Equations différentielles L3 de Mathématiques

Equations diff´erentielles
L3 de Math´ematiques
Rapha¨el Danchin
Ann´ee 2010–2011

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Table des mati`eres
1´ Equations diff´erentielles lin´eaires 7
1.1 G´en´eralit´es ....................................... 7
1.2 ´ Equations diff´erentielles scalaires lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz lin´eaire et cons´equences . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Exponentielles de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 D´efinition.................................... 12
1.4.2 Comment calculer une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Le cas lin´eaire homog`ene `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Lecasdessyst`emes .............................. 14
1.5.2 Le cas scalaire d’ordre n............................ 17
1.6 La m´ethode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Lecasdessyst`emes .............................. 19
1.6.2 Le cas scalaire d’ordre n............................ 20
1.6.3 Application au cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Contrˆole des EDO lin´eaires 29
2.1 Probl`emes de commandabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Stabilisation par retour d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Probl`emes d’observabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3´ Equations diff´erentielles non lin´eaires 37
3.1 Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Quelques propri´et´es qualitatives des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Crit`eres d’existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 D´ependance par rapport aux param`etres et conditions initiales . . . . . . 42
3.2.3 Leflot...................................... 44
3.3 Exemples d’´equations diff´erentielles non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Equations diff´erentielles du type x0∂xf+∂tf=0.............. 46
3.3.2 ´ EquationdeBernoulli ............................. 47
3.3.3 ´ EquationdeRicatti .............................. 47
3.3.4 Exemples d’´equations non lin´eaires d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . 48
4 Equations diff´erentielles autonomes 51
4.1 Champsdevecteurs .................................. 51
4.2 Stabilit´e des solutions stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Points stationnaires hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bibliographie 63
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4TABLE DES MATI ` ERES

Introduction
On appelle ´equation diff´erentielle ordinaire (EDO en abr´eg´e) toute expression du type
(S)X0=F(t, X)
o`u Fest une fonction continue d´efinie sur I×Aavec Iun intervalle de Ret Aune partie de
Rn,et `a valeurs dans Rnou dans1Cn.La fonction Fa donc ncomposantes F1,··· , Fnqui
sont des fonctions de I×Adans Ket l’EDO ci-dessus peut donc se r´ecrire
X0
1
.
.
.
X0
n
=
F1(t, X1,··· , Xn)
.
.
.
Fn(t, X1,··· , Xn)
.
Lorsque n≥2,pour souligner le fait que l’expression consid´er´ee dans (S) comporte plusieurs
´equations, on parle aussi de syst`eme diff´erentiel du premier ordre.
Par analogie avec la physique (dont, historiquement, l’´etude des ´equations diff´erentielles
est issue), la variable test souvent appel´ee “temps”. Une EDO est dite autonome (resp. non
autonome) si Fne d´epend pas de t(resp. Fd´epend de t).
D´efinition. On dit que la fonction φd´efinie sur un sous-intervalle Jde Iet `a valeurs dans
Knest solution de l’´equation diff´erentielle associ´ee `a Fsi elle est d´erivable sur Jet v´erifie
(1) ∀t∈J, φ(t)∈Aet φ0(t) = F(t, φ(t)).
Remarque. En int´egrant l’expression ci-dessus entre t0et t(o`u t0est un ´el´ement arbitraire de
J) on obtient
(2) φ(t) = φ(t0) + Zt
t0
F(τ, φ(τ)) dτ.
L’expression
(I)X=X0+Zt
t0
F(τ, X)dτ
est appel´ee ´equation diff´erentielle int´egr´ee.
Pour les fonctions assez r´eguli`eres, les formulations (I) et (S) sont ´equivalentes. En effet,
il est clair que toute solution φde (S) d´efinie pr`es de t0v´erifie (2). R´eciproquement, si φest
continue et v´erifie (2) pr`es de t0alors le th´eor`eme de composition (souvenons-nous que Fest
continue) assure que φest C1pr`es de t0; en d´erivant on v´erifie que φest solution de (S).
1Dans la suite, Kd´esignera indiff´eremment Rou C.
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