Algèbre Cours 9 [3ex] Anneaux

Algèbre Cours 9
Anneaux
27 novembre 2009

Définition
Définition Anneau. Un anneau unitaire est un triplet
(A,+,∗)où Aest un ensemble, + : A×A→Aet ∗:A×A→A
deux lois internes sur Avérifiant les axiomes suivants :
1(A,+) est un groupe abélien (en particulier, il existe un
(unique) élément 0 ∈Atel que 0 +a=a+0=apour tout
a∈A) ;
2(A,∗)est un monoïde (en particulier, il existe un (unique)
élément 1 ∈Atel que 1 ∗a=a∗1=apour tout a∈A) ;
3la loi ∗est distributive (à gauche et à droite) par rapport à +:
pour tous a,b,c∈A, on a
(a+b)∗c=a∗c+b∗cet a∗(b+c) = a∗b+a∗c.
(A,+,∗)est dit commutatif si ∗l’est c’est-à-dire si a∗b=b∗a
pour tous a,b∈A.
−→
−→
−→ Abus de langue : soit Aun anneau !

Exemples
Exemple Anneau nul. Soit A={x}un ensemble réduit à un
élément. Montrer qu’il existe sur Aune unique structure d’anneau
unitaire, que cette structure est commutative et que 1 =0.
Inversement, que peut-on dire d’un anneau unitaire (A,+,∗)tel
que 1 =0.
Exemple Anneaux de nombres. Les ensembles suivants ont
une structure naturelle d’anneau unitaire :Z,Q,R,C. Citons aussi
D={a/10n,a∈Z,n∈Z}. Peut-on remplacer 10 par un entier
quelconque ?
Citons encore Z[i] = {a+bi,a,b∈Z} ⊂ Cqui est appelé
l’anneau des entiers de Gauss ou encore Z[j] = {a+bj,a,b∈Z}
(où j=exp(2iπ/3)).

Exemples : encore
Exemple Anneau d’endomorphisme. Soit (G,+) un groupe
abélien. Alors (Endgr.(G),+,◦)est un anneau unitaire.
De même, si Vest un k-espace vectoriel alors Endk(V) = L(V)
est un anneau unitaire (et même une k-algèbre...).
Si Aest un anneau unitaire alors Mn(A)aussi. Que « vaut »
Mn(Mp(A)) ?
Exemple Anneaux produits. Soit (Ai)i∈Ides anneaux.
L’addition et la multiplication terme à terme détermine sur
B=Q
i∈I
Aiune structure d’anneau unitaire. On dit que Best
l’anneau produit des Ai.
Exemple Anneaux de polynômes. R[X]et C[X]sont des
anneaux unitaires.
Exemple Anneaux quotient. Z/nZet R[X]/hX2+1isont
des anneaux unitaires.

Calcul dans un anneau
Notation Comme d’habitude, pour une loi notée additivement,
l’opposé de a∈Apour la loi +est noté −a.
Exercice On fixe a∈A. Montrer que b7→ a∗bet b7→ b∗asont
des endomorphismes du groupe (A,+).
En déduire que 0 est absorbant pour ∗:a∗0=0∗a=0 pour tout
a∈A.
En déduire aussi que a∗(−b) = (−a)∗b=−(a∗b)et en
particulier que (−1)∗x=x∗(−1) = −x.
Exercice Soit a,b,c,d∈A. Pourquoi a-t-on
(a+b)∗(c+d) = a∗c+b∗c+a∗d+b∗d? A-t-on
(a+b)2=a2+2a∗b+b2?