GROUPES ET OPERATIONS Exercice 1. Soit G le sous

GROUPES ET OPERATIONS
Exercice 1. Soit Gle sous-groupe de S5engendr´e par (1 2 3) (4 5) .L’inclusion G →S5
d´efinit une op´eration de Gsur X={1,2,···,5}.
a) Combien y a-t-il d’orbites et quel est l’ordre de G?
b) D´eterminer le stabilisateur de chaque point de X .
Exercice 2. Soit G×X→Xune op´eration du groupe Gsur l’ensemble X . On note
ΣXle groupe des bijections de Xdans Xet ρ:G→ΣXl’homomorphisme d´efini par
ρ(g)(x) = g.x .
a) Montrer que Ker ρ=\
x∈X
Stab(x) et que G/ ker ρop`ere fid`element sur X .
b) Soient get g0des ´el´ements de Get soit x∈X . Montrer que
g.x =g0.x ⇔g∈g0.Stab(x).
En d´eduire que Stab(g.x) = gStab(x)g−1.
c) Supposons que Card Xest fini, soient X1, . . . , Xkles orbites et posons ni= Card(Xi).
Montrer que l’op´eration ρd´efinit un homomorphisme de Gdans
k
Y
i=1
Sni.
Exercice 3. Soit Gun groupe, soit Vun espace vectoriel non nul sur un corps Ket soit
ρ:G→GL(V) un homomorphisme de groupes. Nous notons g.x l’image de x∈Vpar
l’application ρ(g)∈GL(V).
a) Montrer que VG={x∈V / ∀g∈G , g.x =x}est un sous-espace vectoriel de V .
b) Soit pun nombre premier. Supposons que Kest le corps Z/pZ, que Vest de dimension
finie et que Gapn´el´ements n > 0.Montrer que CardVGest multiple de p . En d´eduire
que dim VG≥1.
Exercice 4. Soit Gun groupe fini op´erant sur un ensemble fini X . Pour tout g∈G
posons Fix(g) = {x∈X / g.x =x}et soit Nle nombre d’orbites.
1) Soit ϕ:X×G→ {0,1}l’application d´efinie par
ϕ(x, g) = n1 si x∈Fix(g)
0 sinon.
On suppose que Gop`ere transitivement sur X .
a) Soit x0∈X . Montrer que
X
x∈XX g∈G
ϕ(x, g) = Card X|Stab(x0)|.
b) En d´eduire que X
g∈G
CardFix(g)=|G|.
2) Montrer que N|G|=X
g∈G
CardFix(g).

Exercice 5. Soit Eun plan euclidien et soit Pun polygone r´egulier `a ncot´es dans E,
n≥3.Notons Ole centre de P . Soit D2nle goupe des isom´etries affines de Elaissant
Pglobalement invariant. Ce groupe s’appelle le groupe dih´edral d’ordre 2n .
a) Montrer que si g∈D2nalors g(O) = O .
Soit rla rotation de centre Oet d’angle 2π
n, soit Aun sommet de Pet soit sla sym´etrie
orthogonale par rapport `a la droite OA .
b) Montrer que ret sappartiennent `a D2net que l’on a
rn= 1 , s2= 1 , srs =r−1.
c) En d´eduire que D2n={1, r, r2, . . . , rn−1, s, sr, sr2, . . . , srn−1}.
d) Montrer que D2nest isomorphe `a un sous-groupe de Sn.En d´eduire que D6est
isomorphe `a S3.
e) Soit Rle sous-groupe de D2nengendr´e par r . Quel est l’indice de R? Montrer que si
nest impair, alors Rest le seul sous-groupe d’ordre nde D2n.
Exercice 6. Soit Gle sous-groupe de GL(2,C) engendr´e par les deux ´el´ements suivants
j=i0
0−i, k =0 1 −1 0 .
Notons Jle sous-groupe engendr´e par jet Kle sous-groupe engendr´e par k .
a) Calculer j2et k2.Montrer que |J|=|K|= 4 et |J∩K|= 2 .
b) Montrer que le centre Z(G) est ´egal `a {1,−1}o`u 1 d´esigne la matrice unit´e.
c) Calculer kjk−1et jkj−1.Montrer que
G={jpkq/0≤p≤3 et 0 ≤q≤3}.
On pose i=jk (cr´eant ainsi une confusion avec l’´el´ement i∈C).
d) Montrer que i2=j2=k2=−1 et ij =−ji =k,jk =−kj =iet ki =−ik =j . En
d´eduire que G={1,−1, i, −i, j, −j, k, −k}et que |G|= 8 .Ce groupe s’appelle le groupe
des quaternions et se note H8.
e) Montrer que H8n’est pas isomorphe `a D8.
Exercice 7. Soit Gun groupe d’ordre 8 .
a) Montrer que si Gcontient un ´el´ement d’ordre 8 alors Gest ab´elien.
Montrer que si tous les ´el´ements de Gsont d’ordre 2 alors Gest ab´elien.
On suppose maintenant que Gn’est pas ab´elien.
b) Supposons que aest un ´el´ement de Gd’ordre 4 ; montrer que le sous groupe H
engendr´e par aest distingu´e.
c) Montrer que le centre Z(G) est d’ordre 2 ; on notera zl’´el´ement de Z(G) diff´erent de
l’´el´ement neutre.
d) On suppose z6∈ H . Montrer que G=Z(G)H . En d´eduire une contradiction.
e) Montrer que z=a2et que Z(G)⊂H .

f) Supposons qu’il existe un ´el´ement t6∈ Hd’ordre 2 .Montrer que tat =a3.En d´eduire
que Gest isomorphe `a D8.
g) Supposons que Gn’est pas isomorphe `a D8.
(i) Soit xun ´el´ement de Gn’appartenant pas `a H . Montrer que x2∈H . En d´eduire
que x2=a2et xax−1=a3.
(ii) Montrer que Gest isomorphe `a H8.
Exercice 8. Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de G . On fait op´erer Gpar
translations l’ensemble sur l’ensemble G/H des classes `a gauche, en posant g.(xH) =
(gx).H pour tout g∈Get x∈G .
a) Montrer que Stab(xH) = xHx−1.
b) On note HGl’intersection des conjugu´es de H . Montrer que HGest un sous-groupe
de Het que HGest un sous-groupe distingu´e de G .
c) Montrer que l’op´eration pr´ec´edente d´efinit un homomorphisme injectif du groupe
G/HGdans le groupe des permutations de l’ensemble G/H .
d) On suppose que Hest d’indice fini dans G . Montrer qu’il existe un sous-groupe H0
de H, distingu´e dans Get d’indice fini.
Exercice 9. Soit Gun groupe fini et soit ple plus petit diviseur premier de |G|.On
suppose qu’il existe un sous-groupe Hde Gd’indice pet on note HGl’intersection des
conjugu´es de H .
a) Montrer que G:HG=pH:HG.
b) Supposons H6=HG.Montrer que H:HGdivise (p−1)! .
c) Montrer que Hest distingu´e dans G .
Exercice 10. Soit Kun corps commutatif et Eun K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit Xl’ensemble des droites vectorielles de E . On fait op´erer le groupe GL(E) sur Xen
posant, pour tout g∈GL(E) et x∈X,g.x =g(x).Soit Zle centre du groupe GL(E).
a) Montrer que cette op´eration d´efinit un homomorphisme injectif de GL(E)/Z dans le
groupe des permutations de X .
b) Soit pun nombre premier. On suppose K=Z/pZet Dim E= 2 .Montrer que
Card X=p+ 1 .En d´eduire qu’il existe un homomorphisme injectif de GL(E)/Z dans
Sp+1 .
c) Supposons maintenant p= 3 .Calculer l’ordre des groupes GL(E) et Z . En d´eduire
que le groupe GL2,Z/3Z/Z est isomorphe `a S4.
Exercice 11. Soit Gun groupe fini et soit Hun sous-groupe de Gtel que H6=G . On
suppose que |G|ne divise pas G:H!.
a) Soit ρ:G→S(G:H)l’homomorphisme d´efini en faisant op´erer Gpar translations sur
l’ensemble G/H . Montrer que ρn’est pas injectif.
b) En d´eduire qu’il existe un sous-groupe de Hdiff´erent de {1}et distingu´e dans G .

Exercice 12. Soit Gun groupe. Pour tout x∈G, on d´efinit le centralisateur de xpar
CG(x) = {g∈G / gx =xg}.
Faisons op´erer Gsur lui-mˆeme par conjugaison, c’est-`a-dire posons, pour g∈Get x∈G:
g.x =gxg−1.
a) Montrer que, pour tout x∈G, on a Stab(x) = CG(x).
On suppose maintenant que Gest fini.
b) Soit x∈G . Montrer que le nombre de conjugu´es de xest ´egal `a G:CG(x).Soit y
un conjugu´e de x . Montrer que Card{g∈G / gxg−1=y}=|CG(x)|.
c) Montrer que le centre Z(G) de Gest ´egal `a \
x∈G
CG(x).
Exercice 13. Soit Gun groupe fini et soit Kle nombre de classes de conjugaison de G .
a) Soient x1, . . . , xKdes ´el´ements de Gappartenant chacun `a une seule classe de
conjugaison. Montrer que |G|=
K
X
i=1 G:CG(xi).
b) En d´eduire qu’il existe des entiers nitels que |G|=n1≥n2≥ ··· ≥ nKet 1 =
K
X
i=1
1
ni
.
c) Montrer que si K= 2 alors Gest isomorphe `a Z/2Z.
d) On suppose K= 3 .Montrer que |G|= 3 ou 6 .En d´eduire que Gest isomorphe `a S3
ou `a Z/3Z.
Exercice 14. Soit Gun groupe et Hun sous-groupe. On d´efinit le centralisateur de H
par
CG(H) = {g∈G / ∀h∈H , gh =hg}.
a) Montrer que CG(H) = \
h∈H
CG(h) et que CG(H) est un sous-groupe de G .
b) Montrer que CG(H) = Gsi et seulement si Hest contenu dans le centre de G .
Exercice 15. Soit Gun groupe et Hun sous-groupe. On d´efinit le normalisateur de H
par
NG(H) = {g∈G / gHg−1=H}.
a) Montrer que NG(H) est un sous-groupe de Get que CG(H) est un sous-groupe
distingu´e de NG(H).
b) Montrer que NG(H) est le plus grand sous-groupe de Gdans lequel Hest distingu´e.
c) Montrer que le nombre de sous-groupes conjugu´es de Hest ´egal `a l’indice
G:NG(H).
d) Montrer que NG(H) op`ere sur Hpar conjugaison et que cette op´eration d´efinit un
homomorphisme injectif de NG(H)/CG(H) dans Aut H .
Exercice 16. Soit Gun groupe fini et soit ple plus petit diviseur premier de |G|.
Supposons que Kest un sous-groupe distingu´e de Gtel que |K|=p .

a) Montrer que le groupe Aut (Z/pZ) est d’ordre p−1.
b) Montrer que NG(K) = Get que |G/CG(K)|divise p−1.
c) En d´eduire que Kest contenu dans le centre de G .
Exercice 17. Soit Gun groupe fini. On fait op´erer le groupe Z/2Zsur Gen posant
1.g =g−1pour tout g∈G . Montrer que si |G|est pair, Gcontient au moins un ´el´ement
d’ordre 2 .
Exercice 18. Soit Gun groupe d’ordre 2ko`u kest un entier impair. On fait op´erer G
sur lui-mˆeme par translations en posant, pour g∈Get x∈G,g.x =gx .
a) Montrer que cette op´eration d´efinit un homomorphisme injectif ρ:G →S2k.
Posons H=ρ−1A2ket notons ε:S2k→ {1,−1}la signature.
b) Montrer que Hest distingu´e dans Get que ε◦ρd´efinit un homomorphisme injectif
ρ:G/H → {1,−1}.
c) Soit aun ´el´ement d’ordre 2 appartenant `a G . Montrer que ρ(a) est un produit de k
transpositions. En d´eduire que ρest un isomorphisme.
d) Montrer que Gcontient un sous-groupe d’indice 2, et donc un sous-groupe distingu´e
propre.
Exercice 19. Soit pun nombre premier et soit Gun groupe d’ordre pn,n≥1.Soit H
un sous-groupe distingu´e de Gtel que H6={1}.
a) On fait op´erer Gsur Hpar automorphismes int´erieurs. Soit h∈Het ω(h) l’orbite
de h . Montrer que Cardω(h)= 1 si et seulement si happartient au centre de G .
b) En d´eduire que H∩Z(G) a au moins p´el´ements.
Exercice 20. Soit Gun groupe fini et soit Hun sous-groupe de G . Soit Xl’ensemble
des conjugu´es xHx−1de H,x∈G .
On fait op´erer Hsur Xen posant, pour h∈Het xHx−1∈X
h. xHx−1= (hx)H(hx)−1.
a) Soit x∈G . Montrer que StabxHx−1=xNG(H)x−1∩H .
En d´eduire que StabxHx−1=Hsi et seulement si NG(H)⊂x−1Hx .
b) On suppose que NG(H) = H . Montrer que l’´el´ement H∈Xest le seul point fixe de
l’op´eration.
c) Supposons maintenant que |G|=mpr, o`u pest un nombre premier et mun entier
premier `a p, et que |H|=pαavec 1 ≤α < r .
(i) Montrer que Card(X) = G:NG(H).
(ii) Montrer que si NG(H) = Halors Card(X) = mpr−α.
(iii) En d´eduire que Hest strictement contenu dans NG(H).
d) Supposons que |G|=pret |H|=pr−1o`u pest premier et r≥1.Montrer que Hest
distingu´e dans G .