PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE 1 2 Bond sur la

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
1
C
Une cible C est abandonnée sans vitesse initiale,
d’une hauteur h, à l’instant même où le projectile
P est lancé. On supposera les frottements négligeables.
Trouver l’angle β pour que celui-ci atteigne la
cible.
Réponse : tan β =
h
vo
P
h
L
β
L
2
Bond sur la Lune
Dans l’album de Tintin, "On a marché sur la Lune", le capitaine Haddock est étonné de
pouvoir faire un bond beaucoup plus grand que sur Terre : c’est le sujet de cet exercice.
On assimile le mouvement du capitaine Haddock à celui de son centre de gravité M , auquel on
attribue la masse m. Il saute depuis le sol lunaire avec une vitesse initiale v0 faisant un angle
α avec le sol. On note g` l’accélération de la pesanteur à la surface de la Lune. En l’absence
d’atmosphère, on peut considérer qu’il n’y a aucune force de frottement.
1) Déterminer l’expression de la distance horizontale parcourue au cours du saut en fonction
de v0 , α et g` .
2) Sur la Lune, la pesanteur est environ six fois moins forte que sur la Terre. Quelle sera la
distance horizontale parcourue par le sauteur sur la Lune, si elle est de d = 1, 5 m sur la Terre,
pour une même valeur de v0 et de α ?
Réponse : d` = 9 m.
3
Point mobile sans frottement sur une sphère
On lâche sans vitesse initiale une masse m depuis un point infiniment proche de S, sommet d’une sphère de rayon a, sur laquelle cette
masse glisse sans frottement. Étudier le mouvement de cette masse ; pour quelle valeur de
θ quitte-t-elle la surface de la sphère ?
Réponse : cos θ =
2
3
1
4
Charge soulevée par une grue
Une grue de chantier de hauteur h doit déplacer d’un point à un autre du chantier une charge
de masse m assimilée à son centre de gravité M . Le point d’attache du câble sur le chariot de
la grue est noté A.
1) Le point A est à la verticale de M posé sur le sol. Déterminer la tension à appliquer au
câble pour qu’il soulève très doucement le point M du sol.
2) L’enrouleur de câble de la grue le remonte avec une accélération verticale av constante.
Déterminer la tension T du câble. Quelle remarque peut-on faire ?
3) La montée de M est stoppée à mi-hauteur mais le chariot A se met en mouvement vers la
droite avec une accélération horizontale ah constante.
a) Quelle est l’accélération de M sachant que l’angle α reste constant au cours du temps ?
b) Déterminer l’angle α que fait le câble avec la verticale en fonction de m, g et ah ainsi
que la tension du câble. Les forces de frottement seront supposées négligeables.
p
Réponse : 3.b) tan α = ah /g ; T = m g 2 + a2h .
5
Mouvement d’une bille dans une tige en rotation
On considère une bille assimilable à un point matériel
M de masse m, se déplaçant sans frottement à l’intérieur d’un tube en rotation dans un plan horizontal à la vitesse angulaire constante θ̇ = ω par rapport au référentiel du laboratoire R0 supposé galiléen.
−−→
On note OM = r ~er et g l’accélération de la pesanteur.
1) Exprimer la vitesse et l’accélération de M dans R0 ,
sur la base de projection (~er , ~eθ ).
2) On se place dans le référentiel R0 . Montrer que la
projection du principe fondamental de la dynamique sur ~er permet d’établir l’équation différentielle vérifiée par r sous la forme :
r̈ − Kr = 0
2
où K est une constante positive que l’on exprimera en fonction de ω.
On considère qu’à t = 0, r(0) = r0 et ṙ(0) = 0. Établir l’expression de r(t).
~ la force qu’exerce le tube sur la bille. Exprimer les composantes de R
~ sur la
3) On note R
base de projection (~er , ~eθ , ~ez ) en fonction de r0 , m, g, ω et t.
6
Viscosité de l’eau
4 3
πR , de masse volumique
3
ρ = 2, 6.103 kg.m−3 , tombe verticalement dans de l’eau. On donne l’accélération de la pesanteur g = 9, 8 m.s−2 . On notera Oz l’axe vertical descendant et ~uz un vecteur unitaire sur
cet axe. Ce grain de sable subit, outre son poids, une force exercée par l’eau qui, dans les
conditions de l’expérience, se décompose en deux termes :
4
– une force verticale, dirigée vers le haut, d’expression F~1 = − πR3 ρe g~uz où ρe est la masse
3
volumique de l’eau (ρe = 1, 0.103 kg.m−3 ) ;
– une force de frottement qui s’oppose au mouvement et dont l’expression est F~2 = −6πηR~v
où η est un coefficient appelé coefficient de viscosité et ~v le vecteur vitesse du grain de sable.
Un grain de sable sphérique, de rayon R = 0, 050 mm, de volume
On note le vecteur vitesse du grain de sable sous la forme ~v = v~uz .
1) À quoi correspond la force F~1 ?
2) On se place dans le référentiel du labo supposé galiléen. Déterminer l’équation différentielle
vérifiée par v. On notera ∆ρ = ρ − ρe .
3) Montrer que le grain de sable atteint une vitesse limite vlim que l’on exprimera en fonction
de R, g, ∆ρ et η. On mesure vlim = 8, 7.10−3 m.s−1 . Calculer numériquement la viscosité de
l’eau dans les conditions de l’expérience (l’unité de viscosité dans le système international est
le Poiseuille Pl).
7
Frottements solides
Une plateforme tourne autour de son axe vertical
(∆) à la vitesse angulaire ω = 10 tr.min−1 .
Déterminer la valeur minimale du coefficient de
frottement semelle de chaussure/plateforme µ0
permettant à une personne de rester debout sans
dérapper si elle se situe à une distance a = 3, 0 m
de l’axe (∆). On prendra g = 9, 8 m.s−1 .
Réponse : µ0 >
aω 2
g
3