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programme
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
A. Bechata
N. de Granrut

Table des matières
Chapitre 1. Bases mathématiques ................................ 1
1. Principaux types de raisonnement 1 – 2. Opérations sur les ensembles 3 – 3. Applica-
tions 3– 4. Relation d’équivalence, relation d’ordre 3–Exercices 5 –Corrigés 9
Chapitre 2. Nombres complexes ................................. 19
1. Écriture cartésienne 19 – 2. Exponentielle d’un imaginaire pur 20 – 3. Écriture expo-
nentielle d’un complexe 20 – 4. Racines n -ièmes d’un complexe 21 – 5. Interprétation
géométrique 22 – 6. Exponentielle d’un complexe 22 –Exercices 23 –Corrigés 27
Chapitre 3. Manipulations algébriques ............................. 41
1. Symbole somme et produit 41 – 2. Sommes remarquables 42 – Exercices 45 –
Corrigés 48
Chapitre 4. Fonctions usuelles .................................. 55
1. Dérivation 55 – 2. Bijections 56 – 3. Fonctions usuelles 57 – 4. Fonctions trigonomé-
triques et réciproques 58 –Exercices 60 –Corrigés 63
Chapitre 5. Équations différentielles .............................. 75
1. Primitives 75 – 2. Équations différentielles linéaires 75 – 3. Résolution des EDL
176
–
4. Résolution des EDL2à coefficients constants 77 –Exercices 80 –Corrigés 83
Chapitre 6. Suites numériques .................................. 95
1. Suites usuelles 95 – 2. Limites des suites numériques 96 – 3. Comparaison des suites
usuelles 98 –Exercices 100 –Corrigés 104
Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité ......................... 117
1. Limite 117 – 2. Continuité 118 – 3. Intervalles et continuité 119 – Exercices 121 –
Corrigés 125
Chapitre 8. Dérivabilité ....................................... 137
1. Fonctions de classe Cn.137 – 2. Propriétés des fonctions de classe Cn138 – 3. Appli-
cations aux suites un+1=f(un)140 –Exercices 141 –Corrigés 146
Chapitre 9. Études locales et asymptotiques ......................... 161
1. Comparaison des fonctions 161 – 2. Comparaison des suites 163 – 3. Développements
limités 163 –Exercices 165 –Corrigés 169
Chapitre 10. Arithmétique des entiers ............................. 185
1. Divisibilité et division euclidienne 185 – 2. PGCD et algorithme d’Euclide 186 –
3. Nombres premiers entre eux 187 – 4. Nombres premiers 188 – 5. Congruences 189 –
Exercices 190 –Corrigés 194
III

Table des matières
Chapitre 11. Structures algébriques ............................... 205
1. Loi de composition interne 205 – 2. Groupes 205 – 3. Anneaux 207 – 4. Corps 208 –
Exercices 209 –Corrigés 213
Chapitre 12. Polynômes et fractions rationnelles ..................... 225
1. Propriétés arithmétiques des polynômes 225 – 2. Racines de polynômes 226 –
3. Fractions rationnelles 228 –Exercices 229 –Corrigés 233
Chapitre 13. Espaces vectoriels .................................. 245
1. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 245 – 2. Familles de vecteurs 246 –
3. Applications linéaires 247 – 4. Somme d’un nombre fini de sous-espaces 248 –
5. Endomorphismes remarquables 249 –Exercices 250 –Corrigés 254
Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie .................... 265
1. Dimension d’un espace vectoriel 265 – 2. Dimension d’un sous-espace 266 – 3. Théo-
rème du rang 267 – 4. Forme linéaire et hyperplan 267 – Exercices 269 – Corrigés 273
Chapitre 15. Matrices ........................................ 283
1. Calcul matriciel 283 – 2. Matrices d’applications linéaires 286 – 3. Matrices d’endo-
morphismes 287 –Exercices 288 –Corrigés 293
Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires ..................... 305
1. Opérations élémentaires 305 – 2. Systèmes linéaires 308 – Exercices 310 – Corri-
gés 313
Chapitre 17. Déterminants ..................................... 321
1. Permutation 321 – 2. Déterminant 321 – 3. Développement des déterminants 322 –
4. Formes n -linéaires alternées 323 – 5. Caractérisation des bases, isomorphismes et
des inversibles 324 –Exercices 326 –Corrigés 331
Chapitre 18. Espaces euclidiens .................................. 345
1. Produit scalaire 345 – 2. Orthogonalité 346 – 3. Bases orthonormales 346 – 4. Projec-
tion orthogonale 347 – 5. Groupe orthogonal 348 –Exercices 349 –Corrigés 353
Chapitre 19. Calcul intégral .................................... 365
1. Intégrale d’une fonction continue par morceaux 365 – 2. Intégration et dérivation 367
– 3. Formules de Taylor 367 –Exercices 368 –Corrigés 372
Chapitre 20. Séries numériques ..................................385
1. Généralités 385 – 2. séries à termes positifs 386 – 3. Séries à termes quelconques 388
–Exercices 389 –Corrigés 393
Chapitre 21. Dénombrement ................................... 407
1. Cardinal 407 – 2. Listes et combinaisons 408 –Exercices 411 –Corrigés 415
IV

Table des matières
Chapitre 22. Probabilités sur un univers fini ......................... 427
1. Espaces probabilisés 427 – 2. Probabilités conditionnelles 429 – Exercices 432 –
Corrigés 437
Chapitre 23. Variables aléatoires ................................. 451
1. Loi 451 – 2. Indépendance 452 – 3. Espérance 453 – 4. Variance, écart-type 454 –
Exercices 456 –Corrigés 461
Chapitre 24. Problèmes de synthèse .............................. 477
Corrigés 483
V