Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires

Chapitre 3
Equations différentielles ordinaires
3.1 Introduction
Qu’est-ce que c’est une équation différentielle ordinaire ? C’est une
équation définie en termes d’une variable t2I, I intervalle réel, une
fonction inconnue y:I7! Rnet ses dérivées par rapport à t.Enformule:
F(t, y(t),y0(t),y00(t),···)=0.(1)
Une fonction yqui vérifie F(t, y(t),y0(t),y00(t),···)=0s’appelle solu-
tion de l’EDO.
Une EDO est d’ordre ksi elle contient les dérivées de yjusqu’à l’ordre k.
Exemple 14 Le équations :
y0(t)t=0;
y20(t)y(t)=0;
ey20(t)t2+y=0;
sont équation différentielles ordinaires.
Si n=1on parle d’équation différentielle scalaire. Si n>1on parle
d’equation différentielle vectorielle. Par exemple l’équation pour l’incon-
nue y(t)=(y1(t),y
2(t))) 2R2:
y0(t)=||y||2y
39

40 3.2. Existence et unicité locales pour le problème de Cauchy
est un premier exemple simple d’équation vectorielle.
Exemple 15 L’EDO d’ordre 2 la plus célèbre est la deuxième loi de New-
ton :
F(x)=mx00(t)
qui décrit per exemple la dynamique d’un point matérielle soumis à la
résultante des forces F.
On peut écrire la loi de Newton en termes du système :
⇢x0(t)=v
v0(t)=
1
mF(x)
de deux équations d’ordre 1. En general une équation scalaire d’ordre k
peut être écrite comme un système de kéquations d’ordre 1.
Dans la suite on va considerer des équations différentielles d’ordre ksous
la forme normale :
y(k)=f(t, y, ···,y
(k1))k2N
3.2 Existence et unicité locales pour le problème de
Cauchy
Soit I un intervalle, f:I⇥Rn7! Rn. On considere l’EDO :
y0(t)=f(t, y(t))
On peut penser à cette équation comme un phénomène évolutif en temps
( la variable t ). Comme le problème de déterminer toutes les primitives
d’une fonction donnée, cette problème admet en genéral un nombre in-
fini de solutions. Pour choisir une solution particulière on impose une
condition initiale, c’est à dire
y(t0)=y0,
ce qui veut dire que à l’instant initial t0la loi evolutive vaut y0.

Chapter 3: Equations différentielles ordinaires 41
Définition 3.2.1 [Problème de Cauchy] On appelle problème de Cauchy
le problème de trouver une intervalle I tel que t02Iet une fonction
y:I7! Rnqui vérifie :
⇢y0(t)=f(t, y(t)) t2I
y(t0)=y0,t
02I,y02Rn
Première question : sous quelles conditions existe-t-il une solution du pro-
blème de Cauchy ? Deuxième question : cette solution est-elle unique ?
Le théorème de Cauchy- Lipschitz donne une réponse à ces deux ques-
tions. Si fsatisfait une condition supplémentaire, alors l’existence et
l’unicité d’une solution sont assurées localement, c’est à dire sur un (pe-
tit) intervalle autour de t0.
La condition supplémentaire qu’on demande pour la fonction fest d’être
lipschitzienne par rapport à la variable ydans un voisinage du point
initial y0.
Définition 3.2.2 [ Fonction localement lipschitzienne ] Soient I un in-
tervalle, D un ouvert de Rn,f:I⇥D7! Rn. Soient (t0,y
0)2I⇥D.
Soit J⇢Dun voisinage du point y0.Onditquefest lipschitzienne
par rapport à la variable ydans le voisinage Jsi il existe une constante
L>0et il existe un voisinage U⇢Idu point t0tels que :
||f(t, y1(t)) f(t, y2(t))|| L||y1(t)y2(t)||
pour y1(t),y
2(t)2J, t 2U.
Exemple 16 La fonction f:R7! R+:
f(y)=py
n’est pas lipschitzienne au voisinage de y=0.Enfait:
lim
(y1,y2)!(0,0) |f(y1)f(y2)|
|y1y2|=1
et par conséquence il ne peut pas exister aucune constante Lvérifiant la
condition de Lipschitz. Cependant fest lipschitzienne sur tout intervalle

42 3.2. Existence et unicité locales pour le problème de Cauchy
[a, b]avec b>a>0.Enfaitpouttouty1(t),y
2(t)2[a, b]on a :
|p(y1)p(y2)|
|y1y2|=1
|p(y1)p(y2)|1 2p(a)
Et donc la condition de Lipschitz est vérifiée avec L=1
2p(a).
Si une fonction (d’une variable) est dérivable au voisinage d’un point et
la dérivée est bornée dans ce voisinage, alors la fonction est localement
lipschitzienne. La réciproque est fausse : il y a des fonctions lipschitziennes
qui ne sont pas dérivables. Si une fonction est de classe C1alors elle est
localement lipschitzienne.
Exemple 17 La fonction f:R7! R+:
f(y)=|y|
est lipschitzienne au voisinage de tout y2R.Enfaitpourtouty1,y
22R
on a :
|f(y1)f(y2)|=||y1||y2||.
La condition de Lipschitz est donc vérifiée avec L=1:
||y1||y2|| |y1y2|.
Noter que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en y=0.Ce-
pendant elle est lipshcitizienne.
Théorème 3.2.3 [ Cauchy - Lipschitz ] Soient I un intervalle, D un
ouvert de Rn,f:I⇥D7! Rn. Soient (t0,y
0)2I⇥D. Si fest
continue et lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable dans un
voisinage du point y0,alorsleproblèmedeCauchy:
⇢y0(t)=f(t, y(t)) t2I
y(t0)=y0,t
02I,y02D
admet une unique solution ydéfinie dans un petit voisinage du point t0.
De plus la solution est de classe C1dans ce voisinage.

Chapter 3: Equations différentielles ordinaires 43
Grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, on sait que au moins locale-
ment et sous certaines conditions, le problème de Cauchy est bien posé.
Essayons maintenant de calculer quelque solution d’EDO très simples.
Exemple 18 [ Modèle de Malthus pour la croissance des populations] Un
des premières et plus simples modèles pour l’évolution en temps des po-
pulations est le modèle de Malthus du 1798. On considère une fonction
t7! y(t)qui décrit le nombre d’individus à l’instant t. Si l’on suppose
que le rapport entre le taux de croissance de la population et la population
même soit proportionnel au temps passé l’on trouve :
y(t+t)
y(t)=ktk2R+
et si on fait la limite pour t!0l’on trouve l’équation différentielle :
y0(t)=ky(t)k2R+
La fonction f(t, y)=ky(t)est bien continue et lipschitzienne par rap-
port à la variable ypour toute condition initiale (t0,y
0).Lethéorèmede
Cauchy-Lipschitz assure que pour toute condition initiale (t0,y
0)il existe
une unique solution du problème :
⇢y0(t)=ky(t)t2I
y(t0)=y0y02J
On observe que si y0=0alors la (seule) solution du problème est la
fonction costante y(t)=y0=0.Siy06=0on peut chercher cette solution
par séparation des variables. Cette méthode s’applique lorsque le terme
f(t, y(t)) est de la forme :
f(t, y(t)) = a(t)b(y(t))
pour a, b fonction donnés. Ici a(t)=1et b(y(t)) = ky(t).Siy06=0,
on peut supposer que y(t)6=0(auvoisinagedey0) et diviser par y(t)
l’équation différentielle :
y0(t)
y(t)=k