Anneaux et arithmétique

Anneaux et arithmétique
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
1 Généralités sur les groupes 1
1.1 Groupes .............................. 1
1.2 Sous-groupes ........................... 2
1.3 Morphismes de groupes ...................... 3
2 Généralités sur les anneaux 7
2.1 Définitions et premières propriétés ................ 7
2.1.1 Anneaux .......................... 7
2.1.2 Sous-anneaux ....................... 8
2.1.3 Morphismes d’anneaux .................. 8
2.2 Éléments remarquables d’un anneau ............... 11
2.3 Idéaux d’un anneau ........................ 13
2.4 Idéaux premiers et maximaux .................. 16
2.5 Application à la géométrie algébrique .............. 18
3 Généralités sur les corps 21
3.1 Définition ............................. 21
3.2 Extensions et caractéristique ................... 22
3.3 Compléments ........................... 25
4 Les anneaux de polynômes 27
4.1 Définitions ............................. 27
4.2 Division euclidienne dans A[X]................. 29
4.3 Comparaison de A[X] et Z.................... 30
4.4 Éléments entiers d’un anneau .................. 31
5 Le quotient 33
5.1 Quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué . . . . . . 33
5.2 Quotient d’un anneau par un idéal ............... 33
5.2.1 Généralités ........................ 33
5.2.2 Conséquences directes de l’existence du quotient . . . . 35
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ii TABLE DES MATIÈRES
5.2.3 Le théorème des restes chinois .............. 37
6 Corps finis 41
7 Localisation d’anneaux 45
7.1 Définition de la localisation ................... 45
8 Anneaux factoriels 49
8.1 Divisibilité ............................. 49
8.2 Anneaux factoriels et localisation ................ 53
8.3 Anneaux factoriels et anneaux de polynômes .......... 54
8.4 Test d’irréductibilité ....................... 56
9 Anneaux principaux et euclidiens 59

Chapitre 1
Généralités sur les groupes
1.1 Groupes
Définition 1.1 Soit Gun ensemble non vide. On dit que Gest un groupe
pour la loi ∗ssi il existe ∗:G2→Gque l’on appelle loi de composition
interne qui vérifie :
• ∀x, y, z ∈G3,x∗(y∗z) = (x∗y)∗z=x∗y∗z.
• ∃e∈G, ∀x∈G,e∗x=x∗e=x.
• ∀x∈G, ∃x−1∈G,x∗x−1=x−1∗x=e.
Remarque 1.1
•eest unique (sinon e=e∗e′=e′)
•x−1est unique (sinon, (x−1)′= (x−1)′∗e= (x−1)′∗(x∗x−1) = ((x−1)′∗
x)∗x−1=x−1).
Définition 1.2 Si (G, ∗) est un groupe.
On dit que Gest l’ensemble sous-jacent à (G, ∗) et que ∗munit Gd’une
structure de groupe.
Gest dit abélien ssi ∀x, y ∈G2,x∗y=y∗x.
Exemples :
•(Z,+)
•(N,+) n’en est pas un.
• {e}est un groupe abélien.
•(Z/nZ) est un groupe abélien.
•Pour K∈ {C,R,Q}, (K∗,×) est un groupe abélien.
•(Mn(K),+) est un groupe abélien.
•(GLn(K),×) est un groupe non abélien.
•(Sn,◦) est un groupe.
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