Notions élémentaires de complexité

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Efficacité des algorithmes
Comment choisir parmi les différentes
approches pour résoudre un problème?
2 objectifs à atteindre:
1. Concevoir un algorithme facile à
comprendre, coder et déboguer.
2. Concevoir un algorithme qui utilise de façon
efficace les ressources de l’ordinateur.
Efficacité des algorithmes(suite)
Objectif (1): concerne le génie logiciel
Objectif (2): Algorithmes et structures de données.
Lorsque l’objectif (2) est important, comment
peut-on mesurer l’efficacité d’un algorithme?
Comment mesurer l’efficacité?
1.
2.
Comparaison empirique: coder et exécuter le programme
Analyse théorique (asymptotique)
Ressources critiques: temps, espace mémoire,...
Facteurs affectant le temps d’exécution:
machine, langage, programmeur, compilateur, algorithme et
structure de données.
En général, le temps d’exécution dépend de la longueur de l’entrée.
Ce temps est une fonction positive T(n) où n est la longueur de l’entrée.
Analyse théorique
On compte le nombre d’opérations élémentaires en fonction de la
longueur de l’entrée.
Exemple:
Problème
Op. élémentaire
Trouver x dans un tableau
Comparaison de x avec les
éléments du tableau
Multiplier 2 matrices
Multiplication scalaire
Trier un tableau
Comparaison entre deux
éléments du tableau
Parcourir un arbre
Visiter un noeud
Analyse théorique
La longueur de l’entrée dépend du problème.
Exemple:
Problème
Longueur
Trier un tableau
Nombre d’éléments dans le
tableau
Multiplier deux matrices
Dimension des matrices
Parcourir un arbre binaire
Nombre de noeuds
Résoudre un système
d’équations linéaires
Nombre d’inconnues ou
d’équations
Résoudre un problème de
graphe
Nombre de nœuds et/ou
nombre d’arêtes
Exemples
Exemple 1.
// Retourne l’indice du plus grand élément
int PlusGrand(int T[], int n) {
int max = 0;
for (int i=1; i<n; i++)
if (T[max] < T[i])
max = i;
return max;
}
Exemples (suite)
Exemple 2:
int médiane(int T[], int n)
{
return T(n/2);
}
Exemple 3:
sum = 0;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
sum++;
Meilleur algorithme ou ordinateur?
On suppose que l’ordinateur utilisé peut effectuer 106 opérations à la seconde
Taux de croissance
Pire cas, meilleur cas et cas moyen
Toutes les entrées d’une longueur donnée ne nécessitent
pas le même temps d’exécution.
Exemple:
Recherche séquentielle dans un tableau de taille n: On
commence au début du tableau et regarde chaque élément
jusqu’à ce que l’élément cherché soit trouvé.
Meilleur cas: 1 comparaison
Pire cas:
n comparaisons
Cas moyen: n/2 comparaisons
Compromis espace-temps
Deux situations:
1)
Lorsqu'on peut réduire le temps de calcul en
utilisant plus d'espace mémoire:
Exemple: table de conversion (look-up table).
1)
Lorsqu'on peut réduire l'espace mémoire au prix
d'un temps d'exécution plus long:
Exemple: compression de données
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