Lemme de Hensel et Idempotents

Lemme de Hensel et Idempotents
M. E. Charkani
1 Anneaux ind´ecomposables
Soient Run anneau commutatif unitaire quelconque. Un ´el´ement e∈Rest dit un idem-
potent si e2=e. Deux idempotents sont orthogonaux si e1e2=e2e1= 0. Un idempotent e
est dit primitive si eest non nul et e6=e1+e2avec e1, e2des idempotents orthogonaux non
nuls. Un idempotent eest dit primitive centrale si eest primitive dans l’anneau Z(R). On
note Id(R) := {x∈R|x2=x}l’ensemble des idempotents de R.
Exemples 1.1 1) Soit A=Mn(R)l’anneau des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans
un anneau R. Les matrices Eij = (δisδjk)16s, t6nsont des idempotents de R. Les idempotents
centraux de Asont de la forme eIno`u ed´ecrit l’ensemble des idempotents centraux de R.
2) Toute matrice carr´ee idempotente E`a coefficients dans un corps Kest similaire `a diag(Ir,0)
o`u r=rg(E).
3) Si e1, e2, ..., ensont des idempotents de Ralors A=diag(e1, e2, ..., en)est une matrice
carr´ee idempotente de Mn(R).
4) Soit Run anneau commutatif. Soient a, b, u, v ∈R− {0}avec ua +vb = 1. Alors ua et
vb sont deux idempotents non triviaux de l’anneau A=R/I o`u I=abR.
5) Soient Run anneau commutatif, Gun groupe et R[G]est l’anneau de groupe sur R. Si H
est un sous-groupe distingu´e du groupe Galors eH=
e
H
|H|est un idempotent centrale de R[G]
dit l’idempotent associ´e `a H.
Proposition 1.1 Un anneau local Rn’admet aucun idempotent non trivial.
Il est claire que la r´eciproque est fausse. En effet tout anneau int`egre n’admet aucun
idempotent non trivial.
Soit Run anneau commutatif unitaire. On dit que l’anneau Rest d´ecomposable si R=
R1×R2avec R1et R2des sous-anneau non triviaux de R. Dans le cas contraire on dit que
l’anneau Rest ind´ecomposable.
Proposition 1.2 Soient Run anneau et eun idempotent central de R. Alors Re et R(1 −e)
sont deux anneaux unitaires et R∼
=Re ×R(1 −e).
Corollaire 1.1 Un anneau Rest ind´ecomposable si et seulement si les seuls idempotents
centraux de Rsont e= 0 ou 1.
1

Ainsi tout anneau local est ind´ecomposable. La r´eciproque est fausse. En effet l’anneau Z
est ind´ecomposable mais non local.
Corollaire 1.2 Soit A=Mn(R)l’anneau des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans
un anneau R. Alors l’anneau Aest ind´ecomposable si et seulement si Rest ind´ecomposable.
Th´eor`eme 1.1 Soit Run anneau commutatif. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
i) SpecR est connexe pour la topologie de Zariski
ii) L’anneau Rest ind´ecomposable
iii) Les seuls idempotents de Rsont les idempotents triviaux.
Proposition 1.3 Si Mest un R-module artinien et noeth´erien alors Mest ind´ecomposable
si et seulement si EndR(M)est un anneau local.
Soit Run anneau commutatif. Un polynˆome Pest dit primaire dans R[X] si Pest la
puissance d’un polynˆome irr´eductible dans R[X]. On peut g´en´eraliser cette d´efinition `a tout
id´eal d’un anneau de Dedekind.
D´efinition 1.1 Soit Run anneau de Dedekind. Un id´eal ade Rest dit primaire si aest la
puissance d’un id´eal premier de R.
Proposition 1.4 Soit Run anneau de Dedekind. Alors on a l’´equivalence suivante :
1. L’anneau R/aest un anneau ind´ecomposable
2. L’anneau R/aest local
3. aest un id´eal primaire
Corollaire 1.1 Soit Kun corps. Soit Pun polynˆome unitaire dans K[X]. Alors on a l’´equivalence
suivante :
1. K[X]/(P)n’admet aucun idempotent non trivial
2. K[X]/(P)est un anneau ind´ecomposable
3. K[X]/(P)est un anneau local
4. Le polynˆome Pest primaire dans K[X]
Lemme 1.1 Soit Run anneau commutatif int´egralement clos de corps de fractions K. Soit P
un polynˆome unitaire dans R[X]. Alors Pest un polynˆome primaire dans R[X]si et seulement
si Pest un polynˆome primaire dans K[X].
Preuve. Il suffit d’appliquer le Lemme de Gauss au polynˆome P.
Exemple 1.1 Soit Run anneau commutatif. L’anneau B=R[X]/(X−α)(X−β)est
d´ecomposable si et seulement si (α−β)est inversible dans R.
2

2 Lifting Idempotent
Un ´el´ement idempotent ade R/I est dit r´ealisable dans Rsi il existe un idempotent ede
Rtel que a=e.
Th´eor`eme 2.1 (Voir [Char3]) Soit Run anneau commutatif unitaire. Soit Iun id´eal de R
contenu dans le radical de R. Si Run anneau complet par la topologie I-adique alors tout
idempotent ade R/I est r´ealisable dans R. Autrement dit l’application
Id(R)→ Id(R/I)
e→e
est surjectif et conserve les idempotents primitifs.
Preuve. On consid`ere le polynˆome Pn(X) = Pn
i=0 Ci
2nX2n−i(1 −X)ide Z[X]. Alors le
polynˆome Pn(X) v´erifie :
1. (Pn(X))2≡Pn(X) mod Xn(1 −X)ndans Z[X].
2. Pn(X)≡Pn−1(X) mod Xn−1(1 −X)n−1dans Z[X].
3. Pn(X)≡Xmod (X−X2) dans Z[X].
En effet comme 2n−i>nalors Pn(X)≡0 mod Xndans Z[X]. De mˆeme comme
1−Pn(X) = P2n
i=n+1 Ci
2nX2n−i(1 −X)ialors Pn(X)≡1 mod (1 −X)ndans Z[X]. Comme 0
et 1 sont des idempotents alors (Pn(X))2≡Pn(X) mod Xndans Z[X] et (Pn(X))2≡Pn(X)
mod (1 −X)ndans Z[X]. Or Xnet (1 −X)nsont ´etrangers dans Z[X] (v´erifient l’identit´e de
Bezout). Donc (Pn(X))2≡Pn(X) mod Xn(1 −X)ndans Z[X].
Pour le 2) il suffit de voir que Pn(X)≡Pn−1(X) mod Xn−1et mod (1 −X)n−1dans Z[X] et
Xnet (1 −X)nsont ´etrangers dans Z[X].
Pour le 3) il suffit de voir que Pn(X)≡Xnmod X2−Xet que Xn≡Xmod X2−Xdans
Z[X].
Soit a´el´ement de Rtel que asoit un idempotent de R/I. Soit la suite an=Pn(a). La propri´et´e
2) ci-dessus de Pnmontre que la suite anest une suite de Cauchy et par suite elle converge
vers un ´el´ement edans R. La propri´et´e 1) ci-dessus de Pnmontre que l’´el´ement edans Rest
bien un idempotent de R. En plus la propri´et´e 3) ci-dessus de Pnpermet de voir que a=e.
Corollaire 2.1 Soient Run anneau commutatif unitaire et Iun id´eal nilpotent de R. Alors
tout idempotent de R/I est r´ealisable dans R.
Preuve. En effet Rest un anneau complet par la topologie I-adique.
Apr`es le th´eor`eme 2.1 qui montre que le rel`evement (Lifting) des idempotents est r´ealisable
dans un anneau local (R, m) complet pour la topologie m-adique, le r´esultat suivant montre
que le rel`evement des idempotents est r´ealisable aussi dans une R-alg`ebre de type finie sur un
anneau de valuation discret (R, m) complet pour la topologie m-adique..
Proposition 2.1 (Voir [C-R2], [Rei], [Jan]) Soit (R, m=π R, k)un anneau de valuation
discret complet pour la topologie m-adique. Soit Aune R-alg`ebre de type finie. Alors tout
idempotent de A/mAest r´ealisable dans A.
3

3 Idempotents et factorisation
D´efinition 3.1 Soit Run anneau commutatif factoriel. Un ´el´ement a∈Rest dit primaire
si aest la puissance d’un ´el´ement premier de R.
Proposition 3.1 Soit Run anneau commutatif factoriel. Si un ´el´ement aest primaire alors
R/aR est ind´ecomposable. La r´eciproque est vraie si Rest un anneau principal.
Remarque 3.1 Soit Kun corps. Soit Pun polynˆome unitaire dans K[X]. Alors K[X]/(P)
admet un idempotent non trivial si et seulement si Pest non primaire dans K[X].
Lemme 3.1 Soit (R, m=π R, k)un anneau de valuation discret complet pour la topologie m-
adique. Soit Pun polynˆome unitaire dans R[X]. Si Pest primaire dans R[X]alors R[X]/(P)
est ind´ecomposable.
Une application des r´esultats pr´ec´edants est une nouvelle preuve du Lemme de Hensel :
3.1 Lemme de Hensel
Soient (R, m, k =R/m) un anneau local complet pour la topologie m-adique, Pun
polynˆome unitaire dans R[X]. La proposition suivante (lemme de Hensel) est tr`es utile pour
localiser les z´eros des polynˆomes `a coefficients dans K.
Proposition 3.2 Lemme de Hensel Soient (R, m, k =R/m)un anneau local complet pour
la topologie m-adique, Pun polynˆome unitaire dans R[X]. Supposons que Rest int´egralement
clos de corps de fractions K. Si Pest un polynˆome primaire dans R[X]alors le polynˆome P
est primaire dans k[X].
Preuve. Il suffit d’appliquer la proposition 2.1 et la proposition 3.1 car R[X] est un anneau
commutatif factoriel.
Corollaire 3.1 Soient (R, m, k =R/m)un anneau commutatif local complet pour la topologie
m-adique, Tun polynˆome unitaire dans R[X]. On suppose que T=P.P 0o`u Pet P0sont deux
polynˆomes ´etrangers dans k[X]. Alors le polynˆome Tdans R[X]s’´ecrit sous la forme :
T=QQ0
avec Q∈R[X]et Q0∈R[X]sont deux polynˆomes fortement ´etrangers.
Corollaire 3.2 Soit Pun polynˆome unitaire dans R[X]. Si Padmet une racine simple dans
kalors Padmet une racine simple dans R.
4

Corollaire 3.3 Le polynˆomes P=Xp−1−1admet p−1racines distincts dans Zp.
Proposition 3.3 Soit Run anneau commutatif, Pet P0deux polynˆomes fortement ´etrangers
dans R[X]. On suppose que Pest unitaire et de degr´e s. Alors tout polynˆome Tdans R[X]
s’´ecrit d’une mani`ere et d’une seule sous la forme :
T=P Q +P0Q0
avec Q∈R[X], Q0∈R[X]et deg(Q0)< s. Si de plus on a deg(T)6tet deg(P0)6t−s,
alors deg(Q)6t−s.
Preuve. Comme Pest unitaire, le polynˆome P H est non nul pour tout polynˆome H6= 0 de
R[X] et dans ce cas on a deg(P H) = s+deg(H). Soit Tun polynˆome quelconque dans R[X].
Comme l’id´eal engendr´e par Pet P0est R[X] tout entier, il existe des polynˆomes Q1et Q0
1
tels que T=P Q1+P0Q0
1; comme Pest unitaire de degr´e s, la division euclidienne ([Bour3])
montre qu’il existe deux polynˆomes Q0, Q”tels que Q0
1=P Q”+Q0avec deg(Q0)< s ; on en
d´eduit donc
T=P Q1+P0(P Q”+Q0) = P Q +P0Q0
avec Q=Q1+P0Q”; Pour d´emontrer l’unicit´e dans la formule (1), il suffit de prouver que les
relations
0 = P Q +P0Q0, avec deg(Q0)< s (2)
impliquent Q=Q0= 0. Or, si (2) est v´erifi´ee, Pdivise −P Q =P0Q0, et comme Pet P0
sont fortement ´etrangers, Pdivise Q0en vertu du lemme de divisibilit´e de Gauss ; si on avait
Q06= 0, il existerait un polynˆome S6= 0 tel que Q0=P S. D’o`u deg(Q0) = s+deg(S)>s,
ce qui est contradictoire. On en conclut Q0= 0, d’o`u P Q = 0 et finalement Q= 0 d’apr`es la
remarque du d´ebut. Enfin, supposons que l’on ait deg(T)6tet deg(P0)6t−s; le polynˆome
T´etant mis sous la forme (1), on a
deg(P0Q0)6deg(P0) + deg(Q0)< s +deg(P0)6T
et par suite
s+deg(Q) = deg(P Q) = deg(T−P0Q0)6t
d’o`u deg(Q)6t−s.
3.2 Lemme de Hensel fort
Soit (K, |.|) un corps ultram´etrique complet. La proposition suivante (lemme de Hen-
sel fort) est tr`es utile pour localiser les z´eros des polynˆomes `a coefficients dans un corps
ultram´etrique complet K.
Proposition 3.4 Soient (K, |.|)un corps ultram´etrique complet et Tun polynˆome unitaire
dans R[X]. On suppose que T=P.P 0o`u Pet P0sont deux polynˆomes ´etrangers dans k[X].
Alors le polynˆome Tdans R[X]s’´ecrit d’une mani`ere et d’une seule sous la forme
T=QQ0
avec Q∈R[X]et Q0∈R[X]sont deux polynˆomes fortement ´etrangers.
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