et si f(x) g(x) - Maths au lycée Mezeray

1
I. Calculs d’aires et primitives .
1. Activité préparatoire la fonction représentée ci-contre est la fonction constante définie par
f(x) = 2
Donner l’aire de la partie grisée en fonction de a et b
S =
Trouver une fonction F telle que F’ = f .
F(x) =
Calculer 
 =
la fonction représentée ci-contre est la fonction définie par
f(x) = x
Donner l’aire de la partie grisée en fonction de a et b
S =
Trouver une fonction F telle que F’ = f .
F(x) =
Calculer 
 =
 On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par 
la fonction représentée ci-contre est la fonction définie par
f(x) =
 x + 3
Donner l’aire de la partie grisée en fonction de a et b
S =
Trouver une fonction F telle que F’ = f .
F(x) =
Calculer 
 =
2. Généralisation :
Comment peut-on faire pour calculer l’aire grisée sachant que la courbe est
celle de la fonction définie par f(x) = x² ? Calculer cette aire S .
Intégrale d’une fonction sur un intervalle

2
3. Propriété
Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ;b]
Alors l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe
représentative de f et les droites (verticales) d’équations x= a et x= b est
donnée par :
S =  unités d’aire ( u.a.)
Où F est une fonction dérivable sur [a ;b] telle que F’ = f
.L’unité d’aire étant le rectangle unité de cotés  et 
4. Exercice 1
Soit f la fonction définie par f(x) =  + 1
On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm
Donner , en cm² , l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe représentative de
f et les droites (verticales) d’équations x= -1 et x= 2
5. Exercice 2
Soit f la fonction définie par f(x) = 
On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé d’unité graphique 3 cm
Donner , en cm² , l’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses , la courbe représentative de
f et les droites (verticales) d’équations x= 1 et x= e
I. Primitives
1. Définition
2. Théorème (admis)
Si f est une fonction continue sur I alors elle admet des primitives sur I
3. Remarque :
Si F est une primitive de f sur l’ouvert I alors G = F + k (où k est un réel quelconque ) est aussi une
primitive de f sur I . ( en effet si F’ = f alors G’= F’ + 0 = f ). On dit :
Exemple :
Soit f définie par f(x) =  – 3x + 4
Soit F définie par F(x) = 
  – 3    x² + 4x est une primitive particulière de f sur IR ( car F’ = f
fastoche !!)
Donc , la forme générale des primitives de f sur IR est (x) = 
  –   x² + 4x + k (k  IR)
Etant donnée une fonction f définie et continue sur un ouvert I , on appelle primitive de f sur I
toute fonction F dérivable sur I telle que F’ = f
Il y a une infinité de primitives d’une même fonction
Deux primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante k
Toute primitive de f a la forme F + k où F est une primitive particulière de f et k un nombre réel

3
4. Primitive vérifiant une condition particulière
La condition particulière F() =  permet de déterminer la valeur de la constante k de la
remarque précédente .
 Exemple :
Déterminer la primitive F sur IR de la fonction f définie par f(x) =  – 3x + 4 qui vérifie F(1) = –1
On a vu ci-dessus que la forme générale des primitives de f sur IR est (x) = 
  –   x² + 4x + k
On veut F(1) = – 1 donc 
  –   1² + 41 + k = –1  k =   +   – 4  k = – 
La primitive cherchée est donc définie par F(x) = = 
  –   x² + 4x –   .
5. Exercices :
Exercice 1
1. Montrer que la fonction F définie par
F(x) =
Error!
x3 – 3x² +1 est une primitive sur IR de la fonction f définie par f(x) = x² – 6 x
2. Déterminer la primitive G de f sur IR qui vérifie G(0) = 0
Exercice 2
1. Montrer que la fonction F définie par
F(x) = 2 x –
Error!
est la primitive sur ]0 ; + [ de la fonction f définie par f(x) =
Error!
+
Error!
qui vérifie F(1) = 1
2. Déterminer la primitive G de f sur ]0 ; + [ qui vérifie G(4) = 0
Exercice 3
1. Montrer que la fonction F définie par
F(x) =
Error!
est la primitive sur ] – ; + [ de la fonction f définie par
f(x) = – 2 ²
² qui vérifie F(0) = 1
2. Déterminer la primitive G de f sur ]0 ; + [ qui vérifie G(1) = 0
6. Primitives des fonctions usuelles.
La fonction …
admet des primitives sur …
et ses primitives ont la
forme …
x
0
I; R
x
k (k I;R)
x
a ( a
I;R )
I; R
x
a x + k (k I;R)
x
xn (n
I;N*)
I; R
x
Error! xn +1 + k (k
I; R)
x
Error!
(n
Error!
et n
1)
]- ; 0[ et ]0 ; +[
x
–
Error! Error!
+ k(k
I; R)
x
Error!
]0 ; +[
x
ln(x) + k (k
I;R)
x
Error!
]0 ; +[
x
x + k (k
I;R)
x
ex
I; R
x
ex + k (k
I;R)
7. Primitives et opérations
a. Primitives de ku (k I;R* )
Si U est une primitive de la fonction u sur l'ouvert I
Parmi les primitives sur I d’une même fonction f continue sur I , il n’en existe qu’une seule
vérifiant une condition particulière du type F() =  (  et  connus )

4
alors la fonction kU + Cst est une primitive de ku sur I
b. Primitives de u + v
Si U et V sont des primitives de u et v sur I alors U + V + Cst est une primitive de u + v sur I
c. Remarque
il n'y a pas de "formules" concernant les primitives de fonctions de la forme u v et
Error!
Exercice 4
Donner la forme générale des primitives des fonctions suivantes :
x
Error!
x² + x + 1
x
Error!
x4 – 3x3 + 5 x² + 3x – 2
x
Error!
2x6 –
Error!
x² –
Error!
x
Error!
Error!
+ x² – 1
x
Error!
Error!
+ 2
Exercice 5
Donner la primitive F dont la représentation graphique passe par le point de coordonnées ( 1 ; – 1)
x
Error!
 –
Error!
x
Error!
 +
Error!
+ 2
x
Error!
 – 
II. Intégrale d’une fonction entre « a » et « b »
1. Définition et notation
Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si     
L’intégrale de la fonction f entre a et b , notée 
 , est le nombre F(b)  F(a)
où F est une fonction dérivable sur I telle que F’ = f
On a donc 
 se lit « intégrale entre a et b de f(x)dx » ou « somme entre a et b de f(x)dx »
Exercice 6
Calculer , si c’est possible , les intégrales suivantes :

5
Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle
[a ;b] (donc a )
alors 
 est l’aire de la partie du plan délimitée par
l’axe des abscisses , la courbe représentative de f et les
droites (verticales) d’équations x= a et x= b
2. Interprétation graphique
Exercice 7
La fonction f est définie par f(x) = 2  +  + x + 1
Justifier que f est positive sur [0 ; 2] puis calculer , en unités
d’aire , l’aire de la partie du plan située sous la courbe (C)
représentative de la fonction f , au dessus de l’axe des abscisses
et entre les droites d’équations x = 0 et x = 2 .
3. Fonction définie par une primitive
Propriété
Démonstration
Soit G une primitive de f sur I . On a donc  x  I F(x) = 
 = G(x) – G(a)
On a donc F(x) = G(x) + K avec K = G(a) constante donc F’(x) = G’(x) = f(x) ( car G primitive
de f )
On en déduit que F est aussi une primitive de f sur I
De plus F(a) = 
 = 0 donc F est bien la primitive de f qui s’annule en a .
Exercice 8
Soit F la fonction définie par F(x) = 
 .
 Etudier les variations de F .
 Dresser le tableau de variation de F sur [0 ; 1]
4. Propriétés
a. Linéarité de l’intégrale
Si f et g sont deux fonctions continues sur l’intervalle I et si a et b sont deux réels de I
Si  et  sont deux nombres réels
Alors on a les égalités suivantes :
 =   + 
Si f est une fonction continue sur un intervalle I alors :
La fonction F définie par  x  I F(x) = 
 est la primitive de f sur I qui s’annule en a .
on a donc  x  I F’(x) = f(x)