Cours sur les équations différentielles

Cours sur les équations différentielles
IUP génie civil, première année
20 mars 2003
Version sans dessin
Alexandre MIZRAHI
Université de Cergy Pontoise

Table des matières
1 Équations différentielles linéaires 3
1.1 Généralités ............................................ 3
1.2 Équation différentielle du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Équation différentielle linéaire d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Cas des coefficients quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Équation différentielle linéaire à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Théorèmesgénéraux ....................................... 11
2 Équation différentielle d’ordre 1 14
2.1 Généralités ............................................ 14
2.2 Interprétationgraphique...................................... 14
2.3 Équations différentielles à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Différentielletotale........................................ 17
3 Résolution approchée d’équations différentielles du premier ordre 19
3.1 MéthodedeNewton........................................ 19
3.2 Convergence de la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Prérequis ......................................... 20
3.2.2 Convergence ....................................... 21
3.3 MéthodedeRungeKutta..................................... 22
4 Système d’équations différentielles 23
4.1 Généralités:............................................ 23
4.2 Cas des coefficients constants: résolution matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Formedessolutions........................................ 24
4.4 Utilisation d’un opérateur différentiel D............................. 25
5 Introduction aux équations aux dérivées partielles 28
5.1 Rappelsetmiseengarde ..................................... 28
5.2 EDP linéaires d’ordre 1 à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 EDPlinéaired’ordre1 ...................................... 30
5.4 Méthodedescaractéristiques................................... 31
5.5 EDPlinéairesd’ordredeux.................................... 32
5.5.1 Exemplesfondamentaux................................. 32
5.5.2 Cas des coefficients constants, sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Exercices 36
2

Chapitre 1
Équations différentielles linéaires
1.1 Généralités
Dans ce cours la solution d’une équation différentielle (E)est une fonction autant de fois dérivable que
nécessaire, définie sur un intervalle, de Ret qui vérifie (E)
Exemple 1.1 la fonction exponentielle est une solution sur Rde l’équation différentielle y0−y= 0.
Exemple 1.2 La fonction définie par 1
xest une solution sur R+∗de l’équation différentielle
y00 −2y3= 0
Définition 1.1 On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle de la forme
(E) :
N
X
n=0
any(n)=b
où les anet bsont des fonctions à valeurs dans Ret les y(n)sont les dérivées énièmes de la fonction inconnue
y.
Définition 1.2 On appelle solution générale de (E)une formule dépendant d’un certain nombre de constantes,
et qui donne toutes les solutions de (E), lorsque ces constantes changent de valeurs.
Définition 1.3 L’entier N(aN6= 0) qui correspond au plus grand ordre de dérivation s’appelle l’ordre de
l’équation différentielle (E).
Exemple 1.3 y00 +xy0+y=x2+ 1 est une équation différentielle linéaire, d’ordre 2.
Exemple 1.4 (y0)2+y= 2 est une équation différentielle non linéaire, d’ordre 1.
Exemple 1.5 y(4) +x3y0+ln(x)y=x2+ 1 est une équation différentielle linéaire, d’ordre 4
Exemple 1.6 (y00) + ln(y) = 2 est une équation différentielle non linéaire, d’ordre 2.
Définition 1.4 L’équation linéaire (E)est dite à coefficients constants si les anne sont pas des fonctions
mais des réels
Remarque 1.1 Une équation différentielle linéaire a des solutions réelles et des solutions complexes. Dans
ce cours nous nous intéressons aux solutions réelles, mais il est parfois plus facile de trouver les solutions
complexes. On peut alors trouver les solutions réelles en prenant les parties réelles des solutions complexes.
En effet une fonction fà valeurs complexes est solution de (E)ssi <(f)et =(f)sont solutions.
3

1.2. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE A.Mizrahi
Définition 1.5 On appelle équation différentielle linéaire sans second membre (EDLSSM) associée à (E)
l’équation différentielle (E0)
(E0) :
N
X
n=0
any(n)= 0
Proposition 1.1 Si y1et y2sont des solutions d’une équation différentielle linéaire sans second membre (E0)
alors y1+y2et αy1sont solutions de (E0)pour tout réel α. Si y2est une solution d’une équation différentielle
linéaire (E)alors y1−y2est solution de l’équation linéaire sans second membre associée ssi y2est aussi
solution de (E).
preuve:
(E0)
N
X
n=0
an(y1+y2)(n)=
N
X
n=0
any(n)
1+
N
X
n=0
any(n)
2= 0 + 0 = 0
(E0)
N
X
n=0
an(y1−y2)(n)=
N
X
n=0
any(n)
1−
N
X
n=0
any(n)
2=b−b= 0
Corollaire: Les solutions S0de (E0)forment un espace vectoriel et les solution Sde (E)forment un
espace affine de direction (E0).
Preuve : trivial. La proposition précédente peut s’écrire:
La solution générale d’une équation différentielle linéaire est la somme d’une solution particulière
de l’équation avec second membre et de la solution générale de l’équation sans second membre.
Remarque 1.2 Si Eest une espace vectoriel un espace affine Ede direction Eest un ensemble de la forme
{a+f|f∈E}où aest un élément quelconque de E.
Proposition 1.2 lemme de superposition: Pour déterminer une solution particulière de PN
n=0 any(n)=
f1+f2, il suffit d’ajouter une solution particulière de PN
n=0 any(n)=f1à une solution particulière de
PN
n=0 any(n)=f2
Preuve : Aucune difficulté
1.2 Équation différentielle du premier ordre
Dans ce paragraphe
(E) : y0+ay =b
(E0) : y0+ay = 0
Théorème 1.1 Les solutions de (E)sont les fonctions de la forme
y(x) = e−Rxa(t)dtZx b(u)eRua(t)dtdu+K
où Rxh(u)dureprésente une primitive quelconque de la fonction het Kun réel quelconque.
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1.2. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE A.Mizrahi
Preuve :
On note −Rxa(t)dtune primitive quelconque de aprise au point x. Puisque la quantité eRxa(t)dtne s’annule pas
l’équation différentielle est équivalente à
(y0(x) + a(x)y(x))eRxa(t)dt=b(x)eRxa(t)dt
Or le premier terme n’est autre que
d
dx(y(x)eRxa(t)dt)
En intégrant on obtient alors
y(x)eRxa(t)dt=Zx b(u)eRua(t)dtdu
d’où le résultat annoncé.
Corollaire: Les solutions S0de (E0)forment un espace vectoriel de dimension 1. Elles sont de la forme
(Ke−Rxa(t)dt)et les solutions de (E0)forme un espace affine de direction S0
Remarque 1.3 Ce qui peut encore s’énoncer:
La solution générale d’une équation différentielle est la somme d’une solution particulière de
l’équation avec second membre et d’une constante multiplié par une solution de l’équation sans
second membre.
Méthode pratique de résolution de (E0): On remarque que la fonction nulle est solution, de plus si une
solution s’annule en un point d’après le théorème précédent elle est nulle partout (en effet K= 0). Soit yune
solution de (E0)qui n’est pas la fonction nulle et donc qui ne s’annule pas:
y0
y=−a
d’où en intégrant en xdes deux cotés:
ln(|y|) = Zx −a
d’où
|y|=eRx−adx+K
y=±e−RxadxeK=Ce−Rxa
En effet ±eKest une nouvelle constante de signe quelconque que l’on note C.
Exemple 1.7 résolvons 2y0+ 3xy = 0
y0
y=−3 2x
ln(|y|) = −3
4x2+K
y=±e
−3
4x2+K=±eKe
−3
4x2=Ce
−3
4x2
Ket Cétant des réels quelconques.
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