GROUPES ET OPERATIONS Exercice 1. Soit G le sous

GROUPES ET OPERATIONS
Exercice 1. Soit G le sous-groupe de S5 engendré par (1 2 3) (4 5) . L’inclusion G ,→ S5
définit une opération de G sur X = {1, 2, · · · , 5} .
a) Combien y a-t-il d’orbites et quel est l’ordre de G ?
b) Déterminer le stabilisateur de chaque point de X .
Exercice 2. Soit G × X → X une opération du groupe G sur l’ensemble X . On note
ΣX le groupe des bijections de X dans X et ρ : G → ΣX l’homomorphisme défini par
ρ(g)(x) = g.x .
\
Stab(x) et que G/ ker ρ opère fidèlement sur X .
a) Montrer que Ker ρ =
x∈X
b) Soient g et g 0 des éléments de G et soit x ∈ X . Montrer que
g.x = g 0 .x ⇔ g ∈ g 0 . Stab(x) .
En déduire que Stab(g.x) = g Stab(x) g −1 .
c) Supposons que Card X est fini, soient X1 , . . . , Xk les orbites et posons ni = Card(Xi ) .
k
Y
Montrer que l’opération ρ définit un homomorphisme de G dans
Sni .
i=1
Exercice 3. Soit G un groupe, soit V un espace vectoriel non nul sur un corps K et soit
ρ : G → GL(V ) un homomorphisme de groupes. Nous notons g.x l’image de x ∈ V par
l’application ρ(g) ∈ GL(V ) .
a) Montrer que V G = {x ∈ V / ∀g ∈ G , g.x = x} est un sous-espace vectoriel de V .
b) Soit p un nombre premier. Supposons que K est le corps Z/pZ, que V est de dimension
finie et que G a pn éléments n > 0 . Montrer que Card V G est multiple de p . En déduire
que dim V G ≥ 1 .
Exercice 4. Soit G un groupe fini opérant sur un ensemble fini X . Pour tout g ∈ G
posons Fix(g) = {x ∈ X / g.x = x} et soit N le nombre d’orbites.
1) Soit ϕ : X × G → {0, 1} l’application définie par
n
ϕ(x, g) = 1 si x ∈ Fix(g)
0 sinon.
On suppose que G opère transitivement sur X .
a) Soit x0 ∈ X . Montrer que
XX
ϕ(x, g) = Card X |Stab(x0 )| .
x∈X g∈G
b) En déduire que
X
Card Fix(g)
= |G| .
g∈G
2) Montrer que N |G| =
X
g∈G
Card Fix(g) .
Exercice 5. Soit E un plan euclidien et soit P un polygone régulier à n cotés dans E,
n ≥ 3 . Notons O le centre de P . Soit D2n le goupe des isométries affines de E laissant
P globalement invariant. Ce groupe s’appelle le groupe dihédral d’ordre 2n .
a) Montrer que si g ∈ D2n alors g(O) = O .
Soit r la rotation de centre O et d’angle 2π
n , soit A un sommet de P et soit s la symétrie
orthogonale par rapport à la droite OA .
b) Montrer que r et s appartiennent à D2n et que l’on a
rn = 1 ,
s2 = 1 ,
srs = r−1 .
c) En déduire que D2n = {1, r, r2 , . . . , rn−1 , s, sr, sr2 , . . . , srn−1 } .
d) Montrer que D2n est isomorphe à un sous-groupe de Sn . En déduire que D6 est
isomorphe à S3 .
e) Soit R le sous-groupe de D2n engendré par r . Quel est l’indice de R ? Montrer que si
n est impair, alors R est le seul sous-groupe d’ordre n de D2n .
Exercice 6. Soit G le sous-groupe de GL(2, C) engendré par les deux éléments suivants
j=
i
0
0
−i
,
k=
0
−1
1
0
.
Notons J le sous-groupe engendré par j et K le sous-groupe engendré par k .
a) Calculer j 2 et k 2 . Montrer que |J| = |K| = 4 et |J ∩ K| = 2 .
b) Montrer que le centre Z(G) est égal à {1, −1} où 1 désigne la matrice unité.
c) Calculer kjk −1 et jkj −1 . Montrer que
G = {j p k q / 0 ≤ p ≤ 3 et 0 ≤ q ≤ 3} .
On pose i = jk (créant ainsi une confusion avec l’élément i ∈ C).
d) Montrer que i2 = j 2 = k 2 = −1 et ij = −ji = k, jk = −kj = i et ki = −ik = j . En
déduire que G = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} et que |G| = 8 . Ce groupe s’appelle le groupe
des quaternions et se note H8 .
e) Montrer que H8 n’est pas isomorphe à D8 .
Exercice 7. Soit G un groupe d’ordre 8 .
a) Montrer que si G contient un élément d’ordre 8 alors G est abélien.
Montrer que si tous les éléments de G sont d’ordre 2 alors G est abélien.
On suppose maintenant que G n’est pas abélien.
b) Supposons que a est un élément de G d’ordre 4 ; montrer que le sous groupe H
engendré par a est distingué.
c) Montrer que le centre Z(G) est d’ordre 2 ; on notera z l’élément de Z(G) différent de
l’élément neutre.
d) On suppose z 6∈ H . Montrer que G = Z(G) H . En déduire une contradiction.
e) Montrer que z = a2 et que Z(G) ⊂ H .
f ) Supposons qu’il existe un élément t 6∈ H d’ordre 2 . Montrer que tat = a3 . En déduire
que G est isomorphe à D8 .
g) Supposons que G n’est pas isomorphe à D8 .
(i) Soit x un élément de G n’appartenant pas à H . Montrer que x2 ∈ H . En déduire
que x2 = a2 et xax−1 = a3 .
(ii) Montrer que G est isomorphe à H8 .
Exercice 8. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G . On fait opérer G par
translations l’ensemble sur l’ensemble G/H des classes à gauche, en posant g.(xH) =
(gx).H pour tout g ∈ G et x ∈ G .
a) Montrer que Stab(xH) = xHx−1 .
b) On note HG l’intersection des conjugués de H . Montrer que HG est un sous-groupe
de H et que HG est un sous-groupe distingué de G .
c) Montrer que l’opération précédente définit un homomorphisme injectif du groupe
G/HG dans le groupe des permutations de l’ensemble G/H .
d) On suppose que H est d’indice fini dans G . Montrer qu’il existe un sous-groupe H 0
de H, distingué dans G et d’indice fini.
Exercice 9. Soit G un groupe fini et soit p le plus petit diviseur premier de |G| . On
suppose qu’il existe un sous-groupe H de G d’indice p et on note HG l’intersection des
conjugués de H .
a) Montrer que G : HG = p H : HG .
b) Supposons H 6= HG . Montrer que H : HG divise (p − 1)! .
c) Montrer que H est distingué dans G .
Exercice 10. Soit K un corps commutatif et E un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit X l’ensemble des droites vectorielles de E . On fait opérer le groupe GL(E) sur X en
posant, pour tout g ∈ GL(E) et x ∈ X, g.x = g(x) . Soit Z le centre du groupe GL(E) .
a) Montrer que cette opération définit un homomorphisme injectif de GL(E)/Z dans le
groupe des permutations de X .
b) Soit p un nombre premier. On suppose K = Z/pZ et Dim E = 2 . Montrer que
Card X = p + 1 . En déduire qu’il existe un homomorphisme injectif de GL(E)/Z dans
Sp+1 .
c) Supposons maintenant p = 3 . Calculer l’ordre des groupes GL(E) et Z . En déduire
que le groupe GL 2, Z/3Z /Z est isomorphe à S4 .
Exercice 11. Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G tel que H 6= G . On
suppose que |G| ne divise pas G : H ! .
a) Soit ρ : G → S(G:H) l’homomorphisme défini en faisant opérer G par translations sur
l’ensemble G/H . Montrer que ρ n’est pas injectif.
b) En déduire qu’il existe un sous-groupe de H différent de {1} et distingué dans G .
Exercice 12. Soit G un groupe. Pour tout x ∈ G, on définit le centralisateur de x par
CG (x) = {g ∈ G / gx = xg} .
Faisons opérer G sur lui-même par conjugaison, c’est-à-dire posons, pour g ∈ G et x ∈ G :
g.x = gxg −1 .
a) Montrer que, pour tout x ∈ G, on a Stab(x) = CG (x) .
On suppose maintenant que G est fini.
b) Soit x ∈ G . Montrer que le nombre de conjugués de x est égal à G : CG (x) . Soit y
−1
un conjugué de x . Montrer que Card{g ∈ G / gxg
\ = y} = |CG (x)| .
c) Montrer que le centre Z(G) de G est égal à
CG (x) .
x∈G
Exercice 13. Soit G un groupe fini et soit K le nombre de classes de conjugaison de G .
a) Soient x1 , . . . , xK des éléments de G appartenant chacun à une seule classe de
K
X
conjugaison. Montrer que |G| =
G : CG (xi ) .
i=1
b) En déduire qu’il existe des entiers ni tels que |G| = n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nK et 1 =
K
X
1
.
n
i
i=1
c) Montrer que si K = 2 alors G est isomorphe à Z/2Z .
d) On suppose K = 3 . Montrer que |G| = 3 ou 6 . En déduire que G est isomorphe à S3
ou à Z/3Z .
Exercice 14. Soit G un groupe et H un sous-groupe. On définit le centralisateur de H
par
CG (H) = {g ∈ G / ∀h ∈ H , gh = hg} .
\
a) Montrer que CG (H) =
CG (h) et que CG (H) est un sous-groupe de G .
h∈H
b) Montrer que CG (H) = G si et seulement si H est contenu dans le centre de G .
Exercice 15. Soit G un groupe et H un sous-groupe. On définit le normalisateur de H
par
NG (H) = {g ∈ G / gHg −1 = H} .
a) Montrer que NG (H) est un sous-groupe de G et que CG (H) est un sous-groupe
distingué de NG (H) .
b) Montrer que NG (H) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est distingué.
c) Montrer que le nombre de sous-groupes conjugués de H est égal à l’indice
G : NG (H) .
d) Montrer que NG (H) opère sur H par conjugaison et que cette opération définit un
homomorphisme injectif de NG (H) /CG (H) dans Aut H .
Exercice 16. Soit G un groupe fini et soit p le plus petit diviseur premier de |G| .
Supposons que K est un sous-groupe distingué de G tel que |K| = p .
a) Montrer que le groupe Aut (Z/pZ) est d’ordre p − 1 .
b) Montrer que NG (K) = G et que |G/CG (K)| divise p − 1 .
c) En déduire que K est contenu dans le centre de G .
Exercice 17. Soit G un groupe fini. On fait opérer le groupe Z/2Z sur G en posant
1.g = g −1 pour tout g ∈ G . Montrer que si |G| est pair, G contient au moins un élément
d’ordre 2 .
Exercice 18. Soit G un groupe d’ordre 2k où k est un entier impair. On fait opérer G
sur lui-même par translations en posant, pour g ∈ G et x ∈ G, g.x = gx .
a) Montrer que cette opération définit un homomorphisme injectif ρ : G ,→ S2k .
Posons H = ρ−1 A2k et notons ε : S2k → {1, −1} la signature.
b) Montrer que H est distingué dans G et que ε ◦ ρ définit un homomorphisme injectif
ρ : G/H → {1, −1} .
c) Soit a un élément d’ordre 2 appartenant à G . Montrer que ρ(a) est un produit de k
transpositions. En déduire que ρ est un isomorphisme.
d) Montrer que G contient un sous-groupe d’indice 2, et donc un sous-groupe distingué
propre.
Exercice 19. Soit p un nombre premier et soit G un groupe d’ordre pn , n ≥ 1 . Soit H
un sous-groupe distingué de G tel que H 6= {1} .
a) On fait opérer G sur H par automorphismes intérieurs. Soit h ∈ H et ω(h) l’orbite
de h . Montrer que Card ω(h) = 1 si et seulement si h appartient au centre de G .
b) En déduire que H ∩ Z(G) a au moins p éléments.
Exercice 20. Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G . Soit X l’ensemble
des conjugués xHx−1 de H, x ∈ G .
On fait opérer H sur X en posant, pour h ∈ H et xHx−1 ∈ X
h. xHx−1 = (hx)H(hx)−1 .
a) Soit x ∈ G . Montrer que Stab xHx−1 = xNG (H)x−1 ∩ H .
En déduire que Stab xHx−1 = H si et seulement si NG (H) ⊂ x−1 Hx .
b) On suppose que NG (H) = H . Montrer que l’élément H ∈ X est le seul point fixe de
l’opération.
c) Supposons maintenant que |G| = mpr , où p est un nombre premier et m un entier
premier à p, et que |H| = pα avec 1 ≤ α < r .
(i) Montrer que Card(X) = G : NG (H) .
(ii) Montrer que si NG (H) = H alors Card(X) = mpr−α .
(iii) En déduire que H est strictement contenu dans NG (H) .
d) Supposons que |G| = pr et |H| = pr−1 où p est premier et r ≥ 1 . Montrer que H est
distingué dans G .
Exercice 21. Soit n un entier au moins égal à 3 . Soit x ∈ An , soit XS la classe de
conjugaison de x dans Sn et soit XA la classe de conjugaison de x dans An . Soit
τ = (1 2) .
a) Soit σ ∈ Sn . Montrer que σ x σ −1 est conjugué dans An soit de x soit de τ x τ −1 .
b) En déduire que l’on a XS = XA ou bien Card(XS) = 2 Card(XA) .
Exercice 22. Le but de cet exercice est de montrer que le groupe alterné A5 est un
groupe simple, c’est-à-dire n’a pas de sous-groupe distingué propre.
a) Montrer que si n ≥ 5, tous les 3-cyles sont conjugués dans An . Soit σ un 3-cycle de
A5 . Montrer que la classe de conjugaison de σ posséde 20 éléments.
b) Soit σ une double transposition. Montrer que σ a 15 conjugués dans S5 . En déduire
que la classe de conjugaison de σ dans A5 posséde 15 éléments.
c) Soit σ un 5-cycle. Montrer que σ a 24 conjugués dans S5 . En déduire que CS5 (σ) =
{1, σ, σ 2 , σ 3 , σ 4 } et que CA5 (σ) = CS5 (σ) . Montrer que σ a 12 conjugués dans A5 .
d) Soit H un sous-groupe propre de A5 . Montrer que H n’est pas réunion de classes de
conjugaison de A5 . En déduire que A5 est simple.
Exercice 23. Soit n un entier au moins égal à 6 . Le but de cet exercice est de montrer
que le groupe alterné An est simple. On raisonne par récurrence sur n en utilisant le
résultat de l’exercice précédent.
Soit f : Sn−1 ,→ Sn l’injection canonique et soit H un sous-groupe distingué de An tel
que H 6= {1} .
a) Montrer que f An−1 ⊂ An .
b) Soit σ ∈ H un élément différent de 1 et sans point fixe. Posons a = σ(1) et soit b un
élément de {1, 2, · · · , n} différent de 1, a et σ −1 (1) . Soit τ = (1 b a) et α = τ στ −1 σ −1 .
Montrer que l’on a α ∈ H et α 6= 1 . Montrer que α = (1 b a) (a σ(a) σ(b) .
c) Montrer que H contient un élément β différent de 1 et ayant un point fixe.
d) Montrer qu’il existe dans H un élément σ 6= 1 tel que σ(n) = n (on conjuguera β
par une transposition).
On suppose maintenant que An−1 est simple.
e) Montrer que f −1 (H) 6= {1} . En déduire que f −1 (H) = An−1 et donc que (1 2 3) ∈ H .
En déduire que H = An .
Exercice 24. Un théorème de Camille Jordan (-).
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G tel que H 6= G. On fait opérer G sur
l’ensemble des conjugués de H en posant
g.(xHx−1 ) = (gx)H(gx)−1 pour tous éléments g et x appartenant à G.
Soit X la réunion des conjugués de H.
1. Montrer que le nombre d’éléments de X est inférieur ou égal à
Card H + [G : N (H)] − 1 Card H − 1 ,
où N (H) désigne le normalisateur de H.
2. En déduire que l’ensemble X n’est pas égal à l’ensemble G (on distinguera le cas où
H est un sous-groupe distingué).
3. Montrer qu’il existe un élément g ∈ G tel que, pour tout x ∈ G, on ait gxH 6= xH.
4. Soit E un ensemble fini possédant au moins deux éléments et sur lequel G opère
transitivement. Montrer qu’il existe un élément g ∈ G tel que l’on ait g.x 6= x quel que
soit x ∈ E.
quelques exercices sur le groupe linéaire
Exercice 1 (d’après J.F. Mestre)
a
c
On note G le sous-groupe de GL2 (R) égal à
0 1
1 1
1
Posons S =
,T =
et I =
−1 0
0 1
0
b
| a, b, c, d ∈ Z , ad − bc = 1 .
d
0
.
1
Le but du problème est de montrer que G est engendré par S et T .
Soit H le sous-groupe de G engendré par S et T .
Soient P = {z ∈ C | Im z > 0} et D = {z ∈ P | | Re z| ≤ 1/2 et |z| ≥ 1}.
a b
Pour tout élément M =
appartenant à G et pour tout élément z ∈ P , notons
c d
az + b
et h(M, z) = |cz + d|.
M.z =
cz + d
√
1. Montrer que si z ∈ D, alors Im z ≥ 3/2.
2. Soient M ∈ G et z ∈ P .
Im z
·
h(M, z)2
b) En déduire que M.z ∈ P et que l’application (M, z) 7→ M.z définit une opération de
G sur P .
a) Montrer que Im(M.z) =
3. Soit z = x + iy un élément de P .
a) Soit A un nombre réel strictement positif. Montrer que si c et d sont des nombres
réels tels que |cz + d| ≤ A, alors on a |c| ≤ A/y et |d| ≤ A(1 + |x|/y).
b) En déduire que l’ensemble {h(M, z) | M ∈ H} a un plus petit élément. Soit M0 un
élément de H tel que h(M0 , z) ≤ h(M, z) quel que soit M ∈ H et soit z0 = M0 .z .
c) Montrer qu’il existe n ∈ Z tel que | Re(T n .z0 )| ≤ 1/2. Montrer qu’alors T n .z0 ∈ D
(on prouvera d’abord que Im S.(T n .z0 ) ≤ Im(T n .z0 ) ).
d) En déduire qu’il existe un élément g ∈ H tel que g.z ∈ D.
4. Soit z = 2i.
a b
a) Soit g =
un élément de G tel que g.z ∈ D. Montrer que l’on a g = ±I.
c d
√
(On remarquera que Im g.z ≥ 3/2 et on en déduira que c = 0 et d = ±1. Puis, on
utilisera l’inégalité | Re(g.z)| ≤ 1/2.)
b) Soit g ∈ G. Montrer qu’il existe g 0 ∈ H tel que g 0 .(g.z) ∈ D. En déduire que g ∈ H.
c) Montrer que l’on a G = H.
Exercice 2. Soit k un corps commutatif. On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de k 3 et
A l’ensemble k 3 \ {0}.
1. Montrer que l’on définit une opération transitive de GL(k 3 ) sur A en posant f.x = f (x)
quel que soient f ∈ GL(k 3 ) et x ∈ A.
2. Notons H le stabilisateur de e1 . Quelle est la forme des matrices des éléments de H
dans la base (e1 , e2 , e3 ) ?
3. Notons P le sous-espace vectoriel de k 3 engendré par e2 et e3 et notons D la droite
engendrée par e1 .
a) Soit K = {f ∈ H | f (P ) ⊂ P }. Montrer que K est un sous-groupe de H et décrire
la forme des matrices des éléments de K dans la base (e1 , e2 , e3 ). Montrer que K est
isomorphe à GL2 (k).
b) Soit N = {f ∈ H | (f − Id)(P ) ⊂ D}. Montrer que N est un sous-groupe de H et
décrire la forme des matrices des éléments de N dans la base (e1 , e2 , e3 ). Montrer
que le groupe N est isomorphe au groupe additif k 2 .
c) Montrer que N est un sous-groupe distingué de H.
d) Montrer que H est le produit semi-direct de K par N .
Exercice 3. Soit E un k-espace vectoriel de dimension n, où n ≥ 1. Pour tout entier i
tel que 0 ≤ i ≤ n, on note Gri (E) (resp. Gr(E) ) l’ensemble des sous-espaces vectoriels
de E de dimension i (resp. l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E). En particulier,
Gr1 (E) est l’ensemble des droites de E, c’est-à-dire l’espace projectif de E.
Soit (e1 , . . . , en ) une base de E et pour tout 1 ≤ i ≤ n, soit Fi le sous-espace vectoriel de
E engendré par e1 , . . . , ei .
Posons G = {f ∈ GL(E) | f (Fi ) = Fi pour tout i}.
1. Montrer que G est un sous-groupe de GL(E).
Pour tout f ∈ G et pour tout d ∈ Gr1 (E), on pose f.d = f (d).
2. Montrer que l’on définit ainsi une opération de G sur Gr1 (E). Cette opération est-elle
transitive ? A-t-elle des points fixes ?
Pn
Si u = i=1 ui ei est un vecteur non nul de E, on note m(u) le plus grand entier i tel
que ui 6= 0.
3. Soient d ∈ Gr1 (E) et u un vecteur directeur de d. Montrer que l’orbite de d est
l’ensemble des droites engendrées par un vecteur w tel que m(w) = m(v).
4. En déduire que le nombre d’orbites de Gr1 (E) sous l’action de G est égal à n.
5. Montrer que le nombre d’orbites de Gri (E) sous l’action de G est égal à Cni . En déduire
que le nombre d’orbites de Gr(E) sous l’action de G est égal à 2n .
6. Soit u l’endomorphisme de E tel que u(e1 ) = 0 et u(ei ) = ei−1 si 2 ≤ i ≤ n. Posons
f = IdE +u. Soit p un entier tel que 1 ≤ p ≤ n et soit F ∈ Grp (E) tel que f (F ) = F .
a) Montrer que f ∈ G et calculer le polynôme caractéristique de f .
b) Calculer le polynôme caractéristique de l’endomorphisme f|F : F → F . En déduire
que l’on a (f|F − IdF )p = 0.
c) Montrer que l’on a F = Fp . En déduire que Gr(E) a n + 1 points fixes sous l’action
de G.
Exercice 4. Soit E un k-espace vectoriel de dimension n, où n ≥ 1. Soit
X = {(d1 , . . . , dn ) | dim di = 1 et d1 ⊕ · · · ⊕ dn = E}
1. Montrer que GL(E) opère transitivement sur X si l’on pose
f.(d1 , . . . , dn ) = f (d1 ), . . . , f (dn ) .
Soit x ∈ X. On note Sx le stabilisateur de x, Nx le normalisateur de Sx dans GL(E) et
Fx l’ensemble des éléments de X qui sont fixes par l’action de Sx .
2. Montrer que le groupe symétrique Sn opère sur X par σ.(d1 , . . . , dn ) = (dσ(1) , . . . , dσ(n) ).
3. Montrer que l’ensemble Fx est égal à l’orbite de x sous l’action de Sn .
4. Montrer que l’on a Nx = {f ∈ GL(E) | f (Fx ) = Fx }.
5. On se donne une base (e1 , . . . , en ) de E et l’on suppose maintenant
x = < e1 >, . . . , < en > , où < ei > désigne la droite engendrée par ei .
a) Montrer que l’application f 7→ mat(f ), où mat(f ) désigne la matrice de f dans la
base (e1 , . . . , en ), est un isomorphisme de Sx sur l’ensemble des matrices diagonales
inversibles de GLn (k).
b) Soit ϕ : Sn → GL(E) l’application définie par ϕ(σ)(ei ) = eσ(i) . Montrer que ϕ est
un morphisme de groupes injectif. On pose P = ϕ(Sn ).
c) Montrer que P est un sous-groupe de Nx . Montrer que Nx est le produit semi-direct
de P par Sx . En déduire que le groupe quotient Nx /Sx est isomorphe à Sn .
Exercice 5. Notons E l’espace vectoriel dual de K n (i.e. l’ensemble des applications
linéaires K n → K). On fait opérer à droite le groupe GLn (K) sur E en posant
ϕ . g = ϕ ◦ g pour tout ϕ ∈ E et pour tout g ∈ GLn (K).
1. Vérifier que l’on définit ainsi une opération de GLn (K) sur l’ensemble E.
2. Soit ϕ : K n → K une forme linéaire non nulle. Au moyen de la matrice canonique de
ϕ, déterminer un élément g ∈ GLn (K) tel que l’on ait (ϕ ◦ g)(x1 , . . . , xn ) = x1 , quelque
soit (x1 , . . . , xn ) ∈ K n .
3. Combien y-a-t-il d’orbites pour cette opération de GLn (K) sur E ?
Exercice 6. Soit SLn (k) le groupe des matrices n, n à coefficients dans
le corpsk et
In−1 0
de déterminant 1. Notons K l’ensemble des matrices n, n de la forme
, où
0
λ
λ ∈ k∗ .
1. Soit M ∈ GLn (k). Montrer qu’il existe une matrice d ∈ K telle que M d ∈ SLn (k).
2. Montrer que K est un sous-groupe de GLn (k) et que GLn (k) est isomorphe au produit
semi-direct de K par SLn (k).
Exercice 7. Soient k un corps et n un entier au moins égal à 2. Si i et j sont des entiers
tels que i 6= j et 1 ≤ i, j ≤ n et si λ ∈ k, on note Ti,j (λ) la matrice n, n dont tous les
coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux, qui valent tous 1, et le coefficient
placé en position i, j, qui vaut λ.
1. Montrer que Ti,j (λ) ∈ SLn (k) et calculer (Ti,j (λ))
−1
.
Le but de l’exercice est de montrer que le groupe SLn (k) est engendré par les matrices
Ti,j (λ). Notons G le sous-groupe de SLn (k) engendré par les matrices Ti,j (λ).
Si M, M 0 ∈ SLn (k), on pose M 0 ≡ M s’il existe P ∈ G tel que M 0 = P M .
2. Soit M = (mij ) un élément de SLn (k). Montrer qu’il existe une matrice M 0 ∈ SLn (k)


1 ∗ ··· ∗
0

de la forme  ..
, où N ∈ SLn−1 (k), et telle que M 0 ≡ M (on commencera
.
N
0
par le cas où il existe un indice i ≥ 2 tel que mi,1 6= 0, puis on se ramènera à ce cas-là).
3. Montrer que le groupe SLn (k) est engendré par les matrices Ti,j (λ) (raisonner par
récurrence).
Exercice 8. Soit n ≥ 2 un entier. Posons O(n) = {M ∈ GLn (R) | t M M = In }.
Rappelons que O(n) est un sous-groupe de GLn (R), appelé groupe orthogonal. Dans cet
exercice, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire euclidien usuel et de la norme
euclidienne k k.
1. Soit p un entier tel que 1 ≤ p < n. Montrer que les applications O(p) → O(n) définies
respectivement par
M
0
In−p 0
M 7→
et M →
7
0 In−p
0
M
sont des morphismes de groupes injectifs. Nous noterons O(p) × 1 l’image du premier et
1 × O(p) l’image du second. Montrer que O(p) × 1 1 × O(n − p) est un sous-groupe
de O(n) isomorphe au produit direct O(p) × O(n − p).
2. On fait opérer O(n) sur Rn en posant M.X = M X pour tout M ∈ O(n) et pour tout
X ∈ Rn . Soit X ∈ Rn . Quelle est l’orbite de X ?
3. Montrer que O(n) opère transitivement sur la sphère S n−1 = {X ∈ Rn | kXk = 1}.
4. Soit le vecteur e1 = (1, 0, . . . , 0). Montrer que l’application O(n) → S n−1 définie par
M 7→ M e1 se factorise en une bijection O(n)/1 × O(n − 1) → S n−1 .
Soit p un entier tel que 1 ≤ p ≤ n.
5. On note Vp,n l’ensemble des p-uplets (x1 , . . . , xp ) formé de vecteurs de Rn unitaires et
deux à deux orthogonaux.
a) Montrer que O(n) opère transitivement sur Vp,n par M.(x1 , . . . , xp ) = (M x1 , . . . , M xp ).
b) En déduire une bijection O(n)/1 × O(n − p) → Vp,n .
6. On note Gp,n l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension p de Rn .
a) Montrer que O(n) opère transitivement sur Gp,n en posant pour tout F ∈ Gp,n et
pour tout M ∈ O(n), M.F = {M X | X ∈ F }.
b) En déduire une bijection O(n)/ O(p) × 1 1 × O(n − p) → Gp,n .
rappels d’algèbre linéaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. On note End(E) l’espace vectoriel des
endomorphismes de E et GL(E) le groupe des automorphismes de E.
1. Faisons opérer à gauche le groupe GL(E) sur End(E) en posant
f.u = f ◦ u pour tout f ∈ GL(E) et pour tout u ∈ End(E).
Soit u ∈ End(E).
a) Soit v un endomorphisme de E appartenant à l’orbite de u. Montrer que l’on a
Ker v = Ker u.
b) Soit v ∈ End(E) tel que Ker u ⊂ Ker v. Montrer qu’il existe une unique application
linéaire g : Im u → Im v telle que g u(x) = v(x) pour tout x ∈ E.
c) Montrer que l’orbite de u est {v ∈ End(E) | Ker v = Ker u}.
2. Soit u ∈ End(E) et soit S un supplémentaire de Ker u. Montrer que l’application
u|S : S → Im u est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
3. Faisons opérer à droite le groupe GL(E) sur End(E) en posant
u.f = u ◦ f
pour tout f ∈ GL(E) et pour tout u ∈ End(E).
Soit u ∈ End(E).
a) Soit v un endomorphisme de E appartenant à l’orbite de u. Montrer que l’on a
Im v = Im u.
b) Soit v ∈ End(E) tel que Im v ⊂ Im u. Soit U un supplémentaire de Ker u et soit V un
supplémentaire de Ker v. Montrer qu’il existe une unique application linéaire g : V → U
telle que u g(x) = v(x) quel que soit x ∈ V .
c) Montrer que l’orbite de u est {v ∈ End(E) | Im v = Im u}.
4. Faisons opérer le groupe produit GL(E) × GL(E) sur End(E) en posant
(f, g).u = f ◦ u ◦ g −1
pour tous f, g ∈ GL(E) et pour tout u ∈ End(E).
Soit u ∈ End(E).
a) Soit v un endomorphisme de E appartenant à l’orbite de u. Montrer que l’on a
rg v = rg u.
b) Soit v ∈ End(E) tel que rg v = rg u. Soit U un supplémentaire de Ker u et soit V
un supplémentaire de Ker v. Montrer qu’il existe des isomorphismes α : Im u → Im v et
β : U → V tels que α ◦ u|U = v|V ◦ β.
c) Montrer que l’orbite de u est {v ∈ End(E) | rg v = rg u}.
5. Faisons opérer le groupe GL(E) sur End(E) en posant
f.u = f ◦ u ◦ f −1
pour tout f ∈ GL(E) et pour tout u ∈ End(E).
Soit u ∈ End(E).
a) Montrer qu’un endomorphisme v ∈ End(E) appartient à l’orbite de u si et seulement
s’il existe des bases B1 et B2 de E telles que la matrice de u dans B1 est égale à la
matrice de v dans B2 .
Supposons que u possède n valeurs propres distinctes.
b) Montrer que si v appartient à l’orbite de u, alors v est diagonalisable et les sous-espaces
propres de v sont de dimension 1.
c) Montrer que l’orbite de u est en bijection avec l’ensemble des n-uplets (d1 , . . . , dn ),
où les di sont des droites vectorielles de E telles que d1 ⊕ · · · ⊕ dn = E.
d) Montrer que le stabilisateur de u est isomorphe au groupe multiplicatif (K ∗ )n .
rappels d’algèbre linéaire : solution abrégée
1. a) Posons v = f ◦ u, où f ∈ GL(E). Puisque f est bijective, on a pour tout x ∈ E les
équivalences v(x) = 0 ⇔ f u(x) = 0 ⇔ u(x) = 0, d’où Ker v = Ker u.
b) Soit y ∈ Im u. Il existe donc x ∈ E tel que y = u(x). Pour tout (autre) élément
x ∈ E tel que y = u(x0 ), on a u(x − x0 ) = u(x) − u(x0 ) = 0 donc x − x0 ∈ Ker u. Puisque
Ker u ⊂ Ker v, on en déduit v(x − x0 ) = 0 donc v(x) = v(x0 ). On peut donc définir une
application g : Im u → E en posant g(y) = v(x) si y = u(x). On vérifie facilement que
g est linéaire. Pour tout y ∈ Im u, on a g(y) ∈ Im v, donc l’application g définit une
application linéaire de Im u dans Im v que nous notons encore g. Si h : Im u → Im v est
une (autre) application telle que h◦u = v, alors on a h u(x) = g u(x) pour tout x ∈ E,
donc h(y) = g(y) pour tout y ∈ Im u, donc h = g.
0
c) Si v appartient à l’orbite de u, alors d’après a), on a Ker v = Ker u. Réciproquement,
soit v ∈ End E tel que Ker v = Ker u. D’après b), il existe une application linéaire
g : Im u → Im v telle que g u(x) = v(x) pour tout x ∈ E. Si y ∈ Ker g, alors il
existe x ∈ E tel que y = u(x) et 0 = g(y) = g u(x) = v(x) donc x ∈ Ker v, donc
x ∈ Ker u, donc y = 0. Ainsi g est injective. Puisqu’on a dim Im u = dim E − dim Ker u =
dim E − dim Ker v = dim Im v, l’application g est un isomorphisme. Soient F un
supplémentaire de Im u et G un supplémentaire de Im v. Les sous-espaces vectoriels
F et G ayant même dimension, il existe un isomorphisme h : F → G. Définissons
l’endomorphisme f : E → E en posant f (x + y) = g(x) + h(y) si x ∈ Im u et y ∈ F .
Alors f est un isomorphisme. De plus, pour tout x ∈ E, on a f u(x) = g u(x) car
u(x) ∈ Im u, et par suite f u(x) = v(x). Ainsi f ∈ GL(E) et f ◦u = v, donc v appartient
à l’orbite de u.
2. Dans cet exercice, inutile de supposer E de dimension finie. Soit x ∈ S tel que u(x) = 0.
On a x ∈ Ker u et x ∈ S, donc x = 0. Cela montre que l’application linéaire u|S est
injective. Soit y ∈ Im u. Il existe x ∈ E tel que y = u(x). Posons x = a + b, où a ∈ S et
b ∈ Ker u. Il vient y = u(a + b) = u(a) + u(b) = u(a) + 0 = u(a), c’est-à-dire y = u|S (a).
Cela montre que u|S est surjective.
3. a) Posons v = u ◦ f , où f ∈ GL(E). On a f (E) = E, donc v(E) = u f (E) = u(E),
c’est-à-dire Im v = Im u.
b) D’après l’exercice 2, on a les isomorphismes v|V : V → Im v et u|U : U → Im u.
Notons ι : Im v ,→ Im u l’inclusion (c’est évidemment une application linéaire) et
considérons la composée g = (u|U )−1 ◦ ι ◦ (v|V ) : V → Im v → Im u → U . Soit x ∈ V .
Puisque g(x) ∈ U , on a u g(x) = u|U g(x) = ι ◦ v|V (x) = v(x). Supposons que
h : V → U est une (autre) application linéaire telle que u h(x) = v(x) pour tout
x ∈ V . Alors pour tout x ∈ V , on a u h(x) − g(x) = u h(x) − u g(x) = 0 donc
h(x) − g(x) ∈ Ker u. Or h(x) − g(x) appartient au sous-espace vectoriel U , donc on a
h(x) − g(x) = 0, c’est-à-dire h(x) = g(x). Cela montre que l’on a h = g.
c) Si v appartient à l’orbite de u, alors d’après a), on a Im v = Im u. Réciproquement,
soit v ∈ End E tel que Im v = Im u. D’après b), il existe une application linéaire
g : V → U telle que u g(x) = v(x) pour tout x ∈ V . Si x ∈ Ker g, alors on a v(x) =
u g(x) = u(0) = 0, donc x ∈ Ker v et x ∈ V , donc x = 0. Ainsi l’application linéaire g
est injective. Puisque les sous-espaces Im u et Im v sont égaux, ils ont même dimension,
donc aussi dim Ker u = dim Ker v et par suite dim U = dim V . On en déduit que g est
un isomorphisme. Choisissons un isomorphisme h : Ker v → Ker u, ce qui est possible
puisque ces espaces ont même dimension et notons f : E → E l’application linéaire définie
en posant f (x + y) = g(x) + h(y) si x ∈ V et y ∈ Ker v. Alors f est un isomorphisme.
Pour tous vecteurs x ∈ V et y ∈ Ker v, on a u f (x + y) = u g(x) + u h(y) = u g(x)
car h(y) ∈ Ker u, donc u f (x + y) = v(x). Or v(x) = v(x + y) car v(y) = 0, d’où
u f (x + y) = v(x + y). Ainsi l’on a l’égalité u ◦ f = v et comme f est un isomorphisme,
v est dans l’orbite de u.
4. a) Posons v = f ◦u◦g −1 , où f, g ∈ GL(E). D’après l’exercice 1, on a Ker(f ◦u) = Ker u
donc dim Im(f ◦ u) = dim Im u. D’après l’exercice 3, on a Im (f ◦ u) ◦ g −1 = Im(f ◦ u)
c’est-à-dire Im v = Im(f ◦ u). Il s’ensuit que les sous-espaces Im v et Im u ont même
dimension, autrement dit u et v ont même rang.
b) Puisque rg u = rg v, les sous-espaces Im u et Im v ont même dimension, donc il
existe un isomorphisme α : Im u → Im v. Rappelons (exercice 2) que les applications
u et v définissent des isomorphismes u|U : U → Im u et v|V : V → Im v. Posons
β = (v|V )−1 ◦ α ◦ (u|U ) : U → Im u → Im v → V . On a alors α ◦ (u|U ) = (v|V ) ◦ β
et β est un composé d’isomorphismes, donc est un isomorphisme.
u|U
U



β
y
−−−−−→
V
−−−−−→
v|V
Im u



α
y
Im v
c) Si v est dans l’orbite de u, alors d’après a), u et v ont même rang. Réciproquement,
soit v ∈ End(E) tel que rg v = rg u. Soit A un supplémentaire de Im u et B un
supplémentaire de Im v. On a dim A = dim E − dim Im u = dim E − dim Im v = dim B
donc il existe un isomorphisme α1 : A → B. De même, Ker u et A ayant même dimension,
il existe un isomorphisme u1 : Ker u → A. Enfin, il existe un isomorphisme v1 : Ker v → B
car ces espaces ont même dimension. Posons β1 = (v1 )−1 ◦ α1 ◦ u1 : Ker u → Ker v.
L’application β1 est aussi un isomorphisme.
Soit f : E → E l’application linéaire définie par f (x + y) = α(x) + α1 (y) si x ∈ Im u
et y ∈ A et soit g : E → E l’application linéaire définie par g(x + y) = β(x) + β1 (y) si
x ∈ U et y ∈ Ker u (les isomorphismes α et β sont définis en b) ).
u
1
A
Ker
 u −−−−−→ 




α1 
β1 
y
y
Ker v
v
1
−−−−
−→
B
u|U ⊕u1
U ⊕ Ker u −−−−−→ Im u ⊕ A






f =α⊕α1 
g=β⊕β1 
y
y
V ⊕ Ker v
v|V ⊕v1
−−−−−→
Im v ⊕ B
Puisque α et α1 sont des isomorphismes, f est un isomorphisme de E dans E, et de
même g est un isomorphisme de E dans E. Soit x ∈ E. Posons x = a + b, où a ∈ U et
b ∈ Ker u. Il vient
(f ◦ u)(x) = α ◦ (u|U ) (a) + (α1 ◦ u1 )(b)
= (v|V ) ◦ β (u) + (v1 ◦ β1 )(b) = (v ◦ g)(x) .
On a donc f ◦ u = v ◦ g, d’où v = f ◦ u ◦ g −1 et v est dans l’orbite de u.
Pour tout entier r ∈ {0, . . . , dim E}, il existe des endomorphismes de rang r : on en
déduit que pour l’opération que l’on vient d’étudier, il y a 1 + dim E orbites.
Traduction matricielle : Ce résultat signifie que des matrices A et B de Mn (K) ont
même rang si et seulement s’il existe des matrices P, Q ∈ GLn (K) telles que P AQ = B.
En particulier, une matrice A ∈ M
n (K) est
de rang r ≥ 1 si et seulement s’il existe
Ir 0
P, Q ∈ GLn (K) telles que P AQ =
.
0 0
5. a) Soit v ∈ End(E). Supposons que B1 et B2 sont des bases de E telles que
matB1 (u) = matB2 (v). Soit P la matrice de passage de la base B2 à la base B1 , de
sorte que l’on a matB1 (v) = P −1 matB2 (v)P . Il vient matB1 (v) = P −1 matB1 (u)P .
Soit f l’endomorphisme de E tel que matB1 (f ) = P −1 . L’endomorphisme f est un
isomorphisme car sa matrice dans une base est inversible. On a
matB1 (v) = matB1 (f ) matB1 (u) matB1 (f −1 ) = matB1 (f ◦ u ◦ f −1 ) .
Les endomorphismes v et f ◦ u ◦ f −1 avant même matrice dans B1 , ils sont égaux.
Donc v est dans l’orbite de u. Réciproquement, supposons que v = f ◦ u ◦ f −1 , où
f ∈ GL(E). Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Puisque f est un isomorphisme, les
vecteurs e01 = f (e1 ), . . . , e0n = f (en ) forment une base B 0 de E. Posons (uij ) = matB (u),
Pn
autrement dit pour tout j, on a u(ej ) = i=1 uij ei , où n = dim E. Puisque v ◦ f = f ◦ u,
il vient
n
n
X
X
0
v(ej ) = v f (ej ) = f u(ej ) =
uij f (ei ) =
uij e0i
i=1
i=1
donc la matrice de v dans la base B 0 est (uij ). On a donc matB (u) = matB0 (v).
b) Notons λ1 , . . . , λn les n valeurs propres de u et e1 , . . . , en des vecteurs propres
correspondants. Supposons que v = f ◦ u ◦ f −1 , où f ∈ GL(E). Puisque (e1 , . . . , en ) est
par hypothèse une base de E, les vecteurs e01 = f (e1 ), . . . , e0n = f (en ) forment une base
de E et l’on a
v(e0i ) = (f ◦ u) f −1 (e0i ) = (f ◦ u)(ei ) = f u(ei ) = f (λi ei ) = λi f (ei ) = λi e0i .
Donc les vecteurs e01 , . . . , e0n sont propres pour v, avec λ1 , . . . , λn comme valeurs propres
correspondantes. Ainsi les n scalaires λ1 , . . . , λn sont valeurs propres de v. Par suite, v
est diagonalisable et les sous-espaces propres pour v sont de dimension 1.
c) Soit X l’ensemble des n-uplets (d1 , . . . , dn ) de droites telles que d1 ⊕ · · · ⊕ dn = E.
Soit v appartenant à l’orbite de u, disons v = f ◦ u ◦ f −1 , où f ∈ GL(E). D’après b), le
sous-espace propre de v associé à la valeur propre λi est une droite di et E est la somme
directe des di ; on a donc (d1 , . . . , dn ) ∈ X. Notons orb(u) l’orbite de u et considérons
l’application ϕ : orb(u) → X qui à v ∈ orb(u) associe le n-uplet (d1 , . . . , dn ).
Montrons que ϕ est injective. Soient v, w ∈ orb(u) tels que ϕ(v) = (d1 , . . . , dn ) = ϕ(w).
Choisissons un vecteur directeur εi de di . On a v(εi ) = λi εi et w(εi ) = λi εi donc
v(εi ) = w(εi ). Puisque (ε1 , . . . , εn ) est une base de E, il s’ensuit v = w.
Montrons que ϕ est surjective. Soit (d1 , . . . , dn ) ∈ X. Choisissons un vecteur directeur
εi de di et considérons l’endomorphisme f de E tel que f (ei ) = εi pour tout i. Puisque
(ε1 , . . . , εn ) est une base de E, f est un automorphisme de E. Comme on l’a vu en b), di
est le sous-espace propre de f ◦u◦f −1 associé à λi , donc on a ϕ(f ◦u◦f −1 ) = (d1 , . . . , dn ).
d) Soit H le stabilisateur de u, c’est-à-dire le sous-groupe
H = {f ∈ GL(E) | f ◦ u ◦ f −1 = u} .
Soit f ∈ H. Puisque u ◦ f = f ◦ u, il vient
u f (ei ) = f u(ei ) = f (λi ei ) = λi f (ei )
donc le vecteur f (ei ) est propre pour u avec valeur propre λi . Puisque le sous-espace
propre pour u pour la valeur propre λi est la droite engendrée par ei , le vecteur f (ei )
est colinéaire à ei . Pour tout i, il existe donc un unique scalaire µi tel que f (ei ) = µi ei .
Remarquons que µi n’est pas nul, car f (ei ) 6= 0. Soit α : H → (K ∗ )n l’application définie
par α(f ) = (µ1 , . . . , µn ).
Montrons que α est injective. Si f, g ∈ H vérifient α(f ) = α(g), alors pour tout i, on a
f (ei ) = µi ei et g(ei ) = µi ei , donc f (ei ) = g(ei ). Il s’ensuit f = g car (e1 , . . . , en ) est une
base de E.
Montrons que α est surjective. Soit (µ1 , . . . , µn ) ∈ (K ∗ )n . Considérons l’endomorphisme
f : E → E tel que f (ei ) = µi ei pour tout i. Puisque µi 6= 0 quel que soit i, f est un
automorphisme. De plus, on a
(f ◦ u)(ei ) = f (λi ei ) = λi f (ei ) = λi µi ei ,
et
(u ◦ f )(ei ) = u(µi ei ) = µi f (ei ) = µi λi ei .
Il s’ensuit (f ◦u)(ei ) = (u◦f )(ei ) quel que soit i, donc f ◦u = u◦f ou encore u = f ◦u◦f −1 .
On a donc f ∈ H et α(f ) = (µ1 , . . . , µn ).
Montrons que α est un morphisme de groupes. Soient f, f 0 ∈ H. Posons α(f ) =
(µ1 , . . . , µn ) et α(f 0 ) = (µ01 , . . . , µ0n ). On a par définition f (ei ) = µi ei et f 0 (ei ) = µ0i ei
pour tout i, donc (f 0 ◦ f )(ei ) = f 0 (µi ei ) = µi f 0 (ei ) = µi µ0i ei . Cela veut dire que l’on a
α(f 0 ◦ f ) = (µ1 µ01 , . . . , µn µ0n ). Or dans le groupe (K ∗ )n , la multiplication est définie par
(µ01 , . . . , µ0n )(µ1 , . . . , µn ) = (µ01 µ1 , . . . , µ0n µn ). Puisque µi µ0i = µ0i µi , on en déduit l’égalité
α(f 0 ◦ f ) = α(f 0 )α(f ).
1. Soit (d1 , . . . , dn ) ∈ X. Puisque f est un endomorphisme bijectif de E, f (di ) est un
sous-espace vectoriel de dimension 1, c’est-à-dire une droite de E. Soient ai un vecteur
directeur de di . Puisque d1 ⊕ · · · ⊕ dn = E, les vecteurs ai forment une base de E,
donc aussi les vecteurs f (ai ). Or f (ai ) est un vecteur directeur de f (di ), donc on a
f (d1 ) ⊕ · · · ⊕ f (dn ) = E. Ainsi f (d1 ), . . . , f (dn ) est un élément de X. Il est clair que
IdE ·(d1 , . . . , dn ) = (d1 , . . . , dn ) et que si f et g appartiennent à GL(E), alors
(g ◦f )·(d1 , . . . , dn ) = g ◦f (d1 ), . . . , g ◦f (dn ) = g · f (d1 ), . . . , f (dn ) = g ·f ·(d1 , . . . , dn ) .
2. Il est clair que si des droites di vérifient d1 ⊕. . .⊕dn = E, alors pour toute permutation
σ ∈ Sn , on a dσ(1) ⊕ · · · ⊕ dσ(n) = E. Comme le groupe Sn opère sur l’ensemble
{1, 2, . . . , n}, on vérifie immédiatement qu’il opère sur X comme indiqué.
3. Posons x = (d1 , . . . , dn ) et choisissons, pour chaque i, un vecteur directeur ai de di .
Alors (a1 , . . . , an ) est une base de E. Pour tout f ∈ GL(E), on a
(∗)
f ∈ Sx ⇔ ∀i , f (di ) = di ⇔ pour tout i, ai est vecteur propre de f
Soit y = (δ1 , . . . , δn ) un élément de l’orbite de x sous l’action de Sn , autrement dit
y = (dσ(1) , . . . , dσ(n) ), où σ est une permutation. Pour tout f ∈ Sx , on a, d’après (∗),
f (dσ(i) ) = dσ(i) pour tout i, c’est-à-dire f · y = y. Donc y appartient à Fx .
Réciproquement, soit y = (δ1 , . . . , δn ) un élément de Fx . Choisissons des scalaires
λ1 , . . . , λn non nuls et deux à deux différents, et définissons un endomorphisme f de
E en posant f (ai ) = λi ai . Puisque les λi sont tous non nuls, f appartient à GL(E)
et λ1 , . . . , λn sont valeurs propres de f . Puisque les λi sont deux à deux différents, les
sous-espaces propres de f sont de dimension 1, donc ce sont les droites d1 , . . . , dn . On a
f (di ) = di pour tout i, donc f ∈ Sx . Puisque y ∈ Fx , on en déduit que l’on a f · y = y,
c’est-à-dire f (δi ) = δi pour tout i. Ainsi tout vecteur directeur de δi est vecteur propre
de f , donc δi est contenu dans l’une des droites d1 , . . . , dn ; par suite δi est égale à l’une,
et à une seule, des droites d1 , . . . , dn . On définit donc une permutation σ ∈ Sn en posant
δi = dσ(i) . Il vient y = (dσ(1) , . . . , dσ(n) ) donc y est dans l’orbite de x sous l’action de
Sn .
4. Soient f ∈ Nx et y ∈ Fx . D’après 3, on a y = (dσ(1) , . . . , dσ(n) ), où σ ∈ Sn . Pour tout
g ∈ Sx , l’endomorphisme u = f ◦g ◦f −1 appartient à Sx (par définition du normalisateur)
et par suite u · y = y. Cela veut dire que l’on a f ◦ g ◦ f −1 (dσ(i) ) = dσ(i) pour tout i, ou
encore f ◦ g ◦ f −1 (dj ) = dj pour tout j. Il vient donc g f −1 (dj ) = f −1 (dj ) pour tout
j. Ainsi l’élément f −1 (d1 ), . . . , f −1 (dn ) ∈ X est fixe sous l’action de Sx . D’après 3,
on en déduit qu’il existe une permutation τ telle que f −1 (dj ) = dτ (j) pour tout j. On a
alors dj = f (dτ (j) ) et dσ◦τ −1 (j) = f (dσ(j) ) pour tout j. D’après 3, cela montre que f · y
appartient à Fx , donc f · Fx ⊂ Fx . Comme f −1 appartient à Nx , on a aussi f −1 · Fx ⊂ Fx ,
d’où Fx = f · f −1 · Fx ⊂ f · Fx et l’égalité f · Fx = Fx . Nous venons ainsi de montrer
l’inclusion Nx ⊂ {f ∈ GL(E) | f · Fx = Fx }.
Réciproquement, soit f ∈ GL(E) tel que f · Fx = Fx . On a donc aussi f −1 · Fx = Fx .
Puisque x ∈ Fx , f −1 · x = f −1 (d1 ), . . . , f −1 (dn ) appartient à Fx , donc est, d’après 3,
de la forme (dσ(1) , . . . , dσ(n) ) pour une certaine permutation σ. Pour tout g ∈ Sx et pour
tout i, on a
f ◦ g ◦ f −1 (di ) = f ◦ g(dσ(i) ) car dσ(i) = f −1 (di )
= f (dσ(i) )
car g ∈ Sx , donc g(dj ) = dj pour tout j
= di .
Ainsi f ◦ g ◦ f −1 appartient à Sx pour tout g ∈ Sx , donc f ∈ Nx .
5 a) Soit f ∈ Sx . On a alors f (di ) = di pour tout i et comme ei est un vecteur directeur
de la droite di , il existe un scalaire λi 6= 0 tel que f (ei ) = λi ei . La matrice de f dans la
base (e1 , . . . , en ) est donc diagonale, avec coefficients diagonaux λ1 , . . . , λn .
Réciproquement, supposons que f ∈ GL(E) et que la matrice de f dans la base
(e1 , . . . , en ) est diagonale et inversible ; notons λ1 , . . . , λn les coefficients diagonaux. Alors
les λi sont tous non nuls, car le déterminant λ1 · · · λn de la matrice est non nul. De plus,
on a f (ei ) = λi ei pour tout i, donc f (di ) = di . Ainsi f appartient à Sx .
5 b) Si σ et τ sont des éléments de Sn , alors pour tout i, on a
ϕ(στ )(ei ) = eσ◦τ (ei )
ϕ(σ) ◦ ϕ(τ )(ei ) = ϕ(σ)(eτ (i) ) = eσ(τ (ei )) ,
donc ϕ(στ ) = ϕ(σ) ◦ ϕ(τ ). L’application ϕ est donc un morphisme.
Si l’on a ϕ(σ) = IdE , alors pour tout i, on a eσ(i) = ei , donc σ(i) = i ; par suite σ = Id,
ce qui montre que le morphisme ϕ est injectif.
5 c) Puisque ϕ est un morphisme, P est un sous-groupe de GL(E). Soit f ∈ P . Il existe
donc σ ∈ Sn telle que f = ϕ(σ). Pour tout y ∈ Fx , il existe une permutation τ telle que
y = (dτ (1) , . . . , dτ (n) ). Pour tout i, on a f (eτ (i) ) = eσ◦τ (i) , donc f (dτ (i) ) = dσ◦τ (i) . Par
suite f · y ∈ Fx , ce qui montre que l’on a f · Fx ⊂ Fx , donc f · Fx = Fx et par conséquent
f ∈ Nx , d’après 4. Ainsi on a P ⊂ Nx , donc P est un sous-groupe de Nx .
Puisque Nx est le normalisateur de Sx , Sx est un sous-groupe distingué de Nx .
Montrons que l’on a P ∩ Sx = {IdE }. Soit f ∈ P ∩ Sx . Alors puisque f ∈ P , il existe une
permutation σ telle que f = ϕ(σ). On a donc f (di ) = dσ(i) pour tout i. Puisque f ∈ Sx ,
on a f (dj ) = dj pour tout j. Donc dσ(i) = di quelque soit i, par suite σ(i) = i. Ainsi σ
est la permutation identité, donc f = ϕ(σ) = IdE .
Montrons que l’on a Nx = Sx P . Soit f ∈ Nx . D’après 4, il existe une permutation
σ ∈ Sn telle que f (di ) = dσ(i) pour tout i. Il existe donc des scalaires λ1 , . . . , λn non
nuls tels que f (ei ) = λi eσ(i) . Soit u l’endomorphisme de E tel que u(ei ) = eσ(i) pour tout
i. On a u = ϕ(σ), donc u ∈ P . Soit v l’endomorphisme de E tel que v(ei ) = λσ−1 (i) ei
pour tout i. Alors v ∈ GL(E) et v(di ) = di , donc v · x = x autrement dit v ∈ Sx . Pour
tout i, il vient
v ◦ u(ei ) = v(eσ(i) ) = λσ−1 (σ(i)) eσ(i) = λi eσ(i) = f (ei ) ,
donc f = v ◦ u. Cela montre que l’on a Nx ⊂ Sx P , d’où l’égalité Nx = Sx P .
On en déduit que le groupe Nx est un produit semi-direct Sx × P .
Puisque le groupe quotient Sx × P /Sx est isomorphe à P , on en déduit Nx /Sx ' P .
Puisque le morphisme ϕ est injectif, le groupe Sn est isomorphe à P , d’où Nx /Sx ' Sn .
Aspect matriciel. En considérant les matrices dans la base (e1 , . . . , en ),
– le groupe Nx correspond aux matrices ayant sur chaque ligne et sur chaque colonne un
et un seul coefficient non nul ;
– le groupe P correspond aux matrices de permutations, c’est-à-dire aux matrices ayant
sur chaque ligne et sur chaque colonne un et un seul coefficient non nul, égal à 1 ;
– le groupe Sx correspond aux matrices diagonales ayant des coefficients non nuls sur la
diagonale.