NOMBRES PREMIERS - Monsieur CHAPON

2e
Pourquoi ce nom de "premier" ? parce que les nombres premiers sont les briques de construction de
tous les nombres entiers. Très utilisés en cryptographie, les nombres premiers ont toujours été la
source de multiples recherches. Le plus grand connu à ce jour comporte 9 808 358 chiffres !
NOMBRES PREMIERS
DIVISEURS ET MULTIPLES
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls et si le reste de la division entière a par b est nul, alors on a :
a = b × q, q étant le quotient de la division entière.
On peut dire alors indifféremment : a est un multiple de b, b est un diviseur de a, b divise a.
Exemple : la division entière 221 ÷ 17 a pour quotient 13 et pour reste 0 : on peut donc écrire 221 = 17 × 13
et on dit que 221 est un multiple de 17 mais aussi que 17 divise 221 ou encore que 17 est un diviseur de 221.
Remarque : la division entière 221 ÷ 13 a pour quotient 17 et pour reste 0 : 221 est donc aussi un
multiple de 13 et 13 est aussi un diviseur de 221.
Contre-exemple : la division entière 547 ÷ 15 a pour quotient 36 et pour reste 7 : on peut donc écrire 547
= 15 × 36 + 7 et et on dit que 547 n'est pas un multiple de 15 (ou que 15 n'est pas un diviseur de 547).
Remarque : chaque entier naturel non nul admet au moins pour diviseurs 1 et lui-même.
CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Il existe quelques règles simples qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible
par 2, 3, 5, 9 ou 10. On les appelle les critères de divisibilité :
✔ divisibilité par 10 : un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0 ;
✔ divisibilité par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
✔ divisibilité par 5 : un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
✔ divisibilité par 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
✔ divisibilité par 2 : un nombre est divisible par 2 s'il se termine par un chiffre pair ;
NOMBRES PREMIERS
On dit qu'un nombre entier naturel est premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même.
Exemple : 13 est un nombre premier car il est divisible uniquement par 1 et par 13.
Contre-exemple : 621 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 3 et donc pas uniquement par 1 et lui-même...
Remarque : 1 n'est pas premier car son seul diviseur est 1.
Pour trouver rapidement tous les nombres premiers inférieurs à un entier naturel n (ici n =100), on utilise
une méthode appelée crible d'Eratosthène :
1) On barre 1 car il n'est pas premier.
2) On entoure le premier nombre non barré et on barre tous ses multiples.
3) On recommence jusqu'à ce que l'on atteigne  n (ici  n =  100 = 10).
Si un nombre entier naturel a est divisible par un nombre premier inférieur à  a alors il n'est pas premier.
Sinon, il est premier. On utilise le crible d'Eratosthène pour connaître les nombres premiers et les critères de
divisibilité pour gagner du temps.
Exemple : pour savoir si 157 est premier, on va tester sa divisibilité par tous les nombres premiers
inférieurs à  157 ≈ 12 (troncature à l'unité).
157 n’est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par un chiffre pair ;
157 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres n'est pas un multiple de 3 ;
Lycée Victor Hugo
M. CHAPON
157 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5 ;
157 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division entière 157 ÷ 7 n'est pas nul ;
157 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division entière 157 ÷ 11 n'est pas nul ;
157 n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à  157 : 157 est donc un nombre premier.
Tout entier naturel non premier peut se décomposer en un produit de nombre premiers : ce produit
s'appelle décomposition en facteurs premiers.
Pour décomposer un nombre entier naturel en produit de facteurs premiers, il suffit d'effectuer des divisions
entières successives par des nombres premiers jusqu'à obtenir 1 pour quotient. On utilise le crible
d'Eratosthène pour connaître les nombres premiers et les critères de divisibilité pour gagner du temps.
Exemple : décomposons 20790 en un produit de facteurs premiers.
Comme 20790 est divisible par 2, on effectue la division entière et on obtient : 20790 = 10395 × 2.
Comme 10395 est divisible par 5, on effectue la division entière et on obtient : 10395 = 2079 × 5.
Comme 2079 est divisible par 3, on effectue la division entière et on obtient : : 2079 = 693 × 3.
Ainsi de suite, on obtient 20790=2×33×5×7×11 . Les calculs se présentent comme ci-dessous :
20790
10395
2079
693
231
77
11
1
2
5
3
3
3
7
11
PGCD - PPCM
Si on fait la liste de tous les diviseurs de deux entiers naturels a et b et que l'on cherche ceux qui sont
communs aux deux listes, alors le plus grand de cette liste commune s'appelle le PGCD (Plus Grand
Diviseur Commun). Mais cette méthode est souvent beaucoup trop longue et il est plus rapide d'utiliser
d'autres méthodes comme l'algorithme d'Euclide vu en 3ème.
Exemple : recherchons le PGCD de 1400 et 10780.
Dividende Diviseur Reste
10780
1400
980
1400
980
420
980
420
140
420
140
0
Utilisons l'algorithme d'Euclide en effectuant des divisions entières successives
jusqu'à obtention d'un reste nul : le dernier diviseur correspond alors au PGCD.
On obtient ici : PGCD (1400; 10780) = 140.
Deux entiers naturels a et b ont une infinité de multiples communs : le plus petit d'entre eux s'appelle le
PPCM (Plus Petit Commun Multiple). Pour le déterminer, il est pratique d'utiliser la formule suivante :
a×b
PGCD (a; b) × PPCM (a; b) = a × b, c'est à dire PPCM a ;b=
PGCD  a ;b
Exemple : recherchons le PPCM de 1400 et 10780.
1400×10780
1400×10780
=
=107800 .
D'après la formule précédente, on a PPCM 1400; 10780=
PGCD 1400; 10780 
140
Pour déterminer le PGCD et le PPCM de deux entiers naturels, on peut aussi utiliser leurs décompositions
en facteurs premiers. Par exemple, on obtient après calculs les décompositions suivantes :
1400 = 2 3×52×7 et 10780 = 2 2×5×72×11 .
Pour le PGCD, il suffit de ne retenir parmi les facteurs que ceux qui sont en commun dans les deux
décompositions et on les affecte de leur plus petit exposant. On obtient ici :
PGCD (1400; 10780) = 2 2×5×7 = 140.
Pour le PPCM, il suffit de prendre tous les facteurs présents dans les deux décompositions et on les
affecte de leur plus grand exposant. On obtient ici :
PPCM (1400; 10780) = 2 3×52×7 2×11 = 107800.
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