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DIVISEURS ET MULTIPLES
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls et si le reste de la division entière a par b est nul, alors on a :
a = b
×
q, q étant le quotient de la division entière.
On peut dire alors indifféremment : a est un multiple de b, b est un diviseur de a, b divise a.
Exemple : la division entière 221 ÷ 17 a pour quotient 13 et pour reste 0 : on peut donc écrire 221 = 17 × 13
et on dit que 221 est un multiple de 17 mais aussi que 17 divise 221 ou encore que 17 est un diviseur de 221.
Remarque : la division entière 221 ÷ 13 a pour quotient 17 et pour reste 0 : 221 est donc aussi un
multiple de 13 et 13 est aussi un diviseur de 221.
Contre-exemple : la division entière 547 ÷ 15 a pour quotient 36 et pour reste 7 : on peut donc écrire 547
= 15 × 36 + 7 et et on dit que 547 n'est pas un multiple de 15 (ou que 15 n'est pas un diviseur de 547).
Remarque : chaque entier naturel non nul admet au moins pour diviseurs 1 et lui-même.
CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Il existe quelques règles simples qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible
par 2, 3, 5, 9 ou 10. On les appelle les critères de divisibilité :
✔divisibilité par 10 : un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0 ;
✔divisibilité par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
✔divisibilité par 5 : un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
✔divisibilité par 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
✔divisibilité par 2 : un nombre est divisible par 2 s'il se termine par un chiffre pair ;
NOMBRES PREMIERS
On dit qu'un nombre entier naturel est premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même.
Exemple : 13 est un nombre premier car il est divisible uniquement par 1 et par 13.
Contre-exemple : 621 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 3 et donc pas uniquement par 1 et lui-même...
Remarque : 1 n'est pas premier car son seul diviseur est 1.
Pour trouver rapidement tous les nombres premiers inférieurs à un entier naturel n (ici n =100), on utilise
une méthode appelée crible d'Eratosthène :
1) On barre 1 car il n'est pas premier.
2) On entoure le premier nombre non barré et on barre tous ses multiples.
3) On recommence jusqu'à ce que l'on atteigne
(ici
=
= 10).
Si un nombre entier naturel a est divisible par un nombre premier inférieur à
alors il n'est pas premier.
Sinon, il est premier. On utilise le crible d'Eratosthène pour connaître les nombres premiers et les critères de
divisibilité pour gagner du temps.
Exemple : pour savoir si 157 est premier, on va tester sa divisibilité par tous les nombres premiers
inférieurs à
≈ 12 (troncature à l'unité).
157 n’est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par un chiffre pair ;
157 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres n'est pas un multiple de 3 ;
Lycée Victor Hugo M. CHAPON
Pourquoi ce nom de "premier" ? parce que les nombres premiers sont les briques de construction de
tous les nombres entiers. Très utilisés en cryptographie, les nombres premiers ont toujours été la
source de multiples recherches. Le plus grand connu à ce jour comporte 9 808 358 chiffres !
2e
N
NOMBRES
OMBRES P
PREMIERS
REMIERS