Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives

Physique Cours : Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives
Mouvements dans un champ de forces centrales
conservatives
Introduction
Nous avons déjà introduit précédemment les lois de Newton ainsi que les théorèmes de l’énergie
cinétique et de l’énergie mécanique sans restriction quant à leur application.
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser en particulier à l’action d’un type de force : les
forces centrales. Ces forces regroupent notamment les forces de gravitation et électrostatique,
dites forces newtoniennes. L’étude détaillée de leur action permet donc non seulement de
comprendre le mouvement des astres à l’échelle astronomique, amis aussi celui des particules
chargées à l’échelle microscopique.
a) b)
Fig. 1: Les mouvements des particules chargées au niveau microscopique (a) n’est pas sans rap-
peler le mouvement des planètes à l’échelle astronomique (b).
1 Champ de force centrale
1.1 Notion de force centrale
Définition : Dans un référentiel Rdonné, une force est centrale si elle pointe à tout instant
dans la direction d’un point Ofixe dans le référentiel R.
En choisissant le point Ofixe dans Rcomme origine du repère, une force centrale s’appliquant
en un point Mde coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) :
−→
Fcentrale(M) = f(r, θ, ϕ)−→ ur
Par la suite, nous nous limiterons au cadre de systèmes physiques à symétrie sphérique1,
pour lesquels : −→
Fcentrale(M) = f(r)−→ ur
1Un système physique est à symétrie sphérique si ses propriétés sont invariantes par rotation d’un angle θou ϕ
quelconque ; c’est à dire que ses propriétés ne dépendent que de la distance r.
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Quelques exemples de forces centrales sont représentés dans la figure ci-dessous.
a)
O
M
Fgravitation
b)
O
M
Félectrostatique
e
ur
ur
O
M
Félectrostatique
αur
c)
θM
g
O
ur
T
θM
g
O
ur
T
d)
e)
Terre Noyau d'or (Au)
Noyau
f)
M
ur
F
O
Fig. 2: Quelques exemples de forces centrales. a) Force attractive de gravitation exercée par la
Terre sur un satellite. b) Force électrostatique attractive exercée par un noyau chargé
positivement sur un électron. c) Force électrostatique répulsive exercée par un noyau
d’or (Au) chargé positivement sur un noyau d’Hélium (particule α). d) Force attractive
de tension d’un fil. e) Force attractive de rappel d’un ressort. f) Force centrifuge d’un
objet en rotation.
Transition : Concentrons nous en particulier sur l’étude des cas a), b) et c), pour lesquels
l’expression de la force centrale est très similaire.
1.2 Forces centrales newtoniennes
Comme nous l’avons vu dans le chapitre sur la dynamique, les forces gravitationnelles et
électrostatiques exercées par un point Osur un point Msitué à une distance OM =rpeuvent
se mettre sous la forme2:
−→
F(M) = −k
r2−→
ur
En effet :
–pour une interaction gravitationnelle : k=GmOmM, donc k > 0et la force est toujours
attractive.
–pour une interaction électrostatique : k=−1
4π0qOqM, donc :
(Si qOet qMsont de signe opposé : k >0,et la force est attractive.
Si qOet qMsont de même signe : k <0,et la force est répulsive.
Ces deux forces sont appelées forces centrales newtoniennes. Nous rappelons que ces forces
sont conservatives car on peut leur associer une énergie potentielle :
∆Ep=Ep(M)−Ep(A) = −WA→M(−→ F) = ZM
A
k
r2−→
ur·−→ dl =ZM
A
k
r2dr ="−k r#M
A
2Attention : il peut arriver que la convention de signe de ksoit inverse dans certains livres.
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En choisissant l’origine des énergies potentielles en Aà l’infini, on obtient ainsi, avec OM =r:
Ep(r) = −k
r
•Les cas a), b) et c) de la figure précédente correspondent-ils bien à des forces centrales ?
–Interaction entre deux corps ponctuels ? :
Dans le cas de l’interaction gravitationnelle, le satellite peut effectivement être considéré
comme un objet ponctuel par rapport à la distance Terre-Satellite. En revanche, la Terre
ne peut pas l’être car le diamètre de la Terre (13 000 km) est du même ordre de grandeur
que la distance Terre-Satellite.
Cependant, nous verrons dans le chapitre d’électro-
statique à la fin de l’année que l’ensemble des forces de
gravitation exercées par chacun des points de la Terre
sur le satellite est équivalent à une seule force de gra-
vitation exercée par le point Ositué au centre de la
Terre, qui concentrerait toute la masse terrestre. Ceci
est dû à la symétrie sphérique de la Terre.
Le problème est en tout point similaire pour l’inter-
action électrostatique.
O
M
Fgravitation
Terre
fg
–Le point Oest-il vraiment immobile ? :
Dans le cas de l’interaction gravitationnelle, si l’on se place dans le référentiel lié au
centre de la Terre, c’est à dire le référentiel géocentrique, le point Oest évidemment
fixe. Mais qu’en est-il dans le référentiel héliocentrique, car d’après le principe d’action et de
la réaction, le satellite exerce une force opposée sur la Terre qui devrait modifier la position
de O?
Nous avions déjà vu dans le cours de dynamique que le rapport de masse énorme entre
les deux objets (msatellite mTerre) justifiait l’approximation d’immobilité du corps le plus
massif :
msatellite d−→
vsatellite
dt =−→
FTerre→satellite =−−→ Fsatellite→Terre =−mTerre d−→
vTerre
dt
Le problème est à nouveau similaire pour l’interaction électrostatique car mélectron 
mnoyau et mαmnoyau Au.
•Mise en équation d’un système à champ de force centrale newtonienne
Essayons de mettre en équation et de résoudre un problème à force centrale avec les seules
connaissances introduites dans les chapitres de mécanique vus au premier trimestre.
Remarquons tout d’abord que le mouvement d’un point Msoumis à une force centrale est
nécessairement restreint au plan défini par les conditions initiales (vecteur position −−−→ OM0et
vecteur vitesse v0). En effet, comme la force est à tout instant contenue dans ce plan, elle
n’amène pas le point Mà quitter ce même plan3.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point Mde masse m, dans le référentiel
Rdans lequel le point Oest fixe, conduit, dans le système de coordonnées polaires d’origine O
dans le plan défini précédemment, à :
3Nous reverrons cette propriété en détail par la suite.
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(m(¨r−r˙
θ2) = −k
r2
m(2 ˙r˙ θ+r¨ θ) = 0
On aboutit donc à un système d’équations non-linéaires couplées. Leur résolution est donc
impossible avec les seules connaissances introduites précédemment.
Transition : Nous allons maintenant voir que deux grandeurs physiques fondamentales, le
moment cinétique, et l’énergie sont nécessairement conservées pour un système soumis à
une seule force centrale, et que ces lois de conservation permettent de simplifier le système
d’équation précédent.
2 Conservation du moment cinétique
2.1 Théorème du moment cinétique
•Moment d’une force
Lorsqu’un point Mest soumis à une force −→ Fdéfinie
de telle façon qu’elle entraîne une rotation du point M
autour d’un point fixe O, il est commode d’introduire
la notion de moment d’une force :
−−→
M0(−→ F) = −−→ OM ∧−→ F
F
O
M
H
d
θ
Propriétés :
–Dimension : hM0(−→ F)i=ML2T−2= [Energie], donc son unité est le Joule (J).
–−−→ M0(−→ F)étant à la fois orthogonal à −−→ OM et −→ F, le moment est orthogonal au plan de la
figure ci-dessus. On peut donc l’exprimer ainsi :
−−→
M0(−→ F) = ||−−→ OM||||−→ F||sin(θ)−→ uz
où −→ uzest un vecteur directeur perpendiculaire au plan contenant −−→ OM et −→ F, et orienté
avec la règle de la main droite, de telle façon que (−−→ OM,−→ F,−→ uz) forme un trièdre direct.
–Le moment de la force est nul si celle-ci est colinéaire au vecteur position −−→ OM.
–En faisant intervenir le projeté orthogonal Hde Osur la droite (OM), on peut exprimer
le moment de la façon suivante :
−−→
M0(−→ F) = −−→ OM ∧−→ F= (−−→ OH +−−→ HM)∧−→ F=−−→ OH ∧−→ F+−−→ HM ∧−→ F
| {z }
=~ 0
=−−→ OH ∧−→ F
||−−→ M0(−→ F)|| =F d
où d=OH est appelé bras de levier.
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–Application : rôle du levier
On veut déplacer une lourde pierre (masse m) en
exerçant une force −→ Fsur l’extrémité Ad’une tige dont
l’autre extrémité Best placée sous la pierre.
Une cale Cest disposée à une distance ddu point B.
On a MO(−→ F) = D×Fet MO(−→ P) = mgd
On soulève facilement la pierre si |MO(−→ F)| 
|MO(−→ P)|donc si F D mgd
P
Α
Β
C
F
D d
Il faut donc choisir Dtelle que Dmgd
F. Plus Dest grande, plus la force à exercer est
faible pour soulever la pierre.
La figure ci-dessous montre d’autres exemples dans les lesquels un effet de levier est utilisé.
a) b)
c)
d)
g)f)e)
Fig. 3: Quelques exemples dans lesqules un effet de levier est utilisé : a) levier pour soulever
une pierre, b) pince monseigneur, c) balance de Roberval, d) volant, e) pédalier de vélo,
f) quille, g) exemple de mauvaise utilisation...
•Moment cinétique
On appelle −→ LO(M)le moment cinétique d’un point matériel Mde masse met de vitesse −→ v
par rapport à un point Odans un référentiel R:
−→
LO(M) = −−→ OM ∧−→ p=−−→ OM ∧m−→ v
où −→ p=m−→ v(M/R)est la quantité de mouvement du point Mdans le référentiel R.
Propriétés :
–Dimension : [LO(M)] = ML2T−1. Un moment cinétique s’exprime donc en kg.m2.s−1.
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