}|{
z }| {
aa0
a b 0 − a 0b
x −y =
∈ Z2 , x y =
∈ Z.
0
bb
bb 0
|{z}
|{z}
impair
impair
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z2 . Les lois + et × sont
associatives et commutatives sur R, donc sur Z2 . La distributivité de la multiplication
sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur Z2 . En outre, on a :
0
1
∈ Z2 , 1R = ∈ Z2 .
1
1
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R, et que
ces deux éléments sont dans Z2 , on en déduit de + et × admettent des éléments neutres
CO
RR
IG
213
ÉS
0R =
Maths MPSI
dans Z2 . Ainsi, (Z2 , +, ×) est un anneau. Par contre, ce n’est pas un corps. En effet, le
2
a
nombre 2 = ∈ Z2 , mais il n’existe aucun élément x = ∈ Z2 ((a ,b ) ∈ Z × Z∗ avec b
1
b
impair) tel que :
a
2x = 1 ⇔ 2
= 1 ⇔ |{z}
b = |{z}
2a
b
impair
pair
ce quiest impossible. Par conséquent, (Z2 , +, ×) n’est pas un corps.
a
2) Soit x = ∈ Z2 ((a ,b ) ∈ Z × Z∗ avec b impair) un élément inversible de Z2 , il existe
b
a0
y = 0 ∈ Z2 ((a 0 ,b 0 ) ∈ Z × Z∗ avec b 0 impair) tel que :
b
aa0
= 1 ⇔ a a 0 = bb 0 .
xy = 1 ⇔
bb 0
Comme bb 0 est un entier impair, on est assuré que a a 0 est un entier impair, donc il est
indispensable que a ne soit pas un entier pair (le produit d’un entier pair par un entier
est un entier pair).
a
Réciproquement, si x = ∈ Z2 avec (a ,b ) ∈ Z × Z∗ et a ,b des entiers impairs, alors
b
1 b
x=
6 0 et = ∈ Z2 , car (b, a ) ∈ Z × Z∗ et a est un entier impair.
x
a
a
Par conséquent, les inversibles de Z2 sont exactement les éléments de la forme avec
b
(a ,b ) ∈ Z × Z∗ et a ,b sont des entiers impairs.
Exercice C
∗
1) Puisque G
¨ est un sous-groupe de (C , ×) , pour tout b ∈ G , z g ∈ G . On peut, donc
G → G
considérer f :
. Elle est injective, car :
g 7→ z g
∀ g , g 0 ∈ G 2, f g = f g 0 ⇔ z g = z g 0 ⇔ g = g 0.
×z −1
L’application f étant injective entre deux ensembles finis de même cardinal, elle est
bijective. On peut alors effectuer le changement de variable h = f g ⇔ g = f −1 (h), ce
qui nous donne :
Y
Y
Y
Y
Y
h= f ( g )
zg =
f g
=
h=
h =
g.
g ∈G
g ∈G
g = f −1 (h)
h∈f −1 (G )=G
h∈G
g =h
g ∈G
Y
2) D’après la question précédente et par multiplicativité de
, on a :
Y
Y
Y
Y Y
g=
zg =
z
g = zn
g ⇒ zn = 1
g ∈G
(en divisant par
Y
g ∈G
g ∈G
g ∈G
g ∈G
g qui est non nul). Ceci fournit l’inclusion G ⊂ Un . Comme G et Un
g ∈G
sont deux ensembles finis de même cardinal, on en déduit que G = Un .
214
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Corrigés des exercices
Exercice 1
Pour tout x , y ∈ G 2 , on a :
xy
2
= eG ⇔ x ∗ y ∗ x ∗ y = eG
⇒x ∗y ∗x ∗y =x ⇔ y ∗x ∗y =x
2
x 2 =e G
x∗
⇒ y ∗x ∗y = x ∗y ⇔ y ∗x = x ∗y.
2
∗y
y 2 =e G
Exercice 2
FG ⊂ G et (G , ∗)
1) Montrons que FG est un sous-groupe de (G , ∗) . On a évidemment
est un groupe. e G ∈ FG , car (e G )1 = e G . Si x , y ∈ FG , il existe n x , n y ∈ (N∗ )2 tel que :
¨
n n
n
x n x = eG
⇒
x ∗y x y
=
x n x n y ∗ y n x n y = (x n x )n y ∗ y n y x
y n y = eG
∗ est commutative
=
(e G )n y ∗ (e G )n x = e G ∗ e G = e G ,
donc x ∗ y ∈ FG . En outre, on a :
n x
x −1
= x −n x = (x n x )−1 = (e G )−1 = e G ,
donc x −1 ∈ FG . Par conséquent, FG est un sous-groupe de (G , ∗), donc (F, ∗) est un groupe.
2) Il est immédiat que les f 1 et f 2 sont des bijections de R sur R, donc appartiennent
à SR . Un calcul direct montre que :
2
∀x ∈ R, f 1 (x ) = f 1 f 1 (x ) = f 1 (−x ) = − (−x ) = x
2
⇒
f 1 = IdR ⇒ f 1 ∈ FG .
2
∀x ∈ R, f 2 (x ) = f 2 f 2 (x ) = f 2 (1 − x ) = 1 − (1 − x ) = x
2
⇒
f 2 = IdR ⇒ f 2 ∈ FG .
Si l’on pose f 3 = f 2 ◦ f 1 , un autre calcul montre que :
∀x ∈ R, f 3 (x ) = f 2 f 1 (x ) = f 2 (−x ) = 1 − (−x ) = x + 1.
Une récurrence immédiate montre que :
215
CO
RR
IG
ÉS
n
∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R, f 3 (x ) = x + n 6= x .
n
Par conséquent, pour tout entier n ∈ N∗ , f 3 6= IdR , donc f 3 = f 2 ◦ f 1 ∈
/ FG , ce entraîne
que (FG , ∗) n’est pas un groupe.
Maths MPSI
Exercice 3
1) Pour tout x ∈ G , on a :
(Φa ◦ Φb ) (x )
=
Φa (Φb (x )) = Φa b ∗ x ∗ b −1
a ∗ b ∗ x ∗ b −1 ∗ a −1
(a ∗ b ) ∗ x ∗ b −1 ∗ a −1
=
(a ∗ b ) ∗ x ∗ (a ∗ b )−1 = Φa ∗b (x ) ,
=
=
donc :
∀ (a ,b ) ∈ G 2 , Φa ◦ Φb = Φa ∗b .
On remarque également que :
ΦeG : x 7→ e G ∗ x ∗ (e G )−1 = x ⇒ ΦeG = IdG ,
ce qui nous donne pour tout a ∈ G :
Φa ◦ Φa −1
=
Φa ∗a −1 = ΦeG = IdG
Φ
=
Φa −1 ∗a = ΦeG = IdG
a −1
◦ Φa
donc Φa est bijective et (Φa )−1 = Φa −1 .
2) Montrons que I G est un sous-groupe de (SG , ◦) (ensemble des applications f : G →
G bijectives). D’après la question précédente, on a l’inclusion I G ⊂ SG et (SG , ◦) est un
groupe. On a également e SG = IdG = ΦeG ∈ I G . Pour tout f , g ∈ (I G )2 , il existe a ,b ∈ G
tel que f = Φa et g = Φb alors :
f ◦ g = Φa ◦ Φb = Φa ∗b ∈ I G , f −1 = Φa −1 ∈ I G ,
donc I G est un sous-groupe de (SG , ◦), ce qui démontre que (I G , ◦) est un groupe.
Si (G , ∗) est commutatif, on a pour tout a ∈ G :
∀x ∈ G , Φa (x ) = a ∗ x ∗ a −1 = a ∗ a −1 ∗ x = e G ∗ x = x ,
donc Φa = Id . Ceci démontre l’inclusion I G ⊂ {IdG } et, comme {IdG } ⊂ I G , on peut
affirmer que I G = {IdG } .
Exercice 4
Soit x ∈ H , pour tout y ∈ H , f y = y ∗ x ∈ H (car H est stable par ∗), donc f : H → H .
L’application f est injective, car
∀ y,y 0
∈ H 2, f y = f y 0 ⇔ y ∗ x = y 0 ∗ x
⇒ y ∗ x ∗ x −1
= y 0 ∗ x ∗ x −1 ⇔ y ∗ e G = y 0 ∗ e G ⇔ y = y 0 .
∗x −1
Comme H est une partie de G qui est un ensemble fini, alors H est aussi un ensemble
fini. L’application f : H → H est une injection entre deux ensembles finis de même
cardinal, donc elle est bijective. En particulier, il existe y ∈ H tel que :
f y = e G ⇔ y ∗ x = e G ⇒ y ∗ x ∗ x −1 = e G ∗ x −1 ⇔ x −1 = y ∈ H .
∗x −1
Par conséquent, H est un sous-ensemble non vide de G , il est stable par ∗ et par passage
à l’inverse, donc c’est un sous-groupe de (G , ∗) .
216
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 5
Il est immédiat que H ⊂ S{1,2,3} et S{1,2,3} , ◦ est un groupe. e S{1,2,3} = Id{1,2,3} ∈ H , car :
∀ (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ P, x Id(1) , x Id(2) , x Id(3) = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ P.
Soit σ, σ0 ∈ H , alors, pour tout (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ P, on a :
x σ(1) , x σ(2) , x σ(3) ∈ P
(car σ ∈ H ). Comme σ0 ∈ H , on en déduit que :
x σ0 (σ(1)) , x σ0 (σ(2)) , x σ0 (σ(3)) ∈ P ⇔ x (σ0 ◦σ)(1) , x (σ0 ◦σ)(2) , x (σ0 ◦σ)(2) ∈ P
donc σ0 ◦ σ ∈ H . Comme {1, 2, 3} est un ensemble fini, S{1,2,3} est aussi un ensemble fini.
Puisque H est un sous-ensemble non vide de S{1,2,3} contenant e S{1,2,3} et stable par ◦, on
en déduit (en utilisant l’exercice 4) que H est un sous-groupe de S{1,2,3} , ◦ , donc (H , ◦)
est un groupe.
Exercice 6
p
1) Soit z ∈ H , il existe x , y ∈ Z2 tel que z = x + y 3 avec :
p
p
x 2 − 3y 2 = 1 ⇔ x + 3y x − y 3 = 1 ⇒ z 6= 0 ⇒ H ⊂ R∗ .
| {z }
=z
2) D’après
la question précédente, on a H ⊂ R∗ et (R∗ , ×) est un groupe. 1 ∈ H avec
p
1 = 1 + 0 3 avec (1, 0) ∈ Z2 et 12 − 3.02 = 1. Soit (z , z 0 ) ∈ H 2 , il existe x , x 0 , y , y 0 ∈ Z4 tel
que :
¨
p
z = x + y 3, x 2 − 3y 2 = 1
p
2
.
z 0 = x 0 + y 0 3, (x 0 )2 − 3 y 0 = 1
On peut, alors écrire :
p
z z 0 = x x 0 + 3y y 0 + x y 0 + x 0 y 3
{z
} |
{z
}
|
∈Z
∈Z
et on a :
−3 x 2
2
2
2
2
x x 0 + 3y y 0 − 3 x y 0 + x 0 y = x 2 x 0 + 6x x 0 y y 0 + 9y 2 y 0
2
2
2
2
2
2 2
y 0 + 2x x 0 y y 0 + x 0 y 2 = x 2 x 0 − 3 y 0
−3 x0 −3 y 0
y
2
2
= x0 −3 y 0
x 2 − 3y 2 = 1 × 1 = 1,
donc z z 0 ∈ H . Pour finir, on a :
p
p
p
1
1
x −y 3
x −y 3
=
= |{z}
x + −y 3
p =
p
p = 2
2
| {z }
z
x − 3y
x +y 3
x +y 3 x −y 3
∈Z
∈Z
1
avec x 2 − 3 −y = x 2 − 3y 2 = 1 donc ∈ H , ce qui démontre que (H , ×) est un sousz
groupe de (R∗ , ×) .
217
CO
RR
IG
ÉS
2
Maths MPSI
Exercice 7
Par définition, on a H ⊂ G et (G , +) est un groupe. 0G ∈ H , car :
0A + A = {0A + a , a ∈ A} = {a , a ∈ A} = A.
Soit (h, h 0 ) ∈ H 2 , donc h + A = A et h 0 + A = A, ce qui permet d’écrire :
h + h0 + A =
h + h0 + a , a ∈ A
= {h + b, b ∈ h 0 + A }
| {z }
b =h 0 +a
=A
=
{h + b, b ∈ A} = h + A = A,
donc h + h 0 ∈ H . En outre, on a :
A
=
{a , a ∈ A} = {−h + h + a , a ∈ A}
=
{−h + b, b ∈ A} = −h + A,
=
b =h+a
{−h + b, b ∈ h + A }
| {z }
=A
donc −h ∈ H , ce qui démontre que H est un sous-groupe de G .
Exercice 8
2
Soit x , y ∈ Z j
, il existe (a , a 0 ,b,b 0 ) ∈ Z4 tel que x = a + b j , y = a 0 + b 0 j , alors
on a :
x −y =
a − a0 + b −b0 j ∈ Z j ,
| {z } | {z }
∈Z
xy
=
=
∈Z
a a 0 + a b 0 j + b a 0 j + bb 0 j 2 = a a 0 + a b 0 j + b a 0 j + bb 0 −1 − j
a a 0 − bb 0 + a b 0 + b a 0 − bb 0 j ∈ Z j .
| {z } |
{z
}
∈Z
∈Z
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z j . Les lois +
et × sont associatives et commutatives sur C, donc sur Z j . La distributivité de la
multiplication sur l’addition étant vraie sur C, elle est encore vraie sur Z j . En outre,
on a :
0C = |{z}
0 + |{z}
0 .j ∈ Z j , 1 = |{z}
1 + |{z}
0 .j ∈ Z j .
∈Z
∈Z
∈Z
∈Z
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0C et 1C dans C et que ces
deux éléments sont dans Z j , on en déduit de + et × admettent des éléments neutres
dans Z j . On en déduit que Z j , +, × est un anneau commutatif.
Exercice 9
1) Soit z ∈ Z j , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 tel que z = a + b j , donc :
|z |2 = z z = a + b j a + b j = a 2 + a b j + j + b 2 j j
2
2π
2
= a + a b 2 cos
+ b 2 j = a 2 − a b + b 2.
3
Ainsi, |z |2 est un entier relatif (comme somme et produit de tels nombres) et un réel
positif (c’est le carré d’un réel), donc c’est un entier naturel.
218
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
2) Soit z ∈ Z j , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 tel que z = a + b j .
Implication directe : Supposons que
|z |2
=
=
1
= z = a +b j
z
(a − b ) + (−b ) j ∈ Z j ,
| {z } |{z}
1 ⇔ z z = 1 ⇒∗
z ∈C
∈Z
=
j +j =−1
a + b −1 − j
∈Z
1
donc z est inversible dans Z j (et son inverse est simplement )
z Implication réciproque : Supposons que z soit inversible dans Z j , alors il existe
z 0 ∈ Z j tel que :
2
2
z z 0 = 1 ⇒ z z 0 = 1 ⇔ |z |2 z 0 = 1.
Comme |z |2 et |z 0 |2 sont des entiers naturels dont le produit vaut 1, on a nécessairement :
2
|z |2 = z 0 = 1.
3) Soit z ∈ Z j , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 tel que z = a + b j . Alors, z est inversible si et
seulement si :
|z |2 = 1 ⇔ a 2 − a b + b 2 = 1 ⇔ (R) : a b = a 2 + b 2 − 1.
Il est opportun de rappeler une majoration célèbre :
1
∀ x , y ∈ R2 , x y ¶
x2 +y 2
2
2
(elle découle du développement |x | − y ), donc :
1
1 2
a 2 + b 2 − 1 = a b ¶ |a b | ¶
a +b2 ⇒
a2 +b2 ¶ 1
2
2
(
p
p
¨
p
2
2
2
|a | ¶ 1
|a | = a ¶ a + b ¶ 2
p
p
,
⇒
⇔ a2 +b2 ¶ 2 ⇒
p
2
2
2
|b | ¶ 1
|b | = b ¶ a + b ¶ 2
car a et b sont des entiers relatifs. Il n’y a qu’un nombre fini de valeurs possibles pour a
et pour b , donc il n’y a qu’un nombre fini d’inversibles de Z j . Déterminons les.
Premier cas : a = 0. D’après la relation (R) , on a :
b 2 = 1 ⇔ b = ±1 ⇔ z = ±j .
Deuxième cas : a = 1. D’après la relation (R) , on a :
b 2 = b ⇔ b (b − 1) = 0 ⇔ b ∈ {0, 1} ⇔ z ∈ 1, 1 + j .
Troisième cas : a = −1. D’après la relation (R) , on a :
219
CO
RR
IG
ÉS
b 2 = −b ⇔ b (b + 1) = 0 ⇔ b ∈ {0, −1} ⇔ z ∈ −1, −1 − j .
On en déduit que les inversibles de Z j sont contenus dans l’ensemble
A = ±1, ±j , ± 1 + j
et chaque élément de A est un inversible de Z j (car ils appartiennent à Z j et leur
module au carré vaut 1), donc les inversibles de Z j forment l’ensemble A.
Maths MPSI
Exercice 10
p 2
Soit x , y ∈ Z 2
, il existe (a , a 0 ,b,b 0 ) ∈ Z4 tel que :
p
p
x = a + b 2, y = a 0 + b 0 2 ⇒
p
p
x −y =
a − a0 + b −b0 2 ∈ Z 2 ,
| {z } | {z }
∈Z
∈Z
p
p
x y = a a 0 + 2bb 0 + a b 0 + b a 0 2 ∈ Z 2 .
| {z } |
{z
}
∈Z
∈Z
p
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z 2 . Les lois +
p
et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur Z 2 . La distributivité de la
p
multiplication sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur Z 2 . En outre,
on a :
p
p
p
p
0R = |{z}
0 + |{z}
0 . 2 ∈ Z 2 , 1R = |{z}
1 + |{z}
0 . 2∈Z 2 .
∈Z
∈Z
∈Z
∈Z
Puisque + et × admettent comme
neutres respectifs 0R et 1R dans R et que
p éléments
ces deux éléments sont dans Z 2 , on en déduit de + et × admettent des éléments
p
p
neutres dans Z 2 . Ainsi, Z 2 , +, × est un anneau commutatif.
Exercice 11
1) Puisque l’on a :
p
p
p
±1 = a 2 − 2b 2 = a + b 2 a − b 2 ⇔ z ± a − b 2 = 1,
|
{z
}
p
=y ∈Z[ 2]
p
p
on en déduit que z est inversible dans Z 2 (car ∃ y ∈ Z 2 tel que x y = 1).
p
p
2) Puisque 12 − 2 × 12 = −1, on en déduit que z = 1 + 2 ∈ Z 2 est inversible. Les
inversibles d’un anneau formant un groupe multiplicatif, donc ∀n ∈ N, z n est aussi
inversible. Comme z > 1, la suite (z n )n∈N tend vers +∞, donc elle
une infinité
pcontient
d’éléments distincts. A fortiori, l’ensemble des inversibles de Z 2 est infini.
Exercice 12
p
p
p
a
1) Soit (a ,b ) ∈ Z2 tel que a +b 2 = 0 ⇔ a = −b 2. Si b =
6 0, alors on a : 2 = − ∈ Q,
b
ce qui est impossible, donc b = 0, ce qui entraine que a = 0.
2) a) Par définition, on a :
p
z z 0 = 1 ⇔ (a c + 2b d ) + (a d + b c ) 2
p
⇔ (a c + 2b d − 1) + (a d + b c ) 2 = 0
|
{z
} | {z }
∈Z
∈Z
¨
a c + 2b d − 1 = 0
⇒ (R)
ad +bc = 0
cf. q1
p
⇒ w w 0 = (a c + 2b d ) − (a d + b c ) 2 = 1,
| {z } | {z }
=1 d’après (R)
=0 d’après (R)
p
donc w est inversible dans Z 2 et son inverse est w 0 .
220
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
p
b) z est inversible dans Z 2 et son inverse est z 0 , donc z z 0 = 1. D’après la question
précédente, on a w w 0 = 1. On peut, alors affirmer que z et w sont non nuls et on a dans
R les égalités :
1
z = z0
1
1
2
2
1 ⇒ z w = z 0 w 0 ⇔ a − 2b = c 2 − 2d 2 .
w= 0
w
Puisque a 2 − 2b 2 et c 2 − 2d 2 sont deux entiers relatifs inverses l’un de l’autre, la seule
possibilité est qu’ils soient égaux et valent ±1.
Exercice 13
2
Soit x , y ∈ Q [i ] , il existe (a ,b, a 0 ,b 0 ) ∈ Q4 tel que x = a + i b et y = a 0 + i b 0 , donc :
x −y =
a − a 0 + i b − b 0 ∈ Q [i ]
| {z }
| {z }
∈Q
=
xy
∈Q
a a 0 − bb 0 + i a b 0 + a 0b ∈ Q [i ] .
|
{z
}
|
{z
}
∈Q
∈Q
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q [i ] . Les lois +
et × sont associatives et commutatives sur C, donc sur Q [i ] . La distributivité de la
multiplication sur l’addition étant vraie sur C, elle est encore vraie sur Q [i ] . En outre,
on a :
0C = 0 = |{z}
0 + i × |{z}
0 ∈ Q [i ] , 1C = 1 = |{z}
1 + i |{z}
0 ∈ Q [i ] .
∈Q
∈Q
∈Q
∈Q
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0C et 1C dans C et que ces
deux éléments sont dans Q [i ] , on en déduit de + et × admettent des éléments neutres
dans Q [i ] . Ainsi, Q [i ] , +, × est un anneau commutatif. Soit x ∈ Q [i ] \ {0}, il existe
(a ,b ) ∈ Q2 tel que x = a + i b. Comme x 6= 0, on est assuré que a 6= 0 ou b 6= 0, donc
a − i b 6= 0, et on a :
1
1
a − ib
a
b
−
i
∈ Q [i ] .
=
=
=
(a + i b ) (a − i b )
x
a + ib
a2 +b2
a2 +b2
| {z }
| {z }
∈Q
∈Q
1
On a déterminé un élément y = ∈ Q [i ] tel que x y = 1C , donc tout élément non nul
x
de Q [i ] admet un inverse dans Q [i ], ce qui démontre que Q [i ] , +, × est un corps.
Exercice 14
p
2
, il existe (a , a 0 ,b,b 0 ) ∈ Q4 tel que :
p
p
x = a + b 2, y = a 0 + b 0 2 ⇒
p
p
x −y =
a − a0 + b −b0 2 ∈ Q 2 ,
| {z } | {z }
2
∈Q
=
∈Q
p
p
a a + 2bb + a b 0 + b a 0 2 ∈ Q 2 .
| {z } |
{z
}
0
∈Q
∈Q
221
ÉS
xy
0
CO
RR
IG
Soit x , y ∈ Q
Maths MPSI
p
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q 2 . Les lois +
p
et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur Q 2 . La distributivité de la
p
multiplication sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur Q 2 . En outre,
on a :
p
p
p
p
1 + |{z}
0 . 2∈Q 2 .
0R = |{z}
0 + |{z}
0 . 2 ∈ Q 2 , 1R = |{z}
∈Z
∈Z
∈Z
∈Z
Puisque + et × admettent comme
neutres respectifs 0R et 1R dans R et que
p éléments
ces deux éléments sont dans Q 2 , on en déduit de + et × admettent des éléments
p
p
neutres dans Q 2 . Ainsi, Q 2 , +, × est un anneau commutatif. En outre, si
p
p
x = a + b 2 6= 0, vérifions que a − b 2 6= 0. On procède par l’absurde en supposant que
p
p
a
a − b 2 = 0. Si b 6= 0, alors on a : 2 = − ∈ Q, ce qui est impossible, donc :
b
p
p
b = 0 ⇒ a = −b 2 = 0 ⇒ x = a + b 2 = 0,
p
ce qui est absurde, d’où a − b 2 6= 0. On peut alors écrire :
p
1
1
a −b 2
=
p =
p
p
x
a +b 2
a +b 2 a −b 2
p
p
b
a
+ − 2
=
2∈Q 2 .
2
2
2
a − 2b
a − 2b
| {z } |
{z
}
∈Q
∈Q
p
1
On a déterminé un élément y = ∈ Q 2 tel que x y = 1R , donc tout élément non nul
x
p
p
p
de Q 2 admet un inverse dans Q 2 , ce qui démontre que Q 2 , +, × est un
corps.
Exercice 15
1)
p
2) Puisque K est un corps inclus dans Q 2 , on a 1K = 1Q = 1 ∈ K , donc :
∀n ∈ Z, n1 = n ∈ K
K stable
⇒
par produit
K stable
⇒
par inverse
∀ (n, m ) ∈ Z × Z∗ , n ×
∀n ∈ Z∗ ,
1
∈K
n
1
n
=
∈K ⇒Q⊂K.
m
m
p
3) D’après l’hypothèse,pil existe x ∈ K \Q. Soit (a ,b ) ∈ Q2 tel que x = a +b 2. Comme
a ∈ Q ⊂ K , on a x −a = b 2 ∈ K . Si b = 0, alors x = a ∈ Q, ce qui est absurde, donc b =
6 0.
p
p
1 p
Comme b 2 ∈ K et b ∈ K \ {0} , on en déduit que b 2 × = 2 ∈ K . Par conséquent,
bp
p
pour tout y ∈ Q 2 , il existe (c , d ) ∈ Q2 tel que y = c + d 2. Puisque c , d ∈ Q ⊂ K et
p
p
p
2 ∈ K , on en déduit que y = c + d 2 ∈ K d’où l’inclusion Q 2 ⊂ K . L’inclusion
réciproque est immédiate, ce qui fournit l’égalité souhaitée.
222
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 16
Il suffit de montrer que chaque élément non nul de A possède un inverse dans A. Soit
x ∈ A\ {0A } , pour tout y ∈ A,
¨ x y ∈ A (car A est un anneau). Par conséquent, on peut
A → A
considérer l’application f :
. Elle est injective, car :
a 7→ x a
∀ a , a 0 ∈ A 2 , f (a ) = f a 0 ⇔ x a = x a 0 ⇔ x a − x a 0 = 0 ⇔ x a − a 0 = 0
x = 0A (impossible)
par hypothèse
ou
⇒
⇒ a − a 0 = 0 ⇔ a = a 0.
de l’énoncé
0
a − a = 0A
Puisque f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, on peut
affirmer que f est une bijection. Par conséquent, 1A admet un antécédent par f , c’est-àdire qu’il existe y ∈ A tel que :
f y = 1A ⇔ x y = 1A .
223
CO
RR
IG
ÉS
Comme la loi × est commutative, on a aussi y x = 1A , donc x est inversible dans A, quel
que soit x ∈ A\ {0A } ce qui démontre que (A, +, ×) est un corps.
VUIBERT
MATHS
MPSI
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
Des ouvrages pour faire la différence :
– des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables
et réviser efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse.
SOMMAIRE
1. Bases mathématiques – 2. Nombres complexes – 3. Manipulations algébriques –
4. Fonctions usuelles – 5. Équations différentielles – 6. Suites – 7. Limites de fonctions,
continuité – 8. Dérivabilité – 9. Études locales et asymptotiques – 10. Arithmétique
des entiers – 11. Structures algébriques – 12. Polynômes et fractions rationnelles –
13. Espaces vectoriels – 14. Espaces vectoriels de dimension finie – 15. Matrices –
16. Échelonnement et systèmes linéaires – 17. Déterminants – 18. Espaces euclidiens –
19. Calcul intégral – 20. Séries numériques – 21. Dénombrement – 22. Probabilités sur
un univers fini – 23. Variables aléatoires – 24. Problèmes de synthèse
Les auteurs :
Abdellah Bechata est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Malherbe
à Caen
Nicolas de Granrut est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Franklin
Roosevelt à Reims
ISBN : 978-2-311-40216-2
www.
.fr
