Chapitre 3.2 – L`énergie potentielle élastique d`un ressort idéal

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 3.2 – L’énergie potentielle élastique
d’un ressort idéal
Le travail fait par un ressort
Le travail
r
W effectué par un ressort idéal dépend de l’évolution de la déformation e de
celui-ci entre un état initial
i
e et un état final
f
e . Il est proportionnel à la variation du carré
de la déformation tel que :
22
2
1
2
1
fir
kekeW −=
où
r
W : Travail effectué par la force du ressort (J).
k : Constante du ressort (N/m).
i
e : Déformation initiale du ressort (m).
f
e : Déformation finale du ressort (m).
Preuve :
Rappelons l’expression de la force d’un ressort
x
F en
fonction de son étirement x :
kxFx−=
Rappel : ekF
v
v
−=
r
0
i
x
ii
xe =
( )
mx
r
F
v
0
f
x
ff
xe =
( )
mx
r
F
v
F
x
x
W
i
kx
−
f
x
f
kx
−
i
x
Aire d’un trapèze :
(
)
L
Hh
A
2
+
=
Évaluons le travail effectué par le ressort qui correspond à l’aire sous la courbe du
graphique de force en fonction du déplacement ayant la forme d’un trapèze :
courbelasousaire
r
=W
⇒
(
)
( )
if
fi
xx
kxkx
W −
−
−
=
2
r
(Aire du trapèze)
⇒
( )( )
iffi
xxxx
k
W−+−=
2
r
(Factoriser –k / 2)
⇒
(
)
fififi
xxxxxx
k
W−+−−=
22
r
2
(Effectuer le produit)
⇒
22
r
2
1
2
1
fi
kxkxW −= ■ (Simplification)

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Théorème de l’énergie cinétique avec énergie potentielle du ressort
À partir du travail de la force d’un ressort idéal
r
W ,
nous pouvons modifier le théorème de l’énergie
cinétique en y incluant un terme d’énergie potentielle
r
U associé à la déformation e du ressort. Ce nouveau
terme correspond à une énergie emmagasinée dans la
déformation du ressort. Elle est libérée lorsque le
ressort reprend sa forme naturelle :
0
e
e
v
v
( )
mx
2
2
1
mvK =
2
r2
1keU =
autrerr
WUKUK
iiff
++=+
tel que
2
r
2
1keU =
où
i
K et
f
K : Énergie cinétique initiale et finale de l’objet (J).
i
Ur et
f
Ur: Énergie potentielle du ressort initiale et finale (J).
k : Constante du ressort (N/m).
e
: Déformation du ressort (m).
autre W : Travail total effectué sur l’objet par les autres forces (J).
Preuve :
À partir du théorème de l’énergie cinétique, séparons le travail effectué par le ressort et le
travail effectué par les autres forces afin d’y inclure un terme d’énergie potentielle du
ressort :
tot
WKK
if
+=
⇒
autrer WWKK
if
++=
⇒
autre
22
2
1
2
1WkekeKK
fiif
+
−+= (Remplacer
22
r
2
1
2
1
fi
kekeW −= )
⇒
autre
22
2
1
2
1WkeKkeK
iiff
++=+ (Isoler termes finaux et initiaux ensemble)
⇒
autrerr
WUKUK
iiff
++=+ ■ (Remplacer
2
r
2
1keU =
)
Le travail de la force conservative du ressort
La force du ressort est une force conservative, car elle établie le lien suivant entre le travail
r
W qu’elle effectue et la variation d’une énergie potentielle
r
U∆ :
rr
UW ∆−=
où
r
W : Travail effectué par la force du ressort (J).
r
U∆ : Variation de l’énergie potentielle du ressort (J). (
if
UUU
rrr
−=∆ )

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 3
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Preuve :
À partir du calcul du travail
r
W du ressort et de la définition de l’énergie potentielle du
ressort, établissons un lien entre le travail et la variation de l’énergie potentielle :
22
r
2
1
2
1
fi
kekeW −=
⇒
fi
UUW
rrr
−= (Remplacer
2
2
1keU
r
=
)
⇒
(
)
if
UUW
rrr
−−= (Factoriser signe négatif)
⇒
rr
UW ∆−= ■
Situation 2
:
Bloc et ressort
.
On suppose un bloc de 0,3 kg et que sa vitesse initiale est
nulle lorsque le ressort est comprimé de 20 cm (le bloc est attaché au ressort). On désire
déterminer le module de la vitesse du bloc lorsque le ressort est étiré de 10 cm. La
constante de rappel du ressort est de 40 N/m.
Situation initiale Situation finale
0
2,0−
i
e
( ) mx
0=
i
v
v
0
1,0
( ) mx
f
v
v
f
e
Mesures : 0=
i
v et m2,0 −=
i
e Mesures : ?
=
f
v et m1,0=
f
e
Évaluons nos termes d’énergies :
• 0 =
i
K
• ( )( ) J8,02,040
2
1
2
1
22
r
=−==
ii
keU
• 0
autre
=W
• ? =
f
K
• ( )( ) J2,01,040
2
1
2
1
22
r
===
ff
keU
Avec le théorème de l’énergie cinétique, évaluons la vitesse finale :
autrerr
WUKUK
iiff
++=+
⇒
(
)
(
)
(
)
8,002,0 +=+
f
K (Remplacer val. num.)
⇒
J6,0=
f
K
(Évaluer
f
K )
⇒
6,0
2
1
2
=
f
mv (
2
2
1
ff
mvK = )
⇒
(
)
4
3,0
6,026,02 == ×
=m v
f
(Isoler
f
v)
⇒
m/s2±=
f
v
(Évaluer
f
v)
Remarque : La vitesse calculée n’est pas vectorielle. Il y a deux possibilités de direction.