Intégrale d’une fonction sur un intervalle I. Calculs d’aires et primitives . 1. Activité préparatoire la fonction représentée ci-contre est la fonction constante définie par f(x) = 2 Donner l’aire de la partie grisée en fonction de a et b S= Trouver une fonction F telle que F’ = f . F(x) = Calculer 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = la fonction représentée ci-contre est la fonction définie par f(x) = x Donner l’aire de la partie grisée en fonction de a et b S= Trouver une fonction F telle que F’ = f . F(x) = Calculer 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = (𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒+𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒)×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par 2 la fonction représentée ci-contre est la fonction définie par f(x) = − 1 3 x+3 Donner l’aire de la partie grisée en fonction de a et b S= Trouver une fonction F telle que F’ = f . F(x) = Calculer 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 2. Généralisation : Comment peut-on faire pour calculer l’aire grisée sachant que la courbe est celle de la fonction définie par f(x) = x² ? Calculer cette aire S . 1 3. Propriété Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ;b] Alors l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe représentative de f et les droites (verticales) d’équations x= a et x= b est donnée par : S = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) unités d’aire ( u.a.) Où F est une fonction dérivable sur [a ;b] telle que F’ = f .L’unité d’aire étant le rectangle unité de cotés ‖𝑖⃗‖ et ‖𝑗⃗‖ 4. Exercice 1 Soit f la fonction définie par f(x) = 𝑒 𝑥 + 1 On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm Donner , en cm² , l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe représentative de f et les droites (verticales) d’équations x= -1 et x= 2 5. Exercice 2 Soit f la fonction définie par f(x) = 1 𝑥+2 On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé d’unité graphique 3 cm Donner , en cm² , l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe représentative de f et les droites (verticales) d’équations x= 1 et x= e I. Primitives 1. Définition Etant donnée une fonction f définie et continue sur un ouvert I , on appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F’ = f 2. Théorème (admis) Si f est une fonction continue sur I alors elle admet des primitives sur I 3. Remarque : Si F est une primitive de f sur l’ouvert I alors G = F + k (où k est un réel quelconque ) est aussi une primitive de f sur I . ( en effet si F’ = f alors G’= F’ + 0 = f ). On dit : Il y a une infinité de primitives d’une même fonction Deux primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante k Toute primitive de f a la forme F + k où F est une primitive particulière de f et k un nombre réel Exemple : Soit f définie par f(x) = 𝑥 3 – 3x + 4 1 1 Soit F définie par F(x) = 4 𝑥 4 – 3 × 2 x² + 4x est une primitive particulière de f sur IR ( car F’ = f fastoche !!) Donc , la forme générale des primitives de f sur IR est 1 4 𝐹𝑘 (x) = 𝑥 4 – 3 2 x² + 4x + k (k ∈ IR) 2 4. Primitive vérifiant une condition particulière Parmi les primitives sur particulière I d’une même f continue sur I , illan’en existe seulek de la La condition F(𝑥0fonction ) = 𝑦0 permet de déterminer valeur de laqu’une constante vérifiant une condition particulière du type F(𝒙 ) = 𝒚 ( 𝒙 et 𝒚 connus ) 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 remarque précédente . Exemple : Déterminer la primitive F sur IR de la fonction f définie par f(x) = 𝑥 3 – 3x + 4 qui vérifie F(1) = –1 1 4 On a vu ci-dessus que la forme générale des primitives de f sur IR est 𝐹𝑘 (x) = 𝑥 4 – On veut F(1) = – 1 donc 1 4 14 – 3 2 1² + 4×1 + k = –1 ⇔ k = 1 La primitive cherchée est donc définie par F(x) = = 4 𝑥 4 – 3 2 x² 1 3 –1 – 4 + 2 25 + 4x – 4 . 3 2 x² + 4x + k –4 ⇔ k=– 25 4 5. Exercices : Exercice 1 1. Montrer que la fonction F définie par F(x) = Error! x3 – 3x² +1 est une primitive sur IR de la fonction f définie par f(x) = x² – 6 x 2. Déterminer la primitive G de f sur IR qui vérifie G(0) = 0 Exercice 2 1. Montrer que la fonction F définie par F(x) = 2 x – Error! est la primitive sur ]0 ; + [ de la fonction f définie par f(x) = Error! + Error! qui vérifie F(1) = 1 2. Déterminer la primitive G de f sur ]0 ; + [ qui vérifie G(4) = 0 Exercice 3 1. Montrer que la fonction F définie par F(x) = Error! est la primitive sur ] – ; + [ de la fonction f(x) = – 2 𝑥²+ 𝑥−1 𝑥 4 + 2𝑥²+1 f définie par qui vérifie F(0) = 1 2. Déterminer la primitive G de f sur ]0 ; + [ qui vérifie G(1) = 0 6. Primitives des fonctions usuelles. La fonction … admet des primitives sur … et ses primitives ont la forme … x 0 x a ( a I; R ) I; R I; R (n I; N*) I; R x k (k I; R) x a x + k (k I; R) x Error! xn +1 + k (k I; R) x xn x Error! (n Error! et n 1) ]- ; 0[ et ]0 ; +[ x Error! ]0 ; +[ x ln(x) + k (k I; R) x Error! ]0 ; +[ x (k I; R) x ex I; R x – Error!Error! + k(k I; R) x+k x ex + k (k I; R) 7. Primitives et opérations a. Primitives de ku (k I; R* ) Si U est une primitive de la fonction u sur l'ouvert I 3 alors la fonction kU + Cst est une primitive de ku sur I b. Primitives de u + v Si U et V sont des primitives de u et v sur I alors U + V + Cst est une primitive de u + v sur I c. Remarque il n'y a pas de "formules" concernant les primitives de fonctions de la forme uv et Error! Exercice 4 Donner la forme générale des primitives des fonctions suivantes : x Error! x² + x + 1 x Error! x4 – 3x3 + 5 x² + 3x – 2 x Error! 2x6 – Error! x² – Error! x Error! Error! + x² – 1 x Error! Error! + 2 Exercice 5 Donner la primitive F dont la représentation graphique passe par le point de coordonnées ( 1 ; – 1) x Error! x Error! x Error! II. 1 – Error! 𝑥4 4 𝑥3 3 2𝑥 + Error! + 2 – 5 2 𝑒𝑥 3 Intégrale d’une fonction entre « a » et « b » 1. Définition et notation Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si 𝑎 ∈ 𝐼 𝑒𝑡 𝑏 ∈ 𝐼 𝒃 L’intégrale de la fonction f entre a et b , notée ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 , est le nombre F(b) – F(a) où F est une fonction dérivable sur I telle que F’ = f 𝒃 ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = On a donc 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 𝒃 ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 se lit « intégrale entre a et b de f(x)dx » ou « somme entre a et b de f(x)dx » Exercice 6 Calculer , si c’est possible , les intégrales suivantes : 1 𝐼1 = ∫0 (𝑥 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 1 𝐼2 = ∫−1(𝑥² + 𝑒 𝑥 + 2)𝑑𝑥 2 1 1 𝐼3 = ∫0 (𝑥 2 + 3 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 4 1 2 1 𝐼4 = ∫−1 (𝑥 3 + 𝑥 + 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 2. Interprétation graphique Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ;b] (donc a ≤ 𝒃) 𝒃 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 𝒂 alors ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 est l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe représentative de f et les droites (verticales) d’équations x= a et x= b Exercice 7 La fonction f est définie par f(x) = 2 𝑒 𝑥 + 𝑥 3 + x + 1 Justifier que f est positive sur [0 ; 2] puis calculer , en unités d’aire , l’aire de la partie du plan située sous la courbe (C) représentative de la fonction f , au dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équations x = 0 et x = 2 . 3. Fonction définie par une primitive Propriété Si f est une fonction continue sur un intervalle I alors : La fonction F définie par ∀ x ∈ I on a donc ∀ x ∈ I 𝒙 F(x) = ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 est la primitive de f sur I qui s’annule en a . F’(x) = f(x) Démonstration 𝑥 F(x) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = G(x) – G(a) On a donc F(x) = G(x) + K avec K = G(a) constante donc F’(x) = G’(x) = f(x) ( car G primitive de f ) On en déduit que F est aussi une primitive de f sur I Soit G une primitive de f sur I . On a donc ∀ x ∈ I 𝑎 De plus F(a) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0 donc F est bien la primitive de f qui s’annule en a . Exercice 8 𝑥 Soit F la fonction définie par F(x) = ∫0 (𝑒 𝑡 + 𝑡 ² + 1)𝑑𝑡 . Etudier les variations de F . Dresser le tableau de variation de F sur [0 ; 1] 4. Propriétés a. Linéarité de l’intégrale Si f et g sont deux fonctions continues sur l’intervalle I et si a et b sont deux réels de I Si 𝛼 et 𝛽 sont deux nombres réels Alors on a les égalités suivantes : 𝒃 𝒃 𝒃 ∫𝒂 (𝒇(𝒕) + 𝒈(𝒕))𝒅𝒕 = ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 + ∫𝒂 𝒈(𝒕)𝒅𝒕 5 𝒃 𝒃 ∫𝒂 𝜶 × 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 = 𝜶 × ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 b. Une conséquence de la linéarité Si f est continue sur l’intervalle I et si a et b sont deux réels de I Alors 𝒂 𝒃 𝒂 ∫𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = – ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫𝒃 – 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 La première égalité découle de la définition par les primitives et la seconde de la linéarité ( avec 𝛼 = –1) La seconde égalité est intéressante d’un point de vue calcul d’aire En effet si f est une fonction continue et négative sur [a ; b] ( donc a < 𝑏) Alors –f est continue et positive sur [a ; b] 𝑏 L’aire « sous la courbe de – f » est donc donnée par A = ∫𝑎 −𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 Aire ∫𝑎 −𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 Donc par A = – ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . Pour des raisons évidentes de symétrie par rapport à l’axe des abscisses , l’aire « sur la courbe de f » ( c’est-à-dire comprise entre la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b ) est donc A 𝑏 Aire – ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 Courbe de – f c. Relation de Chasles Courbe de f Si f est une fonction continue sur l’intervalle I et si a , b et c sont trois réels de I Alors 𝒃 𝒄 𝒄 ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 + ∫𝒃 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 = ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 Démonstration facile 𝑐 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 Soit F une primitive de f sur l’intervalle I 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = F(b) – F(a) et 𝑏 𝑐 ∫𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 = F(c) – F(b) 𝑏 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑐 Donc ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫𝑏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = F(b) – F(a) – [ F(c) – F(b)] 𝑐 = F(c) – F(a) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑎 (cqfd) Le graphique ci-contre ,avec f positive et a < 𝑏 < 𝑐 , donne une vision de la relation de Chasles d. Positivité Si f est une fonction continue sur l’intervalle [a ;b] et si ,pour tout x de [a ;b] , on a f(x) ≥ 0 alors 𝒃 ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 ≥ 𝟎 𝒂 6 Evidence en interprétant l’intégrale comme une aire Attention ! les bornes doivent être dans l’ordre ( a < b ) e. Ordre Si f et g sont deux fonctions continues sur l’intervalle [a ;b] Et si , pour tout x de [a ;b] on a f(x) ≥ 𝑔(𝑥) Alors 𝒃 𝒃 ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 ≥ ∫ 𝒈(𝒕)𝒅𝒕 𝒂 𝒂 Démonstration simple en utilisant la positivité de l’intégrale et sa linéarité La fonction h = f – g est continue sur [a ; b] comme somme de fonctions continues sur [a ; b] et elle est positive sur [a ; b] ( car ∀ x de [a ;b] on a f(x) ≥ 𝑔(𝑥) donc f(x) – g(x) ≥ 0 ) 𝐶𝑔 𝐶𝑓 𝑏 Donc ∫𝑎 ℎ(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0 𝑏 𝑏 𝑏 ⇔ ∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 ≥ 0 ⇔ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0 𝑏 𝑏 ⇔ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (cqfd) Le graphique ci-contre illustre le résultat dans le cas où les fonctions f et g sont toutes les deux positives . 1. Une conséquence de l’ordre : aire « entre deux courbes » 𝐶𝑔 Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] et si ∀ 𝒙 ∈ [𝒂 ; 𝒃] f(x) ≥ g(x) alors l’aire A de la partie du plan comprise entre les courbes représentatives de f et de g et les droites d’équations x = a et x = b est donnée , en unités d’aire par : 𝐶𝑓 𝒃 𝑨 = ∫(𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙))𝒅𝒙 𝑏 ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝒂 𝑎 Remarque : La positivité des deux fonctions sur [a ; b] n’est pas ici une condition nécessaire Seul l’ordre des deux fonctions sur [a ; b] est important . Démonstration Partie 1 : Si les deux fonctions sont , en plus , positives sur [a ; b] ,l’aire qui nous intéresse est la différence entre l’aire sous 𝐶𝑓 et l’aire sous 𝐶𝑔 𝑏 𝐶𝑔 𝑏 Donc elle vaut ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 donc 𝑏 𝐴 = ∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 u.a. Partie 2 : Si les deux fonctions ne sont pas positives sur [a ; b] 𝐶𝑓 On peut toujours trouver un réel positif k tel que ∀ 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] 7 On ait f(x) + k ≥ 0 et g(x) + k ≥ 0 En effet g est continue donc bornée sur [a ; b] Soit k ≥ |𝑚| où m est le minimum de g sur [a ; b] , minimum négatif puisque g prend des valeurs négatives sur [a ; b] on a donc k ≥ – m et ∀ 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] g(x) ≥ m on a ∀ 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] g(x) + k ≥ m + 𝑘 ≥ 0 ( car k ≥ – m ) Comme f(x) ≥ g(x) on a donc aussi f(x) + 𝑘 ≥ g(x) + k ≥ 0 On peut donc appliquer la partie 1 aux fonctions p = f + k et q = g + k positives et continues sur [a ; b] L’aire entre les deux courbes représentatives de p et q est donc de : 𝑏 𝑏 ∫𝑎 (𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑎 (𝑓(𝑥) + 𝑘 − (𝑔(𝑥) + 𝑘))𝑑𝑥 𝑏 = ∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 u.a Il suffit alors de remarquer que les courbes représentatives de p et q sont les images de celles respectivement de f et g par la translation de k 𝑗⃗ . L’aire entre les courbes représentatives de f et g est donc identique à l’aire entre les courbes représentatives de p et q car la translation conserve les aires . On en déduit que l’aire cherchée est bien de 𝑏 𝑏 A = ∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 u.a ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝑎 Exercice Soit f la fonction définie par f(x) = 𝑒 −2𝑥+1 – x Déterminer l’aire entre la représentation graphique de f et la droite d’équation y = x Exercice Soient f et g les fonctions définies par f(x) = 1 𝑥−3 et g(x) = −𝑥 + 2 Calculer ,en cm² ,l’aire comprise entre les courbes représentatives de f et g et es droites (verticales) d’équations x= 4 et x= 6 . le repère est orthogonal de 2 cm d’unité en abscisses et 1cm en ordonnées III. Moyenne d’une fonction sur un intervalle Point de vue graphique : Si f est une fonction continue et positive sur [a ;b] La valeur moyenne de f sur [a ;b] est le nombre m tel que l’aire du rectangle de longueur (b−𝑎 ) et de hauteur m soit la même que l’aire « sous la courbe » 8 ( grisée sur le dessin ) Point de vue calculatoire Si f est une fonction continue et positive sur [a ;b] La valeur moyenne de f sur [a ;b] est le nombre m tel que : 𝟏 𝒃 m= ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃−𝒂 Exercice 1 Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f(x) = 𝑒 𝑥+1 + x sur [1 ;3] Exercice 2 9 1. Donner un encadrement de ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 pour la fonction dessinée ci-dessous 2. En déduire un encadrement de la valeur moyenne sur [0 ;4] de cette fonction . 9