Travail n 2 - Simulations de processus aléatoires discrets Prise en

ECE 2 Informatique
Travail n◦2 - Simulations de processus al´eatoires discrets
Prise en main - Commandes tabul,bar et select... case
Dans la console SCILAB, entrer les unes apr`es les autres, les commandes suivantes et interpr´eter ce qui apparait
`a l’´ecran :
z=grand(1,50,"uin",1,3)
t=tabul(z)
bar(t(:,1) ; t(:,2))
x=floor(3*rand())+1
select x case 1 then y=4 case 2 then y= 7 case
3 then y=13
Exercice 1 - Mouvement al´eatoire sur les sommets d’un triangle.
1. R´ecuperer puis interpr´eter le fichier depl.sci sur la page SCILAB du site mathecegap.free.fr :
http://mathecegap.free.fr/mathece2gap/Algorithmique.html
2. Ecrire un algorithme acceptant en entr´ee un entier naturel net qui dessine dans le plan la trajectoire de
taille nd’un mobile sur un triangle soumis au r´egle de mouvement al´eatoire de l’ex. 5 de la feuille
R´evisions - Utilisations de syst`emes complets d’´ev`enements .
Indication : On pourra utiliser la fonction depl pr´esent´ee dans la question 1 de cet exercice ainsi qu’une
structure it´erative dans laquelle s’int´egrera une structure de conditionnelle Select .... case ... then
afin de distinguer les diff´erents mouvements possibles en fonction de la position du pion.
Tester votre algorithme et appeler pour faire v´erifier votre programmation.
3. Observations des positions `a l’instant n.
Modifier l’algorithme pr´ec´edent afin qu’il accepte en entr´ee un entier naturel net un entier naturel met qu’il
simule mtrajectoires de taille ndu mobile afin d’effectuer mobservations de la variable Xn, variable donnant
la position du pion `a l’instant n. Pr´esenter le r´esultat sous forme d’un diagramme bˆatons et comparer aux
valeurs th´eoriques an,bnet cndonnant la loi de la variable Xn.
Indication : On utilisera la commande tabul pour afin de d’´etablir une matrice valeur/effectif puis l’instruction
bar afin de tracer le diagramme bˆatons associ´e.
Tester votre algorithme et appeler pour faire v´erifier votre programmation.
4. Observations du temps pass´e dans un ´etat donn´e entre l’instant initial et l’instant n.
Modifier l’algorithme pr´ec´edent afin qu’il permette de comptabiliser le temps pass´e dans chacun des 4 ´etats
lors d’une trajectoire de taille n. Pr´esenter le r´esultat sous forme d’un diagramme bˆatons.
Tester votre algorithme et appeler pour faire v´erifier votre programmation.
Exercice 2 - Marche al´eatoire sur Z.
On souhaite simuler la marche al´eatoire d’un mobile sur une droite gradu´ee aux valeurs enti`eres relatives (positives
et n´egatives). Le mobile `a l’instant initial est au point 0. A chaque instant il peut avec la mˆeme probabilit´e :
rester sur place, avancer d’une ou deux unit´es ou reculer d’une ou deux unit´es. On souhaite simuler le mouvement
et m´emoriser la position de ce mobile.
1. Donner la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire Tkdonnant le nombre d’unit´es (orient´es) de d´eplacement
du mobile lors de l’instant k.
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2. Cr´eer une fonction SCILAB qui permet de simuler cette loi de probabilit´e.
Tester votre algorithme et appeler pour faire v´erifier votre programmation.
3. Avec quel type de structure algorithmique peut-on simuler et m´emoriser la trajectoire de ce mobile ?
4. Dans la console SCILAB, tapez puis observez ce que interpr´etez les instructions suivantes :
Appeler pour faire v´erifier votre interpr´etation.
5. Compl´eter puis faire fonctionner le programme ci-dessous afin qu’il demande un entier n`a l’utilisateur et
simule puis repr´esente la trajectoire du mobile en fonction du temps jusqu’`a l’instant n.
Tester votre algorithme et appeler pour faire v´erifier votre programmation.
6. Qu’observez vous en modifiant l’instruction rand(1,n) par rand(10,n) ; l’instruction z=cumsum(x) par
z=cumsum(x,"c") et enfin l’instruction plot2d(1:n,z) par plot(1:n,z) ?
7. A l’aide de l’observation pr´ec´edente, modifier le programme de la question 5 afin qu’il demande un entier n
et simule 100 fois la variable al´eatoire Xn, donnant la position du mobile `a l’instant n. Pr´esenter le r´esultat
sous forme d’un diagramme bˆatons.
Indication : On remarquera que si Mest une matrice de taille p×malors l’instruction M(:,m) affiche sa
derni`ere colonne.
Tester votre algorithme et appeler pour faire v´erifier votre programmation.
Exercice 3 - Variations al´eatoires du cours d’une action
Une action `a une valeur initiale (instant 0) de 10 euros. A chaque instant, le cours de cette action peut uni-
form´ement soit augmenter de 5%, soit diminuer de 1 %, soit rester inchang´e.
1. Compl´eter l’algorithme SCILAB ci-dessous afin qu’il accepte en entr´ee un entier naturel net fournisse en
sortie le graphe de l’´evolution al´eatoire du cours de cette action de l’instant 0 `a l’instant n.
2. T´el´echarger, ex´ecuter et interpr´eter l’algorithme pr´esent´e dans fichier tp2ex3.sce accessible sur la page
SCILAB du site mathecegap.free.fr. Expliquer notamment la ligne de commande :
u=u*(1.05)^(max(0,x(i)))*(0.99)^(-min(0,x(i))) ;
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