Morphismes entre les groupes de difféomorphismes de - IMJ-PRG

Morphismes entre les groupes de
difféomorphismes de variétés
Jaouad Mourtada
Mémoire de Master 2
Mathématiques Fondamentales
Sous la direction de Frédéric Le Roux

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Table des matières
1 Introduction 4
1.1 Contexte.............................. 4
1.2 Principe de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Notations ............................. 8
1.4 Remerciements .......................... 8
2 Étude des algèbres de fonctions sur des espaces compacts 9
2.1 Algèbres de fonctions continues sur les espaces compacts . . . 9
2.2 Extension au cas localement compact . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Algèbres de fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Morphismes continus entre groupes de difféomorphismes 17
3.1 Le groupe Diffc(M)........................ 17
3.1.1 Topologie compacte-ouverte sur C(X, Y )et Homeo(X)17
3.1.2 Topologie faible sur Cr(M, N)et sur Diffr(M),
16r6∞......................... 19
3.1.3 Fragmentation sur Diffc(M)............... 22
3.2 Classification des morphismes faiblement continus . . . . . . . 24
3.2.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Deux constructions fondamentales : morphismes in-
duits par des plongements et par des revêtements . . . 27
3.2.3 Preuve de la classification . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Éléments de distorsion dans les groupes de difféomorphismes 41
4.1 Distorsion dans les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Théorème de Militon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Normes de difféomorphismes et de métriques 48
5.1 Contrôle uniforme des difféomorphismes . . . . . . . . . . . . 48
5.1.1 Mesure de dilatation-contraction kD(f)kd’un difféo-
morphisme......................... 49
2

5.1.2 Normes k·kr....................... 50
5.1.3 Un premier résultat de convergence . . . . . . . . . . . 54
5.2 Convergence de métriques et de difféomorphismes . . . . . . . 55
6 Continuité faible des morphismes de groupes 60
6.1 Constructions sur les actions de groupes sur des variétés . . . 60
6.1.1 Éclatement ........................ 60
6.1.2 Recollement........................ 63
6.2 Preuve de la continuité faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.1 Principe de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.2 Le groupe des isométries d’une variété compacte . . . . 66
6.2.3 Preuve du théorème 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.4 Extension au cas où Nest non compacte . . . . . . . . 73
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Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte
Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux groupes des difféomorphismes
de variétés lisses, et aux liens qu’entretiennent ces groupes de transforma-
tions avec les objets géométriques sous-jacents. Ce type de correspondance
entre un objet géométrique et une structure algébrique associée est courant
en mathématiques. Par exemple, le problème des relations qu’entretiennent
un espace et son algèbre de fonctions est assez bien compris : comme nous
le montrons dans ce texte, une variété lisse compacte Mest caractérisée
par son algèbre de fonctions lisses C∞(M), et tout morphisme d’algèbres
C∞(M)→C∞(N)provient de la composition à droite par une application
lisse N→M(théorème 2.15).
De manière encore plus aboutie, la géométrie non commutative établit une
équivalence de catégorie entre la catégorie des espaces topologiques compacts
et (le dual de) la catégorie des C∗-algèbres commutatives (cf. [Con] pour
plus de détails). Un autre exemple est le théorème de Serre-Swan : les fibrés
vectoriels sur une variété lisse compacte Mcorrespondent exactement aux
modules de type fini sur l’anneau C∞(M), l’équivalence de catégorie étant
fournie par le foncteur qui à un fibré vectoriel ξ:E→Massocie le C∞(M)-
module de ses sections lisses Γ(ξ).
Dans le cas des algèbres, comme nous le verrons, pour montrer qu’une
algèbre de fonctions caractérise l’espace sous-jacent, il est souvent possible
de « retrouver » les points de cet espace, ainsi que sa géométrie, à partir d’ob-
jets algébriques définis sur l’algèbre, comme par exemple les morphismes d’al-
gèbres A→R. Cette approche permet en général d’obtenir des constructions
fonctorielles, qui « passent aux morphismes », et d’obtenir des équivalences
de catégories.
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