Théorèmes sur les puissances des nombres

NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
TERQUEM
Théorèmes sur les puissances des nombres
Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 5
(1846), p. 70-78
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THÉORÈMES
sur les Puissances des Nombres.
l. Théorème. S'il est iaipossible de satisfaire à l'équation
V* -f \n= Z% il est aussi impossible de satisfaire à l'équation
.*in + y
n
= z' (Lebesgue).
Démonstration. 11 suffît évidemment de démontrer le théo-
rème pour des nombres entiers.
a) Si deux des trois x,y, z ont un facteur commun, il
divise aussi le troisième; on peut ainsi le faire disparaître ;
donc deux quelconques des trois nombres peuvent être

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supposés premiers entre eux et il n'y a qu'un seul des trois
nombres qui soit pair.
b) z ne peut être pair ; s2 serait divisible par 4 ; et x et y
étant alors impairs, la somme des deux carrés impairs
(a7n)a+(O*ne peut donner un nombre divisible par 4;
donc l'un des deux nombres xyy est nécessairement pair et
l'autre impair. Soit donc x = 2mpq ; m est au moins égal à
l'unité \ p et q sont deux nombres impairs et premiers entre
eux, et pouvant être l'unité, chacun ou ensemble. Ainsi les
quatre nombres y,p, q, z sont impairs et premiers entre
eux, pris deux à deux.
Premier cas. n pair.
L'équation peut alors évidemment prendre la forme
= z' ; OU 24>y + \fi = »a ; 24m p*q* =
a) z-\-v* et z — v* n'ont d'autre facteur commun que 2 ;
car ce facteur commun appartient à la somme 2s et à la dif-
férence 2e* ; z et v étant premiers, 2z et 2S n'ont que 2 pour
facteur commun.
b) II n'y a donc que ces deux décompositions possibles
z— pa =
ou bien :
Le premier système donne pa=/?4—24m~a^4 ; et le second,
^2= 24fn~a24—p4. Or, cette dernière équation est impos-
sible ; car elle donne .
p' et pK étant deux carrés impairs, leur somme ne peut être

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divisible par 4 ; on ne peut donc admettre que le premier
système, dont on tire 24m"~V = (/>a-4-*>) (p*—P). Faisons
q = rs, r et 5 étant deux nombres impairs premiers entre
eux ; et raisonnant comme dessus, on aura ces deux sys-
tèmes possibles :
p* + v = 2r4 1 p*—v = 2H
j
L'un et l'autre système donne p* = r4 + (2m~1 s)4 (1) ; donc
si l'équation {%mpqY + *>4 = ^a est possible, celle-ci, l'équa-
tion (1) le sera aussi, ou/?, f, s sont des nombres impairs pre-
miers entre eux, et m est diminué d'une unité $ en continuant
ainsi, on parviendra enûn à une équationpH = r'4 -f- s'4, ou
//, r, 5' sont des nombres impairs, résultat absurde ; donc
aussi la somme de deux bicarrés ne peut être un bicarré.
Théorème de Fermât (Théorème des Nombres , t. II, p. 5,
.redit. 1830).
Deuxième cas. n est impair.
Faisant toujours x = Zmpq , il vient (2m/?^)2n+jrin = z* ;
*2mpq)in ==(s —
trn)
(- -Krn), d'où deux systèmes possibles .
c —j,n = 2//n , ou bien z + y1 = 2pin
î.r secMiul système donne
taisant r = r.ç en supposant rel 5 impairs et premiers entre
eu\, on aura .
rn = pn + 2mn"^n; sn =zp% ~ 2"111-1//; d'où rn— 5n=:2mn^n=
= (2w7)n; el^ss^+fâ111^}".
Or, cette équation est supposée impossible: donc... etc.

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Pour le premier système, il suffit de supposer que y, ou
que l'un des diviseurs r ou s est négatif et l'on parvient à la
même conclusion.
Si n = 1, en obtient la solution connue :
x = ^pq. (Voir Annales, t. I, p. 184.)
Observation. La première partie du théorème , savoir que
la somme de deux quatrièmes puissances ne peut être un
carré, est indépendante du théorème de Fermât sur l'impos-
sibilité de trouver une puissance de nom quelconque, la se-
conde exceptée, égale à la somme de deux puissances do
même nom.
JI. Théorème, y*n — x™ = "2zn est une équation impos-
sible , en nombres rationnels pour n > 1.
Démonstration. Faisons x™ + zn = u ; u-\- zn=y*n;
u— z*=x™; w2—z*n= (xyYn; d'où {xyyn + z'n = u\
équation impossible d'après le théorème précédent ; donc...
Corollaire. Ainsi la différence de deux bicarrés ne peut
être égale au double d'un carré.
Observation. Ce théorème est de M. Liouville {Journ. des
Math., t. V, p. 360. 1840).
III. Théorème. La différence de deux bicarrés ne peut
être un carré.
Démonstration. Soit l'éqoation x* —y* = z\ il suffit de
prouver l'impossibilité de celte équation en nombres en-
tiers et premiers entre eux, pris deux à deux; il y a donc
doux nombres impairs et un nombre pair ; x ne peut être
pair, car la somme y^ + z* de deux carrés impairs ne peut
être égale à un carré. II y a donc deux cas possibles :