Mécanique

$1(& 14*  & 4"6%3"*4
.ÏDBOJRVF ***  1VJTTBODF FU USBWBJM EVOF GPSDF ÏOFSHJF NÏDBOJRVF
5SBWBJM EVOF GPSDF
Le travail fourni par une force
#»
Fs’appliquant en point Msubissant un déplacement élémentaire
d
#»
!est le scalaire défini par
δW=
#»
F·d
#»
!.
Le travail a la dimension d’une énergie et s’exprime en joule (J).
Le travail dépend du référentiel d’étude R.
!Le travail élémentaire δWest la quantité d’énergie reçue (algébriquement) par le point Mpar
l’intermédiaire de la force
#»
Flors du déplacement d
#»
!.
!Si δW>0, la force est dite motrice : le point reçoit effectivement de l’énergie par l’intermédiaire
de la force.
Si δW<0, la force est dite résistante : le point cède de l’énergie.
!Si la force est normale à la trajectoire du point M, elle ne travaille pas.
Le travail de la force
#»
Fdont le point d’application se déplace de M1àM2le long d’une trajectoire Γest
donné par
WM1→M2(
#»
F)=ˆM2
M1(Γ)
#»
F·d
#»
!.
!Mathématiquement, le travail est donné par la circulation de la force le long du chemin Γ.
1VJTTBODF EVOF GPSDF
La puissance d’une force
#»
Fs’exerçant sur un point matériel Mse déplaçant à la vitesse #» vM/Rdans
le référentiel Rest le scalaire défini par
P=
#»
F·#» vM/R.
La puissance s’exprime en watt (W).
5IÏPSÒNF EF MÏOFSHJF DJOÏUJRVF
²OFSHJF DJOÏUJRVF
L’énergie cinétique d’un point matériel Mde masse manimé d’une vitesse #» vM/Rdans un référen-
tiel Rest le scalaire positif défini par
Ec=1
2m#»
v2
M/R.
!L’énergie cinétique d’un point matériel dépend du référentiel R.
5IÏPSÒNF EF MÏOFSHJF DJOÏUJRVF
Dans un référentiel galiléen R, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel entre deux ins-
tants t1et t2est égal au travail de la force appliquée le long de la trajectoire suivie :
∆Ec=Ec(t2)−Ec(t1)=WM1→M2(
#»
F)
Le travail de la force
#»
Freprésente l’énergie cédée (algébriquement) au point matériel Mpar l’intermé-
diaire de cette force, augmentant (ou diminuant) ainsi l’énergie cinétique de ce point.
!Si W>0 (force motrice), le point a acquis de l’énergie (cinétique) par l’intermédiaire de la force
#»
F. Le travail de
#»
Freprésente l’énergie transférée au point Mpar l’intermédiaire de la force
#»
F.
5IÏPSÒNF EF MB QVJTTBODF DJOÏUJRVF
Dans un référentiel galiléen R, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un point
matériel est égale à la puissance de la force qu’il subit :
dEc
dt
=P=
#»
F·#» vM/R.
!Le théorème de la puissance cinétique est souvent plus simple à utiliser que le théorème de
l’énergie cinétique : la puissance d’une force est un simple produit scalaire, tandis que le travail
s’exprime a priori sous la forme d’une intégrale le long de la trajectoire suivie. . .
²OFSHJF QPUFOUJFMMF ÏOFSHJF NÏDBOJRVF
'PSDF DPOTFSWBUJWF
Une force
#»
Fest dite conservative si son travail entre deux point est indépendant de la trajectoire
suivie entre ces points.
Dans le cas d’une trajectoire fermée Γ, le travail de la force est nul :
W=˛Γ
#»
F·d
#»
!=0∀Γ
!Une force conservative ne peut globalement pas apporter de l’énergie à un point matériel s’il suit
une trajectoire fermée.
!Dans le cas où le travail de la force dépend du chemin suivi entre les deux points considérés, la
force est dite non conservative.
²OFSHJF QPUFOUJFMMF EVO QPJOU NBUÏSJFM
Soit un point matériel soumis à une force conservative
#»
F. Le travail élémentaire de
#»
Fpeut s’écrire
comme l’opposé de la variation d’une grandeur Ep(M) appelée énergie potentielle du point M:
δW=−dEp(M).
L’énergie potentielle ne dépend que de la position de M.
Le travail de la force
#»
Fest égal à l’opposé de la variation de l’énergie potentielle associée : on peut
considérer que la force
#»
Fa transformé une partie de l’énergie potentielle du point Men énergie ciné-
tique.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
2

!Si W>0, on a −∆Ep<0 : l’énergie apportée au point Mpar la force
#»
Fest égale à la diminution
de l’énergie potentielle de ce point.
Si W<0, on a −∆Ep>0 : l’énergie prélevée au point Mpar la force
#»
Fest égale à l’augmentation
de l’énergie potentielle de ce point.
!Lorsque le point Mse déplace de M1àM2, le travail de la force conservative s’écrit
WM1→M2(
#»
F)=−∆Ep(M)=Ep(M1)−Ep(M2).
!L’énergie potentielle est ainsi définie à une constante additive près. On doit choisir une position
de référence M0telle que Ep(M0)=0.
!L’énergie potentielle de pesanteur ne dépend que de l’altitude du point : Ep(z)=mg z +Ep0 ,
où #» ezest la vertical ascendante et Ep0 =Ep(z=0) une origine (choisie arbitrairement).
!L’énergie potentielle élastique dont dérive la force élastique d’un ressort de raideur ket de lon-
gueur à vide l0s’écrit Ep=1
2k(l−l0)2. On choisit conventionnellement Ep=0 quand le ressort
est au repos (l=l0).
²OFSHJF NÏDBOJRVF EVO QPJOU NBUÏSJFM
L’énergie mécanique d’un point matériel est la somme de son énergie cinétique et de son énergie po-
tentielle :
Em=Ec+Ep.
5IÏPSÒNF EF MÏOFSHJF NÏDBOJRVF
La variation de l’énergie mécanique d’un point matériel se déplaçant de M1àM2est égal au travail
des forces non conservatives le long du trajet correspondant :
∆Em=Em(M2)−Em(M1)=WM1→M2(
#»
Fn.c.)
4ZTUÒNF DPOTFSWBUJG
L’énergie mécanique d’un point matériel soumis uniquement à des forces conservatives ou qui ne
travaillent pas est conservée au cours de son mouvement :
Em=Ec+Ep=cte (1)
Un tel système est dit conservatif.
La relation (1) est appelée intégrale première du mouvement.
Les deux écritures
∆Ec=W(
#»
Fn.c.) et 0 =∆Ec+∆Ep
sont équivalente.
Dans la première, on considère que les forces conservatives apportent de l’énergie (cinétique) au point
matériel.
Dans la seconde, on considère que l’énergie (mécanique) du point matériel est constante ; les forces
conservatives permettent un transfert d’énergie entre les formes énergie potentielle et énergie ciné-
tique.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
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