PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE 1 2 Bond sur la

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
1
Une cible Cest abandonnée sans vitesse initiale,
d’une hauteur h, à l’instant même où le projectile
Pest lancé. On supposera les frottements négli-
geables.
Trouver l’angle βpour que celui-ci atteigne la
cible.
Réponse : tan β=h
L
C
L
h
P
v
o
β
2 Bond sur la Lune
Dans l’album de Tintin, "On a marché sur la Lune", le capitaine Haddock est étonné de
pouvoir faire un bond beaucoup plus grand que sur Terre : c’est le sujet de cet exercice.
On assimile le mouvement du capitaine Haddock à celui de son centre de gravité M, auquel on
attribue la masse m. Il saute depuis le sol lunaire avec une vitesse initiale v0faisant un angle
αavec le sol. On note g`l’accélération de la pesanteur à la surface de la Lune. En l’absence
d’atmosphère, on peut considérer qu’il n’y a aucune force de frottement.
1) Déterminer l’expression de la distance horizontale parcourue au cours du saut en fonction
de v0,αet g`.
2) Sur la Lune, la pesanteur est environ six fois moins forte que sur la Terre. Quelle sera la
distance horizontale parcourue par le sauteur sur la Lune, si elle est de d= 1,5m sur la Terre,
pour une même valeur de v0et de α?
Réponse : d`= 9 m.
3 Point mobile sans frottement sur une sphère
On lâche sans vitesse initiale une masse mde-
puis un point infiniment proche de S, som-
met d’une sphère de rayon a, sur laquelle cette
masse glisse sans frottement. Étudier le mou-
vement de cette masse ; pour quelle valeur de
θquitte-t-elle la surface de la sphère ?
Réponse : cos θ=2
3
1

4 Charge soulevée par une grue
Une grue de chantier de hauteur hdoit déplacer d’un point à un autre du chantier une charge
de masse massimilée à son centre de gravité M. Le point d’attache du câble sur le chariot de
la grue est noté A.
1) Le point Aest à la verticale de Mposé sur le sol. Déterminer la tension à appliquer au
câble pour qu’il soulève très doucement le point Mdu sol.
2) L’enrouleur de câble de la grue le remonte avec une accélération verticale avconstante.
Déterminer la tension Tdu câble. Quelle remarque peut-on faire ?
3) La montée de Mest stoppée à mi-hauteur mais le chariot Ase met en mouvement vers la
droite avec une accélération horizontale ahconstante.
a) Quelle est l’accélération de Msachant que l’angle αreste constant au cours du temps ?
b) Déterminer l’angle αque fait le câble avec la verticale en fonction de m,get ahainsi
que la tension du câble. Les forces de frottement seront supposées négligeables.
Réponse : 3.b) tan α=ah/g ;T=mpg2+a2
h.
5 Mouvement d’une bille dans une tige en rotation
On considère une bille assimilable à un point matériel
Mde masse m, se déplaçant sans frottement à l’in-
térieur d’un tube en rotation dans un plan horizon-
tal à la vitesse angulaire constante ˙ θ=ωpar rap-
port au référentiel du laboratoire R0supposé galiléen.
On note −−→ OM =r ~eret gl’accélération de la pesan-
teur.
1) Exprimer la vitesse et l’accélération de Mdans R0,
sur la base de projection (~er, ~eθ).
2) On se place dans le référentiel R0. Montrer que la
projection du principe fondamental de la dynamique sur ~erpermet d’établir l’équation diffé-
rentielle vérifiée par rsous la forme :
¨r−Kr = 0
2

où Kest une constante positive que l’on exprimera en fonction de ω.
On considère qu’à t= 0,r(0) = r0et ˙r(0) = 0. Établir l’expression de r(t).
3) On note ~ Rla force qu’exerce le tube sur la bille. Exprimer les composantes de ~ Rsur la
base de projection (~er, ~eθ, ~ez)en fonction de r0,m,g,ωet t.
6 Viscosité de l’eau
Un grain de sable sphérique, de rayon R= 0,050 mm, de volume 4
3πR3, de masse volumique
ρ= 2,6.103kg.m−3, tombe verticalement dans de l’eau. On donne l’accélération de la pe-
santeur g= 9,8m.s−2. On notera Oz l’axe vertical descendant et ~uzun vecteur unitaire sur
cet axe. Ce grain de sable subit, outre son poids, une force exercée par l’eau qui, dans les
conditions de l’expérience, se décompose en deux termes :
– une force verticale, dirigée vers le haut, d’expression ~ F1=−4
3πR3ρeg~uzoù ρeest la masse
volumique de l’eau (ρe= 1,0.103kg.m−3) ;
– une force de frottement qui s’oppose au mouvement et dont l’expression est ~ F2=−6πηR~v
où ηest un coefficient appelé coefficient de viscosité et ~v le vecteur vitesse du grain de sable.
On note le vecteur vitesse du grain de sable sous la forme ~v =v~uz.
1) À quoi correspond la force ~ F1?
2) On se place dans le référentiel du labo supposé galiléen. Déterminer l’équation différentielle
vérifiée par v. On notera ∆ρ=ρ−ρe.
3) Montrer que le grain de sable atteint une vitesse limite vlim que l’on exprimera en fonction
de R,g,∆ρet η. On mesure vlim = 8,7.10−3m.s−1. Calculer numériquement la viscosité de
l’eau dans les conditions de l’expérience (l’unité de viscosité dans le système international est
le Poiseuille Pl).
7 Frottements solides
Une plateforme tourne autour de son axe vertical
(∆) à la vitesse angulaire ω= 10 tr.min−1.
Déterminer la valeur minimale du coefficient de
frottement semelle de chaussure/plateforme µ0
permettant à une personne de rester debout sans
dérapper si elle se situe à une distance a= 3,0m
de l’axe (∆). On prendra g= 9,8m.s−1.
Réponse : µ0>aω2
g
3