Chapitre 7 Optique physique
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Chapitre 7 Optique physique Objectif intermédiaire 3.3 Employer la nature ondulatoire de la lumière pour résoudre des problèmes d'interférence de deux ondes comprenant notamment l'expérience de Young, les pellicules minces et l'interféromètre de Michelson. Objectif intermédiaire 3.4 Employer la nature ondulatoire de la lumière pour résoudre des problèmes d'interférence de plusieurs ondes comprenant notamment la diffraction de Fraunhofer, les réseaux et les fentes multiples. Interférence dans l'espace Deux ondes progressives se déplaçant dans l'espace produisent des interférences. Des interférences constructives et destructives se produisent dans l'espace aux points où le déphasage entre les deux ondes est respectivement de 0° et 180°. Le déphasage entre les deux ondes provient de la différence de marche définie par δ = r 2 - r1 où et δ r1 r2 est la différence de marche en mètres, re est la distance parcourue par la 1 onde en mètres e est la distance parcourue par la 2 onde en mètres. r1 Il y a une interférence constructive si δ= m λ où δ m et λ est la différence de marche en mètres, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) est la longueur d'onde en mètres. d r2 δ Il y a une interférence destructive si 1 δ= m + 2 où et δ m λ λ est la différence de marche en mètres, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) est la longueur d'onde en mètres. Note: La condition à satisfaire pour l'interférence constructive ou destructive se réalise aux points situés le long de courbes hyperboliques pour le cas particulier d'un espace à deux dimensions. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-2 Expérience de Young Une source lumineuse ponctuelle placée derrière un écran percé de deux fentes permet de reproduire l'expérience de Young. Ce dispositif permet d'obtenir deux sources lumineuses produisant des ondes en phase. Les interférences peuvent être observées sur un autre écran placé parallèlement aux fentes. Note: Les fentes doivent être très étroites afin que la diffraction soit importante. La diffraction permet de dévier la lumière sur les côtés des fentes. La différence de marche en un point situé sur l'écran est δ = d sin θ où et δ d θ est la différence de marche en mètres, est la distance entre les fentes en mètres est la direction du point sur l'écran en degrés. Note: La direction se mesure par rapport à la normale en un point situé entre les fentes. L Les interférences constructives et destructives de la lumière produisent des franges brillantes et sombres re sur l'écran. La 1 frange brillante (pour m =0) se trouve dans la direction à 0° par rapport à la normale. y θ d δ d θ δ Il y a une frange brillante pour d sin θ = m λ où et d θ m λ est la distance entre les fentes en mètres, est la direction du point sur l'écran en degrés, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) est la longueur d'onde en mètres. Il y a une frange sombre pour 1 d sin θ = m + λ 2 où d θ m est la distance entre les fentes en mètres, est la direction du point sur l'écran en degrés, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-3 est la longueur d'onde en mètres. et λ Si la direction du point sur l'écran n'est pas trop éloignée de la normale, la position d'une franges brillante est donnée par d sin θ = m λ mλL y m ⇒ y m = L sin θ = d sin θ ≈ tan θ = L où et ym m λ L d est la position d'une frange brillante en mètres, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...), est la longueur d'onde en mètres, est la distance entre les fentes et l'écran en mètres est la distance entre les fentes en mètres. La distance entre deux franges voisines, appelée interfrange, est ∆y = y m+1 - y m = où et ∆y y m +1 ym m λ L d ( m + 1 ) λ L - m λ L = λL d d d est l'interfrange en mètres, est la position d'une frange brillante d’ordre m +1 en mètres, est la position d'une frange brillante d’ordre m en mètres, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...), est la longueur d'onde en mètres, est la distance entre les fentes et l'écran en mètres est la distance entre les fentes en mètres. 1. Deux fentes étroites sont distancées de 0,5 mm. Un écran parallèle aux fentes est situé à une distance de 90 cm. La longueur d'onde de la lumière est de 500 nm. a) Dans quelle direction se trouve la frange brillante d'ordre m =1 ? b) À quelle distance du centre se trouve la frange brillante d'ordre m =1 ? c) Dans quelle direction se trouve la frange sombre d'ordre m =2 ? d) À quelle distance du centre se trouve la frange sombre d'ordre m =2 ? e) Quelle est l'interfrange ? Profil d'intensité (expérience de Young) Le champ électrique permet la description des ondes lumineuses sous la forme d'ondes électromagnétiques. Le champ électrique produit par chaque fente de l'expérience de Young en un point situé sur l'écran est Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-4 E1 (t ) = E 0 sin (ωt ) E 2 (t ) = E 0 sin (ωt + φ) où E1 (t ) , E 2 ( t ) et E0 ω t φ sont les champs électriques des fentes en volts par mètre, est l'amplitude du champ électrique en volts par mètre, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est le déphasage entre les deux ondes en radians. La différence de marche entre deux ondes produit un déphasage donné par δ φ = 2 π δ 2 π d sin θ = 2 π λ ⇒ φ= λ λ δ = d sin θ où et φ δ λ d θ est le déphasage entre les deux ondes en radians, est la différence de marche en mètres, est la longueur d'onde en mètres, est la distance entre les fentes en mètre est la direction du point sur l'écran en degrés. Le champ électrique résultant en un point sur l'écran est E P (t ) = E 1 (t ) + E 2 (t ) = E 0 sin ( ω t )+ E 0 sin ( ω t + φ ) φ φ = 2 E 0 cos sin ω t + 2 2 E P (t ) E1 (t ) , E 2 (t ) E0 ω t φ et où est le champ électrique au point P sur l’écran en volts par mètre, sont les champs électriques des fentes en volts par mètre, est l'amplitude du champ électrique d'une fente en volts par mètre, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est le déphasage entre les deux ondes en radians. Rappel: A+ B sin A + sin B = 2 sin 2 Le profil d'amplitude du champ électrique sur l'écran est Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-5 φ E θ = 2 E 0 cos 2 où et Eθ E0 φ est le profil du champ électrique en volts par mètre, est l'amplitude du champ électrique d'une fente en volts par mètre est le déphasage entre les deux ondes en radians. L'observation des franges sur l'écran provient du profil d'intensité de la lumière. L'intensité de la lumière étant proportionnelle au carré du champ électrique, on a 2 2 φ 2 φ I θ ∝ E θ ⇒ I θ = I MAX cos = 4 I 0 cos 2 2 où et Iθ Eθ I MAX I0 φ est le profil d'intensité en watts par mètre carré, est le profil du champ électrique en volts par mètre, est l'intensité maximale du profil en watts par mètre carré, est l'intensité produite par une fente seule en watts par mètre carré est le déphasage entre les deux ondes en radians. Le profil d'intensité pour l'expérience de Young s'exprime aussi à l'aide de la différence de marche, de la direction ou de la position sur l'écran; soit Iθ m=-2 2πδ φ= λ 2 π d sin θ φ= λ y = L sin θ m=-1 IMAX m=0 m=+1 m=+2 -4π -3π -2π -π 0 π +2π +3π +4π φ -4λ -3λ -2λ -λ 0 λ +2λ +3λ +4λ δ y+2 y y-2 y-1 y0 y+1 2 πδ θ-2 θ-1 θ0 θ+1 θ+2 θ I θ = I MAX cos λ Note: La position y =0 se trouve au centre du profil π d sin θ ⇒ = I MAX cos2 d'intensité vis-à-vis les fentes pour θ =0°. La λ relation y = L sin θ est valide pour de 2 πd y petits θ . = I MAX cos λL φ où est le déphasage entre les deux ondes en radians, est la différence de marche en mètres, δ est la longueur d'onde en mètres, λ est la distance entre les fentes en mètre d est la direction du point sur l'écran en degrés, θ Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique y L Iθ et I MAX Page C7-6 est la position d'un point sur l'écran en mètres, est la distance entre les fentes et l'écran en mètres, est le profil d'intensité en watts par mètre carré est l'intensité maximale du profil en watts par mètre carré 2. Deux fentes à 0,3 mm de distance produisent un profil d'intensité avec un interfrange de 3 mm sur un écran situé à 1,2 m devant les fentes. Chaque fente produit une intensité de 10 W/m2 sur l'écran. a) Quelle est la longueur d'onde de la lumière ? b) Quelle est l'intensité au centre du profil d'intensité (en y =0) ? c) Quelle est la différence de marche pour un point à 1 mm du centre du profil d'intensité (en y =0) ? d) Quelle est l'intensité à 1 mm du centre du profil d'intensité (en y =0) ? e) Quelle est l'expression de l'intensité en fonction de la position (par rapport au centre du profil d'intensité) ? Pellicules minces La lumière incidente à la surface d'une pellicule mince se divise en deux parties. Une partie de la lumière re e est réfléchie par la 1 face de la pellicule. L'autre partie de la lumière est réfléchie par la 2 face de la pellicule. re La réflexion sur la 1 face se fait à l'interface d'un milieu d'indice de réfraction plus élevé. Une onde lumineuse subissant une réflexion à l'interface d'un milieu plus élevé subit un déphasage de 180°. La e réflexion sur la 2 face se fait à l'interface d'un milieu d'indice de réfraction plus faible. Une onde lumineuse subissant une réflexion à l'interface d'un milieu plus faible ne subit pas de déphasage. n1 (π) n2 (0) n3 Note : n1<n2>n3 Note: Une pellicule d'huile flottant à la surface de l'eau présente toutes les caractéristiques ci-dessus; soit n1 < n 2 > n3 . Les deux parties de la lumière incidente se superposent à la sortie de la pellicule. La superposition des re ondes réfléchies par les deux faces produit un phénomène d'interférence. À la sortie, la 1 onde possède e un déphasage de 180°. À la sortie, la 2 onde possède un déphasage correspondant à la différence de marche dans la pellicule. Pour un aller et retour perpendiculaire, il y a une interférence destructive si 2 e= m λp où e m est l'épaisseur de la pellicule en mètres, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique et λP Page C7-7 est la longueur d'onde dans la pellicule en mètres. Pour un aller et retour perpendiculaire, il y a une interférence constructive si 1 2 e= m+ λp 2 où et e m λP est l'épaisseur de la pellicule en mètres, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) est la longueur d'onde dans la pellicule en mètres. La longueur d'onde dans la pellicule est donnée par λp = où et λP λ n λ n est la longueur d'onde dans la pellicule en mètres, est la longueur d'onde dans l'air en mètres est l'indice de réfraction de la pellicule. Pour un parcours perpendiculaire, le déphasage entre les deux ondes est donné par où et δ e λP λ n φ δ= 2 e 2πδ 4πne + π= +π λ ⇒ φ= λ λp λ p = n est la différence de marche en mètres, est l'épaisseur de la pellicule en mètres, est la longueur d'onde dans la pellicule en mètres, est la longueur d'onde en mètres, est l'indice de réfraction de la pellicule est le déphasage entre les deux ondes en radians. Note: Le dernier terme π est présent dans le cas où n1 < n 2 > n3 ou n1 > n 2 < n3 . Ce terme π est dû au déphasage π se produisant sur l'une des faces mais pas sur l'autre. Le déphasage dépend de la longueur d'onde et de l'épaisseur de la pellicule mince. Une lumière blanche contenant plusieurs longueurs d'onde, subira des interférences constructives à certaines longueurs d'onde et des interférence destructives à d'autres longueurs d'onde. Un observateur regardant la pellicule mince verra des franges de couleurs. 3. Un rayon lumineux dans l'air frappe perpendiculairement une pellicule mince. L'onde lumineuse possède une longueur d'onde de 500 nm. La pellicule mince possède un indice de Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-8 réfraction de 1,7 et une épaisseur de un micron (1⋅10-6 m). La pellicule mince flotte sur une couche d'eau. re a) Quel est le déphasage de l'onde lumineuse produit par la réflexion sur la 1 face de la pellicule ? b) Quel est le déphasage de l'onde lumineuse produit par la réflexion sur la 2 face de la pellicule ? c) Quel est le déphasage entre les deux ondes lumineuses réfléchies sur les faces de la pellicule ? 4. Un rayon lumineux ayant une longueur d'onde de 500 nm frappe à incidence normale une pellicule mince ayant un indice de réfraction de 1,7. La pellicule mince satisfait aux conditions n1 < n 2 > n3 . a) Quelle est l'épaisseur minimum de la pellicule pour avoir une interférence constructive ? b) Quelle est l'épaisseur minimum de la pellicule pour avoir une interférence destructive ? e Coin d'air Si l'épaisseur de la pellicule varie progressivement dans une direction, des franges rectilignes brillantes et sombres apparaîtront à intervalles égaux. La pellicule mince peut être formée par un espace d'air enfermé entre deux lames de verre planes au sens optique. Des lames planes au sens optique sont telles que la différence de marche est la même en tous points. Un coin d'air entre deux lames planes au sens optique forme une pellicule mince d'épaisseur variable satisfaisant aux conditions n1 > n 2 < n3 . ∆e Frange d’ordre m + 1 e Pour deux franges brillantes successives, les conditions pour l'interférence constructive sont d 1 2 e= m + λ 2 2 ( e + ∆e )= m + 3 λ 2 où et e m λ ∆e est l'épaisseur du coin d'air pour la frange brillante d'ordre m en mètres, est l'ordre de la frange, est la longueur d'onde en mètres est la variation d'épaisseur entre les franges d'ordre m et m +1 en mètres. La variation d'épaisseur du coin d'air entre deux franges est donnée par 1 2 e + 2 ∆e = m + 2 où e ∆e λ λ + λ ⇒ ∆e = 2 est l'épaisseur du coin d'air pour la frange brillante d'ordre m en mètres, est la variation d'épaisseur entre les franges d'ordre m et m +1 en mètres, Tous droits réservés, Richard Fradette. Frange d’ordre m Chapitre 7: L’optique physique et m λ Page C7-9 est l'ordre de la frange est la longueur d'onde dans le coin d'air en mètres. 5. Un coin d'air produit une frange brillante à chaque millimètre. Le coin d'air est formé par un fil mince placé à 12 cm du bord de deux lames de verre planes. L'onde lumineuse frappe le coin d'air perpendiculairement et possède une longueur d'onde de 450 nm. a) Quel est l'angle formé par le coin d'air ? b) Quel est l'épaisseur du fil ? Anneaux de Newton e Une lentille plano-convexe posée sur une lame de verre laisse une pellicule d'air d'épaisseur variable sous la lentille. On peut montrer que l'épaisseur de la pellicule d'air est approximativement r 2R-e 2 e= r 2R où et e r R est l'épaisseur de la pellicule d'air en mètres, est la distance par rapport au centre de la lentille en mètres est le rayon de courbure de la lentille en mètres. 2 2 Note: L'approximation e « R a été employée. Les conditions pour interférences constructive et destructive sont les mêmes que celles pour un coin d'air avec n1 > n 2 < n3 . La forme de la pellicule d'air donne des franges de forme circulaire. 6. Une lentille plano-convexe d'un rayon de courbure de 75 cm est placée sur une vitre. Une lumière incidente frappe la lentille perpendiculairement. La longueur d'onde est de 750 nm. a) Quelle est l'épaisseur de la pellicule d'air pour la 4 frange brillante ? b) Quel est le rayon de la 4 frange brillante ? e e Interféromètre de Michelson Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-10 Un interféromètre de Michelson permet d'obtenir des interférences constructives et destructives à partir d'un seul rayon lumineux. Une onde lumineuse est séparée en deux parties à l'aide d'un miroir semiargenté placé à 45°. Les deux ondes font ensuite un aller et retour perpendiculairement en plaçant deux miroirs sur leur chemin. Ces parcours aller et retour forment les bras de l'interféromètre de Michelson. Après avoir parcouru les bras, les deux ondes se superposent. Il est possible d'obtenir une différence de marche nulle. Il faut deux bras de même longueur. Puis, il faut une lame compensatrice sur l'un des bras. La lame compensatrice sert à compenser la traversée du miroir semiargenté par l'autre onde. La lame compensatrice possède la même nature, la même épaisseur et le même angle que le miroir semi-argenté. Si les deux miroirs sont à la même distance mais ne sont pas au même angle, l'interféromètre est équivalent à un coin d'air. L'onde lumineuse résultante produit alors des franges rectilignes sur un écran. Un miroir mobile permet de varier la différence de marche. Le déplacement du miroir produit un déplacement des franges rectilignes. 7. Un interféromètre de Michelson possède un miroir qui n'est pas exactement perpendiculaire par rapport au bras et l'autre qui est exactement perpendiculaire par rapport au bras. Une onde lumineuse avec une longueur d'onde de 600 nm est employée. a) Si le miroir mobile se déplace (parallèlement au bras) de 12 µm, quel est le nombre de franges défilant en un point ? b) Si l'interfrange est de 2 mm, quel est l'angle du miroir par rapport au bras ? Diffraction La lumière est déviée en passant sur le bord d'un obstacle. Des franges brillantes et sombres couvrent la région de transition entre la zone éclairée et la zone ombrée. La diffraction est expliquée par la théorie ondulatoire de la lumière. La lumière passant près de l'obstacle est décomposée en ondes secondaires. C'est l'interférence entre les ondes secondaires qui explique la diffraction. Diffraction de Fresnel Diffraction de Fraunhofer Si l'écran est proche de l'obstacle, les ondes secondaires sont sphériques et le calcul du profil d'intensité est complexe. La diffraction de Fresnel ne sera pas traitée dans ce cours. Si l'écran est à l'infini, les ondes secondaires sont planes. Le calcul du profil d'intensité est plus facile. Une lentille convergente peut donner le même profil d'intensité sur un écran rapproché si l'écran est plaçé au foyer de la lentille. La diffraction traitée dans ce cours sera la diffraction de Fraunhofer. Diffraction par une fente simple Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-11 Une fente, par laquelle la lumière passe, peut être représentée par un ensemble de sources lumineuses secondaires. Pour un nombre pair de sources secondaires, il peut y avoir interférence constructive ou destructive entre les sources secondaires considérées deux par deux. La fente est divisée en quatre (4) parties; chaque onde s’annule avec une autre de la partie voisine. La fente est divisée en deux (2) parties; chaque onde s’annule avec une autre de la partie voisine. a λ Pour la frange sombre m=1, il y a un déphasage de 2π entre les extrémités de la fente. 2λ Pour la frange sombre m=2, le déphasage entre les extrémités de la fente est de 4π. Lors de l'interférence destructive d'ordre 1, les sources secondaires sont divisées en deux régions. La re condition d'interférence destructive d'ordre 1 pour la 1 source secondaire avec la source secondaire du milieu (et de même pour les sources voisines) est λ a sin θ = ⇒ a sin θ = λ 2 2 où et a θ λ est la largeur de la fente en mètres, est la direction en degrés est la longueur d'onde en mètres. Pour l'interférence destructive d'ordre 2, les sources secondaires sont divisées en quatre régions égales. La condition pour une interférence destructive d'ordre 2 d'une paire de sources secondaires correspondantes de régions voisines est λ a sin θ = ⇒ a sin θ = 2 λ 4 2 où et a θ λ est la largeur de la fente en mètres, est la direction en degrés est la longueur d'onde en mètres. Ainsi, pour la diffraction, il y a une frange sombre pour a sin θ = m λ où et a θ m λ est la largeur de la fente en mètres, est la direction en degrés, est l'ordre de la frange est la longueur d'onde en mètres. Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Attention: Page C7-12 Il n'y a pas de frange sombre d'ordre 0 dans la diffraction. Dans la direction θ =0°, toutes les sources secondaires sont en phase. La direction θ =0° correspond au maximum central. 8. Une fente de 4 µm est traversée par une lumière ayant une longueur d'onde de 800 nm. a) Quelle est la direction de la frange sombre de diffraction d'ordre 1 ? b) Quelle est la direction de la frange sombre de diffraction d'ordre 2 ? c) Quelle est la direction de la frange sombre de diffraction d'ordre 3 ? 9. Deux fentes de 4 µm sont traversées par une lumière ayant une longueur d'onde de 800 nm. La distance entre les fentes est de 8 µm. a) Quelle est la direction de la frange brillante d'interférence d'ordre 2 ? b) Quelle est la direction de la frange sombre de diffraction d'ordre 1 ? c) Quel est l'ordre de la frange sombre de diffraction correspondant à la frange brillante d'interférence d'ordre 4 ? Critère de Rayleigh Pour une ouverture circulaire, les franges brillantes et sombres sont circulaires. Dans ce cas, la frange sombre de diffraction d'ordre 1 est donnée par sin θMIN = où et θ MIN λ D 1,22 λ D er est la direction du 1 minimum de diffraction d'une ouverture circulaire en radians, est la longueur d'onde en mètres est le diamètre de l'ouverture circulaire en mètres. Deux sources voisines derrière l'ouverture circulaire produira deux profils de diffraction superposés sur un écran. Selon le critère de Rayleigh, les images sont distinctes à la limite lorsque le maximum central d'un profil coïncide avec le minimum de diffraction d'ordre 1 de l'autre profil. À la limite, la séparation angulaire entre les maximums centraux étant petite, on a sin θMIN ≈ θ MIN ⇒ θMIN = où et 10. θ MIN λ D 1,22 λ D er est la direction du 1 minimum de diffraction d'une ouverture circulaire en radians, est la longueur d'onde en mètres est le diamètre de l'ouverture circulaire en mètres. On place une feuille avec une ouverture circulaire de 1 mm de diamètre devant la pupille de l’œil dont le diamètre est 3 mm. La longueur d'onde de la lumière est de 500 nm. Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-13 a) Quelle est la séparation angulaire sans la feuille ? b) Quelle est la séparation angulaire avec la feuille ? Réseaux Lorsque plus de deux fentes rectangulaires sont voisines, le dispositif produisant les interférences s'appelle réseau. Des franges brillantes sont produites lorsque toutes les fentes contribuent à une interférence constructive. Entre les maximums principaux du profil d'intensité, il y a des maximums secondaires où l'intensité est faible. La condition pour un maximum principal d'interférence d'ordre m est φ= 2 π m où et φ m est le déphasage entre deux fentes voisines en radians est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...). La condition pour un minimum d'interférence d'ordre p est φ= où et φ p N 2π p N est le déphasage entre deux fentes voisines en radians, est un nombre nul ou entier (±1,±2,±3,..., sauf N ,2 N ,3 N ,...) est le nombre de sources. 11. Un réseau de 8 fentes est traversé par une lumière de 650 nm de longueur d'onde. La distance entre les fentes est de 6,5 µm. a) Quelles est la direction du maximum principal d'interférence d'ordre 1 ? b) Quelles est la direction du maximum principal d'interférence d'ordre 2 ? c) Combien de maximums secondaires se trouvent entre deux maximums principaux ? d) Quelle est la direction du 1 minimum après le maximum principal d'interférence d'ordre 1 ? er Profil d'intensité (réseaux) Le champ électrique permet la description des ondes lumineuses sous la forme d'ondes électromagnétiques. Le champ électrique produit par chaque fente du réseau en un point situé sur l'écran est Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-14 E 1 (t ) = E 0 sin [ ω t ] E 2 (t ) = E 0 sin [ ω t + φ ] E 3 (t ) = E 0 sin [ ω t + 2 φ ] E N (t ) = E 0 sin [ ω t + ( N - 1 ) φ ] où E1 (t ) , E 2 ( t ) et E 3 ( t ) et E N (t ) E0 ω t N φ sont les champs électriques des fentes en volts par mètre, e est le champ électrique de la N fente en volts par mètre, est l'amplitude du champ électrique d'une fente en volts par mètre, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes, est le nombre de sources est le déphasage entre les deux fentes voisines en radians. Selon le principe de superposition, le champ électrique résultant en un point sur l'écran est la somme des champs électriques produits par chaque fente. La notion de phaseur permet d'effectuer cette somme. Un phaseur est l'équivalent d'un vecteur où la grandeur est l'amplitude et la direction est la constante de phase. Dans le cas d'un réseau, l'amplitude de chaque phaseur est constante et le déphasage entre deux phaseurs voisins est constant. L'amplitude du champ électrique résultant est la grandeur du phaseur obtenu par la somme des phaseurs de chaque fente placée à la queue leu leu. De nombreux phaseurs de petite amplitude placée à la queue leu leu forment un arc de cercle. Géométriquement, on a Nφ E 0T = 2 R sin 2 E 0 = 2 R sin φ 2 où et E 0T E0 R N φ Nφ sin 2 ⇒ E 0T = E 0 φ sin 2 Note : Le déphasage entre deux phaseurs voisins est de φ Nφ R 2 φ E0T E0 Nφ est l'amplitude du champ électrique résultant en volts par mètre, est l'amplitude du champ électrique d'une fente en volts par mètre, est le rayon de courbure dans le diagramme en volts par mètre, est le nombre de sources est le déphasage entre deux fentes voisines en radians. L'observation des franges sur l'écran provient du profil d'intensité de la lumière. L'intensité de la lumière étant proportionnelle au carré du champ électrique, on a Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-15 2 I θ ∝ Eθ 2 Nφ sin 2 où ⇒ Iθ= I0 sin φ 2 Eθ I0 N φ et Iθ est le profil d'intensité en watts par mètre carré, est le profil du champ électrique en volts par mètre, est l'intensité produite par une fente seule en watts par mètre carré, est le nombre de sources est le déphasage entre deux fentes voisines en radians. Note: Pour deux fentes, avec N =2, on a 2 2 2φ φ φ sin 2 2 sin 2 cos 2 = = 2 φ Iθ= I0 I0 4I 0 cos φ 2 sin φ sin 2 2 Ce qui est le profil d'intensité pour l'expérience de Young. Note: Les exemples suivants sont des cas particuliers pour d =10 λ . Réseau N=3 Iθ /IMAX 1,0 m=-2 m=-1 m=0 m=+1 m=+2 1,0 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 -17,46° -11,54° -5,74° 0,00° +5,74° +11,54° -17,46° θ Réseau N=5 Iθ /IMAX m=-2 m=-1 m=0 m=+1 m=+2 1,0 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,00° m=-2 m=-1 m=0 m=+1 m=+2 -17,46° -11,54° -5,74° 0,00° +5,74° +11,54° -17,46° θ Réseau N=6 Iθ /IMAX 1,0 -17,46° -11,54° -5,74° Réseau N=4 Iθ /IMAX +5,74° +11,54° -17,46° θ Tous droits réservés, Richard Fradette. m=-2 m=-1 m=0 m=+1 m=+2 -17,46° -11,54° -5,74° 0,00° +5,74° +11,54° -17,46° θ Chapitre 7: L’optique physique Page C7-16 Pour le maximum central d'interférence d'ordre 0, les phaseurs sont alignés; ainsi, l'amplitude du champ électrique résultant est E MAX = N E 0 où et E MAX N E0 est l'amplitude maximale du profil de champ électrique en volts par mètre, est le nombre de sources est l'amplitude du champ électrique d'une fente en volts par mètre. Le profil d'intensité pour un réseau peut s'exprimer à l'aide de l'intensité produite par une fente seule; soit I MAX 2 I MAX = N I 0 ⇒ I θ = 2 N où et I MAX I0 N φ Nφ sin 2 φ sin 2 2 est l’intensité maximale du profil en watts par mètre carré, est l'intensité produite par une fente seule en watts par mètre carré, est le nombre de sources est le déphasage entre deux fentes voisines en radians. 12. Un réseau de 8 fentes est traversé par une lumière de 650 nm de longueur d'onde. La distance entre les fentes est de 6,5 µm. L'intensité produite par une fente seule est de 10 W/m2. a) Quelle est l'intensité du maximum principal d'interférence d'ordre 1 ? b) Quelle est l'intensité du maximum principal d'interférence d'ordre 2 ? c) Quelle est l'intensité dans la direction à 1 rd ? Profil d'intensité (diffraction) Le profil d'intensité pour la diffraction est le même que celui obtenu avec un réseau dont le nombre de sources tend vers l'infini. Cet argument est basé sur la présence d'un nombre infini de sources secondaires dans l'espace occupé par la fente. Ainsi, le profil d'intensité exprimé en fonction du déphasage entre les extrémités de la fente est donné par β = N∆β ⇒ I θ = I MAX où ∆β N β sin N sin 2 β 2 ≈ I MAX β 2N 2 β sin 2 = I MAX β N 2N β sin 2 β 2 est le déphasage entre deux sources secondaires voisines en radians, est le nombre de sources, est le déphasage entre les extrémités de la fente en radians, Tous droits réservés, Richard Fradette. 2 Chapitre 7: L’optique physique Iθ et I MAX Page C7-17 est le profil d'intensité en watts par mètre carré est l'amplitude maximale du profil d'intensité en watts par mètre carré. La condition pour un minimum d'intensité de diffraction est a sin θ = m λ a θ m λ où et est la largeur de la fente en mètres, est la direction en degrés, est un nombre entier (±1,±2,±3,...) est la longueur d'onde en mètres. En considérant le terme au dénominateur de l'expression du profil d'intensité, la condition pour un maximum secondaire d'intensité de diffraction est β = 2,86 π β = 4,92 π où β = 6,94 π β= 2 π a sin θ λ est le déphasage entre les extrémités de la fente en radians, et a θ λ est la largeur de la fente en mètres, est la direction en degrés, est la longueur d'onde en mètres. 13. Une fente de 4 µm est traversée par une lumière ayant une longueur d'onde de 800 nm. L'intensité maximal au centre du profil de diffraction est de 10 W/m2. a) Quelle est la direction du maximum secondaire d'ordre 1 ? b) Quelle est la direction du maximum secondaire d'ordre 2 ? c) Quelle est l'intensité dans la direction à 1° ? Spectromètre à réseau Un spectromètre sert à distinguer les raies de longueurs d'onde voisines émises par les atomes et molécules. Deux caractéristiques permettent de juger la qualité d'un spectromètre, soit la dispersion et le pouvoir de résolution. La dispersion mesure la capacité du spectromètre de séparer deux raies de direction différente. La dispersion est définie par ' = dθ dλ où ' est la dispersion en radians par mètre et dθ dt est la dérivée de la direction par rapport à la longueur d’onde en radians par mètre. Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-18 Le pouvoir de résolution mesure la capacité du spectromètre de distinguer deux raies dans des directions rapprochées. Le pouvoir de résolution est défini par 5= où et 5 λ ∆λ λ ∆λ est le pouvoir de résolution, est la longueur d'onde moyenne des deux raies en mètres est l'écart entre les longueurs d'onde des deux raies à la limite selon le critère de Rayleigh en mètres. Pour un spectromètre à réseau, la dispersion est donné par où et ' m θ d sin θ = m λ d cos θ dθ = m dλ ⇒ dθ m ' = dλ ' = d cos θ est la dispersion en radians par mètre, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) est la direction en radians. er Pour le pouvoir de résolution, le 1 minimum voisin d'un maximum principal d'une raie coïncide avec le re er maximum principal de l'autre raie. La direction du 1 minimum voisin d'un maximum principal de la 1 raie est donnée par pλ d sin θ = N m+1 λ N ⇒ d sin θ = N p = N m + 1 où et d θ N m λ est la distance entre les fentes, est la direction en radians, est le nombre de sources, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...) re est la longueur d'onde de la 1 raie en mètres. e re La direction du maximum principal de la 2 raie (ordre m comme la 1 raie) est donnée par d sin θ = m ( λ + ∆λ où et d θ m λ ∆λ ) est la distance entre les fentes, est la direction en radians, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...), est la longueur d'onde moyenne des deux raies en mètres est l'écart entre les longueurs d'onde des deux raies à la limite selon le critère de Rayleigh en mètres. Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Page C7-19 Pour un spectromètre à réseau, le pouvoir de résolution est donné par N m+1 N m+1 λ = m ( λ + ∆λ ) λ d sin θ = N N ∆λ d sin θ = m ( λ + ∆λ ) ⇒ N m + 1= N m 1+ ≈N m λ N m « 1 5= N m 5= λ ∆λ où et d θ N m λ ∆λ 5 est la distance entre les fentes, est la direction en radians, est le nombre de sources, est un nombre nul ou entier (0,±1,±2,±3,...), est la longueur d'onde moyenne des deux raies en mètres, est l'écart entre les longueurs d'onde des deux raies à la limite selon le critère de Rayleigh en mètres est le pouvoir de résolution. 14. Un spectromètre est composé d'un réseau de 4 000 fentes. La distance entre les fentes est de 5,89 µm. Le spectromètre à réseau est employé avec l'ordre 1 d'interférence. Ce réseau est employé pour observer les raies voisines du sodium dont les longueurs d'onde sont 589,00 nm et 589,59 nm. a) Quel est la direction de la 1 raie du sodium ? b) Quel est la direction de la 2 raie du sodium ? c) Quelle est la dispersion du spectromètre ? d) Quel est le pouvoir de résolution du spectromètre ? re e Tous droits réservés, Richard Fradette. Chapitre 7: L’optique physique Solutions 1. a) 0,057 3° b) 0,9 mm c) 0,143 2° d) 2,25 mm e) 0,9 mm 2 2 2. a) 750 nm b) 40 W/m c) 250 nm d) 10 W/m 3. a) π rd b) 0 rd c) 45,88 rd 4. a) 73,53 nm b) 147,06 nm -6 5. a) 225⋅10 rd b) 27 µm 6. a) 1,312 5 µm b) 1,403 1 mm -6 7. a) 40 b) 150⋅10 rd 8. a) 11,54° b) 23,58° c) 36,87° 9. a) 11,54° b) 11,54° c) ordre 2 de diffraction -4 -4 10.a) 2,033⋅10 rd b) 6,100⋅10 rd 11.a) 5,74° b) 11,54° c) 6 maximums secondaires d) 0,72° 2 2 2 12.a) 640 W/m b) 640 W/m c) 7,60 W/m 2 13.a) 16,61° b) 29,47° c) 9,752 W/m -1 14.a) 5,739° b) 5,745° c) ≈ 170 600 m d) 4 000 Tous droits réservés, Richard Fradette. Page C7-20
