Baccalauréat S Antilles

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A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \
septembre 2009
E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
6 points
Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; 1] par :
f (x) = 1 + x ln x.
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 1].
³ →
− →
−´
C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O, ı ,  .
T est la droite d’équation y = x.
La courbe C et la droite T sont représentées sur le schéma ci-dessous.
1.
2.
a. Justifier que lim f (x) = 1.
x→0
b. En utilisant le signe de x ln x sur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre
réel x ∈]0 ; 1] , on a f (x) 6 1.
a. Calculer f ′ (x) pour tout nombre réel x ∈]0 ; 1].
b. Vérifier que la droite T est tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.
3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x ∈]0 ; 1] par
g (x) = 1 + x ln x − x.
a. Étudier les variations de g sur l’intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de
variation de g .
On ne cherchera pas la limite de g en 0.
b. En déduire les positions relatives de la courbe C et de la droite T .
Antilles-Guyane
5
septembre 2009
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Métropole & La Réunion \
septembre 2009
EXERCICE 1
(6 points)
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
¡
¢
f (x) = ln x 2 + 4 .
PARTIE A
1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (x) = f (x) − x.
a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[ .
b. Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3] l’équation g (x) = 0 admet une unique
solution que l’on notera α.
Donner la valeur arrondie de α à 10−1 .
c. Justifier que le nombre réel α est l’unique solution de l’équation f (x) = x.
PARTIE B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même
non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par : un+l =
f (un ).
La courbe C représentative de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = x sont
tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).
1. À partir de u0 , en utilisant la courbe C et la droite ∆, on a placé u1 sur l’axe
des abscisses. De la même manière, placer les termes u2 et u3 sur l’axe des
abscisses en laissant apparents les traits de construction.
2. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse α.
3.
a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a 1 6 un 6 α.
b. Démontrer que la suite (un ) converge.
c. Déterminer sa limite.
Métropole & La Réunion
8
septembre 2009
EXERCICE 3 :
(4 points)
Commun à tous les candidats
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par f (x) = ex .
On appelle C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
³
→
− →
−´
O; i ; j .
1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe C f au point M
d’abscisse a coupe l’axe des abscisses au point P d’ abscisse a − 1.
2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer
→
−
−−→
que N P = − i
PARTIE B
Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que g ′ (x) 6= 0
pour tout nombre réel x.
On
Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal
³ appelle
→
− →
−´
O; i ; j .
Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe Cg d’abscisse a et le
point N projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses.
Soit P le point d’intersection de la tangente T a à la courbe Cg au point M avec l’axe
des abscisses.
Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.
y
Cg
2
1
→
−
j
−1
O
→
−
i
1
b
M
b
N
b
P
2
¶
g (a)
;0 .
1. Démontrer que le point P a pour coordonnées a − ′
g (a)
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative
même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
−
−−→ →
Existe-t-il une fonction g vérifiant g (0) = 2 et N P = i ?
µ
Métropole & La Réunion
9
septembre 2009
x
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
ANNEXE DE L’EXERCICE 1
(à rendre avec la copie)
∆
C
→
−
j
O
Métropole & La Réunion
→
−
i
u0
12
u1
septembre 2009
[ Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie \
septembre 2009
E XERCICE 4
7 points
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f n définie sur ]0 ; +∞[ par :
f n (x) = −nx − x ln x.
On
(C n ) la courbe représentative de la fonction f n , dans un repère orthonormal
³ note
→
− →
−´
O, ı ,  .
Les courbes (C 0 ) , (C 1 ) et (C 2 ) représentatives des fonctions f 0 , f 1 et f 2 sont données
en annexe.
On rappelle que lim x ln x = 0.
x→0
Partie A : Étude de la fonction f 0 définie sur ]0 ; +∞[ par f 0 (x) = −x ln x.
1. Déterminer la limite de f 0 en +∞.
2. Étudier les variations de la fonction f 0 sur ]0 ; +∞[.
Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction f n , n entier naturel.
Soit n un entier naturel.
1. Démontrer que pour x ∈]0 ; +∞[ , f n′ (x) = −n−1−ln x où f n′ désigne la fonction
dérivée de f n .
2.
a. Démontrer que la courbe (C n ) admet en un unique point A n d’abscisse
e−n−1 une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
b. Prouver que le point A n appartient à la droite ∆ d’équation y = x.
c. Placer sur la figure en annexe les points A 0 , A 1 , A 2 .
3.
a. Démontrer que la courbe (C n ) coupe l’axe des abscisses en un unique
point, noté B n , dont l’abscisse est e−n .
b. Démontrer que la tangente à (C n ) au point B n a un coefficient directeur
indépendant de l’entier n.
c. Placer sur la figure en annexe les points B 0 , B 1 , B 2 .
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
ANNEXE
Cette page sera complétée et remise à la fin de l’épreuve
Exercice 4
0,5
O
0,5
(C 2 )
1,0
(C 1 )
1,5
(C 0 )
−0,5
Polynésie
17
septembre 2009
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2009 \
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
5 points
³ →
− →
−´
Le plan est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  .
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = x 2 e−x .
On note f ′ la fonction dérivée de f .
1.
a. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞.
b. Calculer f ′ (x) et déterminer le tableau de variations de f .
c. En déduire le signe de f sur R.
2. Pour tout nombre réel a, on considère l’intégrale : I (a) =
a. Donner selon les valeurs de a le signe de I (a).
Za
0
f (x) dx.
b. À l’aide d’une double intégration par parties montrer que pour tout nombre
réel a :
¶
µ
a2
−a
.
1+a +
I (a) = 2 − 2e
2
c. En déduire pour tout nombre réel a :
¶
µ
a2
1 a
a
.
e I (a) = e − 1 + a +
2
2
3. Soient g et h les fonctions définies sur R par g (x) = ex et h(x) = 1 + x +
On note C la courbe représentative de g et P celle de h.
x2
.
2
a. Montrer que les courbes C et P ont la même tangente au point d’abscisse 0.
b. Déduire des questions précédentes la position relative des courbes C et
P.
[ Baccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010 \
E XERCICE 4
8 points
À tout entier naturel n non nul, on associe la fonction f n définie sur R par
4enx
.
enx + 7
On désigne
par C´n la courbe représentative de la fonction f n dans un repère ortho³ →
− →
−
normal O, ı ,  .
Les courbes C 1 , C 2 et C 3 sont données en annexe.
f n (x) =
Partie A : Étude de la fonction f 1 définie sur R par f 1 (x) =
4ex
ex + 7
4
.
1 + 7e−x
a. Démontrer que la courbe C 1 admet deux asymptotes dont on précisera
des équations.
1. Vérifier que pour tout réel x, f 1 (x) =
2.
b. Démontrer que la fonction f 1 est strictement croissante sur R.
3.
c. Démontrer que pour tout réel x, 0 < f 1 (x) < 4.
a. Démontrer que le point I1 de coordonnées (ln 7 ; 2) est un centre de symétrie de la courbe C 1 .
b. Déterminer une équation de la tangente (T1 ) à la courbe C 1 au point I1 .
c. Tracer la droite (T1 ).
4.
a. Déterminer une primitive de la fonction f 1 sur R.
b. Calculer la valeur moyenne de f 1 sur l’intervalle [O ; ln 7].
Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction f n .
µ
¶
1
1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul le point A 0 ;
appartient
2
à la courbe C n ·
2.
a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul la courbe C n et la
droite d’équation y = 2 ont un unique point d’intersection dont on précisera l’ abscisse.
On note I n ce point d’intersection.
b. Déterminer une équation de la tangente (Tn ) à la courbe C n au point I n .
c. Tracer les droites (T2 ) et (T3 ).
Amérique du Nord
33
3 juin 2010
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve
Exercice 3 (enseignement de spécialité)
y
6
4
2
M0
+
M1
+
+
→
−
v
−8
−6
−4
O
−2
→
−
u
2
4
+
M2
+
−2
M3
−4
−6
Exercice 4
y
C3
4
C2
2
−4
−2
C1
O
2
4
x
−2
Amérique du Nord
34
3 juin 2010
6
8
[ Baccalauréat S Liban 3 juin 2010 \
E XERCICE 4
6 points
Partie A
Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
u(x) = x 2 − 2 + ln x.
1. Étudier les variations de u sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞.
2.
a. Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞[.
On note α cette solution.
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2
de α.
3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
4. Montrer l’égalité : ln α = 2 − α2 .
Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par
f (x) = x 2 + (2 − ln x)2 .
On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
1. Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′ (x) en fonction de u(x).
2. En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[.
Partie C
³ →
− →
−´
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  , on note :
• Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
• A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
• M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[.
p
1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f (x).
p
2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = f (x.
a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; +∞[.
b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont
on précisera les coordonnées.
p
c. Montrer que AP = α 1 + α2 .
3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative,
même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P ?
Liban
37
3 juin 2010
Durée : 4 heures
Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2010
E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
6 points
Partie A
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ par
g (x) = x − x ln x.
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +∞.
2. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et que g ′ (x) = − ln x.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g .
Partie B
Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par un =
en
.
nn
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a. le sens de variation de la suite (un ) ;
b. la limite éventuelle de la suite (un ).
2. Soit (v n ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par v n = ln(un ).
a. Montrer que v n = n − n ln n.
b. En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v n ).
c. En déduire le sens de variation de la suite (un ).
3. Montrer que la suite (un ) est bornée.
4. Montrer que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.
Antilles-Guyane
41
18 juin 2010
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
[ Baccalauréat S Asie 21 juin 2010 \
E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
4 points
L’objectif de l’exercice est l’étude d’une fonction et d’une suite liée à cette fonction
PARTIE A
On note f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
1 1
ex .
x2
C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
³On note
→
− →
−´
O, ı ,  . L’unité graphique est 1 cm.
1. Étude des limites
a. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0.
b. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +∞.
c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe
C?
2. Étude des variations de la fonction f
a. Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction f s’exprime, pour tout
réel x strictement positif, par :
f ′ (x) = −
1 1
e x (2x + 1).
x4
b. Déterminer le signe de f ′ et en déduire le tableau de variation de f sur
l’intervalle ]0 ; +∞[.
c. Démontrer que l’équation f (x) = 2 a une unique solution notée α appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ et donner la valeur approchée de α arrondie
au centième.
³ →
− →
−´
3. Tracer la courbe C dans le repère orthonormal O, ı ,  .
Baccalauréat S Centres étrangers 14 juin 2010
E XERCICE 3
Commun à tous les candidats
6 points
On considère les deux courbes (C 1 ) et (C 2 ) d’équations respectives y = ex et
y = −x 2 − 1 dans un repère orthogonal du plan.
Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune
à ces deux courbes.
1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une
telle tangente à l’aide d’une règle.
Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la
courbe (C 1 ) et l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe
(C 2 ).
2. On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d’abscisse a de la
courbe (C 1 ) et par B le point d’abscisse b de la courbe (C 2 ).
a. Déterminer une équation de la tangente (TA ) à la courbe (C 1 ) au point
A.
b. Déterminer une équation de la tangente (TB ) à la courbe (C 2 ) au point
B.
c. En déduire que les droites (TA ) et (TB ) sont confondues si et seulement
si les réels a et b sont solutions du système (S) :
½
ea
ea − aea
=
=
−2b
.
b2 − 1
d. Montrer que le système (S) est équivalent au système (S′ ) :
½
ea
e2a + 4aea − 4ea − 4
=
=
−2b
.
0
3. Le but de cette question est de prouver qu’il existe un unique réel solution de
l’équation
(E) :
e2x + 4xex − 4ex − 4 = 0.
Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = e2x + 4xex − 4ex − 4.
a. Montrer que pour tout x appartenant à ] − ∞ ; 0[, e2x − 4 < 0 et
4ex (x − 1) < 0.
b. En déduire que l’équation (E) n’a pas de solution dans l’intervalle
] − ∞ ; 0[.
c. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle
[0 ; +∞[.
d. Démontrer que l’équation (E) admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; +∞[.
On note a cette solution. Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de
a.
4. On prend pour A le point d’abscisse a. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 du réel b pour lequel les droites (TA ) et (TB ) sont confondues.
E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
5 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = 6 −
5
.
x +1
Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un ) définies par un premier terme
positif ou nul u0 et vérifiant pour tout entier naturel n :
un+1 = f (un ) .
1. Étude de propriétés de la fonction f
a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b. Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[[ l’équation f (x) = x.
On note α la solution.
c. Montrer que si x appartient à l’intervalle [0 ; α], alors f (x) appartient à
l’intervalle [0 ; α].
De même, montrer que si x appartient à l’intervalle [α, +∞[ alors f (x)
appartient à l’intervalle [α ; +∞[.
2. Étude de la suite (un ) pour u0 = 0
Dans cette question, on considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et pour tout
entier naturel n :
un+1 = f (un ) = 6 −
5
.
un + 1
a. Sur le graphique représenté dans l’annexe 2, sont représentées les courbes
d’équations y = x et y = f (x).
Placer le point A 0 de coordonnées (u0 ; 0), et, en utilisant ces courbes,
construire à partir de A 0 les points A 1 , A 2 , A 3 et A 4 d’ordonnée nulle et
d’abscisses respectives u1 , u2 , u3 et u4 .
Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la
convergence de la suite (un ) ?
b. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0 6 un 6
un+1 6 α.
c. En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.
3. Étude des suites (un ) selon les valeurs du réel positif ou nul u0
Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (un )
suivant les valeurs du réel positif ou nul u0 ?
Centres étrangers
52
14 juin 2010
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
Annexe 1 (Exercice 3, question 1)
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
Annexe 2 (Exercice 4, question 2. a.)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
Centres étrangers
2
3
4
5
53
6
7
8
9
14 juin 2010
[ Baccalauréat S La Réunion 22 juin 2010 \
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
6 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par
f (x) = 1 + ln(1 + x).
³ →
− →
−´
On note C f sa courbe représentative dans un repère orthononnal O, ı ,  .
On note D la droite d’équation y = x.
Partie A
1.
a. Étudier le sens de variation de la fonction f .
b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de
définition.
2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par g (x) = f (x) − x.
a. Déterminer lim g (x).
x→−1
ln(1 + x)
. En déduire lim g (x).
x→+∞
1+x
c. Étudier le sens de variation de la fonction g , puis dresser le tableau de
variations de la fonction g .
b. Déterminer lim
x→+∞
d. Montrer que sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ l’équation g (x) = 0 admet exactement deux solutions α et β, avec α négative et β appartenant à l’intervalle [2 ; 3].
e. À l’aide des questions précédentes, détenniner le signe de g (x). En déduire la position relative de la courbe C f et de la droite D.
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même
non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
½
u0
= 2
Soit (un ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par :
un+1 = f (un )
1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 2 6 un 6 β.
2. La suite (un ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
[ Baccalauréat S Métropole 22 juin 2010 \
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
6 points
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A :
On considère l’équation différentielle
(E) :
y ′ + y = e−x .
1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par
u(x) = xe−x est une solution de l’équation différentielle (E).
2. On considère l’équation différentielle (E′ ) : y ′ + y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E′ ).
3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est
une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v − u
est solution de l’équation différentielle (E′ ).
4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
5. Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que g (0) =
2.
Partie B :
On considère la fonction f k définie sur l’ensemble R des nombres réels par
f k (x) = (x + k)e−x
où k est un nombre réel donné.
On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction f k admet un maximum en x = 1 − k.
2. On note Mk le point de la courbe C k d’abscisse 1−k. Montrer que le point Mk
appartient à la courbe Γ d’équation y = e−x .
3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi
que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé
deux courbes :
• la courbe Γ d’équation y = e−x ;
• la courbe C k d’équation y = (x + k)e−x pour un certain nombre réel k
donné.
a. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).
b. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel
k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.
Z2
4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer
(x + 2)e−x dx. Donner une
interprétation graphique de cette intégrale.
0
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010
ANNEXE 1 (Exercice 1)
(à rendre avec la copie)
O
Métropole
62
22 juin 2010
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